不 等 式
知识提炼
1.不等式的基本性质 (1)a>b⇔b (4)a>b,c>d⇒a+c>b+d(同向不等式相加); (5)a>b,c (6)a>b,c>0⇒ac>bc,a>b,c<0⇒ac (9)a>b,ab>0⇒ < (倒数关系); (10)a>b>0⇒an>bn(n∈Z,且n>1)(平方法则); (11)a>b>0⇒ > ( n∈Z,且n>1)(开方法则). 2.基本不等式 (1)如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. (2)如果a>0,b>0,那么2≥ ,当且仅当a=b时,等号成立. 用基本不等式求最值时注意的三个条件:“一正,二定,三相等”. (3)极值定理:已知x>0,y>0,则有:①若乘积xy为定值p,则当x=y时,和x+y有最小值2 ;②若和x+y为定值s,则当x=y时,乘积xy有最大值 s2. (4)不等式链:如果a,b都是正数,那么 ≤ ≤2≤ 2 2 2 2 (当且仅当a=b时取等号). 3.一元二次不等式的解集 判别式Δ=b2-Δ>0 Δ=0 4ac 二次函数Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图像 一元二次方程有两相异实根x1,x2(x1 有两相等实根 无实根 ax2+bx x1=x2=-1 +c=0(a 0 4.线性规划 (1)直线Ax+By+C=0将整个坐标平面分成两部分,一部分可用不等式Ax+By+C>0(或<0)表示,另一部分则可用不等式Ax+By+C<0(或>0)表示. (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是 (2)画二元一次不等式表示的平面区域,常常采用直线定界、特殊点(常取原点)定域的办法,画二元一次不等式组所表示的平面区域,就是画出各个不等式所表示的平面区域的公共部分. (3)线性规划是讨论目标函数在线性约束条件(即二元一次不等式组)下的最大值或最小值的问题. 解决线性规划问题的一般步骤是: ①画出线性约束条件所表示的平面区域(即确定可行域); ②利用目标函数的平移,在可行区域内求出使目标函数达到最大值或最小值的点. 复习指导 1.比较大小的常用方法 (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; (2)作商(对于分数指数幂的代数式常用此法); (3)分析法; (4)平方法; (5)利用函数的单调性. 其中比较法(作差、作商)是最基本的方法. 2.解含参数的一元二次不等式是一个难点,这类问题的解决思路一般为:若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再根据两根的大小对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行讨论;若二次项系数为参数,应先讨论二次项系数为零,及不为零时的正负情况. 3.不等式的恒成立问题 2 (1)若ax+bx+c>0(a≠0)对任意的x∈R恒成立,只需a>0且Δ<0. (2)若ax2+bx+c<0(a≠0)对任意的x∈R恒成立,只需a<0且Δ<0. (3)根据恒成立求参数的范围一般可采用分离参数的方法.即当f(x)存在最值时,f(x)≤a恒成立⇔a≥[f(x)]max;f(x)≥a恒成立⇔a≤[f(x)]min. 2 4.基本不等式的运用 当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和有最小值. 利用 ≤2(a,b∈R+)求最值是极为重要的一个考点,应把握住条件“一正二定三相等”,当条件不满足时要注意应用一些转化和配凑的技巧.例如:①x<0求x+ 的最值,这里可将x+ 转化为(-x)+,这样就符合“一正”;②0 这样就符合“二定”;③当等号不成立时可用函数的单调性(一般可利用导数判定)来求最值(掌握对号函数的简单性质). 5.线性规划目标函数的最值 (1)形如ax+by用纵截距求之; (2)形如 - ) -b)用两点间距离求之; (3)形如用斜率求之. 函数与导数 知识提炼 1.函数概念 定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集. 2.几种基本初等函数 (1)指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ar·s,(a·b)r=ar·br. (2)对数的运算性质:如果a>0,a≠ ,M>0,N>0,则 nloga(MN)=logaM+logaN,loga=logaM-logaN,logaM=nlogaM(n∈R). 22 - - 换底公式:logaN= (a>0,a≠ ,N>0,m>0,m≠ ). (3)指数函数与对数函数 定义域 值域 过定点 单调性 指数函数y=ax 0 图像 (4)幂函数 一般地,形如y=x的函数称为幂函数,其中α为常数.在同一坐标系内y=x,y=x,y=x,y= ,y= α2 3 2的图像如下图所示: 性质:所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都通过点(1,1);如果α>0,则幂函数的图像过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数,如果α<0,幂函数在区间(0,+∞)上为减函数;当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数. (5)二次函数 ①二次函数的图像与性质 二次函数的图像是抛物线,对称轴方程为x=-2,顶点坐标为(-2, 当a>0时,抛物线的开口向上,函数在 [-2,+∞)上单调递增.当 -2 ). -2 x=-2时取得最小值;函数在区间(-∞,-]上单调递减,在 2 -2 x=-2时取得最大值;函数在区间(- a<0时,抛物线的开口向下,函数在 ∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减. ②二次函数的解析式有三种形式 一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.函数的单调性 (1)定义及用定义证单调性 ①定义:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 ③利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤: (i)任取x1,x2∈D,且x1 (iiii)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); (iiiii)下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 4 (2)简单性质 ①奇函数在其关于原点对称的区间上的单调性相同; ②偶函数在其关于原点对称的区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数f(x)+增函数g(x)是增函数;减函数f(x)+减函数g(x)是减函数;增函数f(x)-减函数g(x)是增函数;减函数f(x)-增函数g(x)是减函数. (理)(3)设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x).如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相同,那么y=f[g(x)]是增函数;如果y=f(u)和u=g(x)的单调性相反,那么y=f[g(x)]是减函数. 4.函数的奇偶性 (1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性;如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数. (2)利用定义判断函数奇偶性 ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定f(-x)与f(x)的关系; ③作出相应结论: 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数, 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 5.函数的周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T为一个周期. (2)类比“三角函数图像”判断 ①若y=f(x)图像有两条对称轴x=a,x=b(a≠b),则y=f(x)必是周期函数,且周期为T=2|a-b|; ②若y=f(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且周期为T=2|a-b|; ③如果函数y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a≠b),则函数y=f(x)必是周期函数,且周期为T=4|a-b|; (3)由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)=f(a+x)(a>0),则f(x)是周期为a的周期函数”得:①函数f(x)满足-f(x)=f(a+x),则f(x)是周期为2a的周期函数;②若f(x+a)= (a≠0)恒成 )立,则f(x)的周期T=2a;③若f(x+a)=- (a≠0)恒成立,则f(x)的周期T=2a. )6.函数的对称性 ①满足条件f(x+a)=f(b-x)的函数的图像关于直线x=2对称,满足条件f(x+a)=-f(b-x)的函数的图像关于点(2,0)对称; 如已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足条件f(5-x)=f(x-3),且方程f(x)=x有两相等实根,则f(x)= . 【答案】-2x2+x ②点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),函数y=f(x)关于y轴的对称曲线方程为y=f(-x); ③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),函数y=f(x)关于x轴的对称曲线方程为y=-f(x); ④点(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),函数y=f(x)关于原点的对称曲线方程为y=-f(-x). 5 【注】满足条件f(x+a)=f(b-x)的函数的图像关于直线x=2对称,两函数y=f(x+a),y=f(b-x)的图像关于直线x=2对称. 提醒:(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在原图像上; (2)形如y= (c≠0,ad≠bc)的图像是双曲线,对称中心是点(-,). 7.常见导数公式及运算性质 (1)常见函数的导数公式:C'=0(C为常数),(xn)'=n·xn-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin - x,(ex)'=ex,(ax)'=axln a,(ln x)'= ,(logax)'= . (2)两个函数的和、差、积、商的求导法 则:[f(x)± (x)]'=f'(x)± '(x),[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),[ ]'=) ) ' ) )- ) ' ) 且2 x) g(x)≠0. 特别地:[cf(x)]'=cf'(x),c为常数. 8.(理)复合函数的求导 设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ'(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y'u=f'(u),则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数,且y'x=y'u·u'x或f'x(φ(x))=f'(u)·φ'(x). 9.函数图像的变换 图像变换法是由一个熟知的函数图像,经过适当的变换,得到我们所要的函数图像,其中常用的图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 函数y=f(x+a)(a≠0)的图像可以通过把函数y=f(x)的图像向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位而得到;函数y=f(x)+b(b≠0)的图像可以通过把函数y=f(x)的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到. 函数y=Af(x)(A>0,A≠ )的图像可以通过把函数y=f(x)的图像上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 (1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.事实上,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根. (2)方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图像与y=0有交点⇔函数y=f(x)有零点. (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈[a,b],使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.反之不成立. (4)对于在区间[a,b]上连续不断,且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 复习指导 6 1.在求解函数问题时,一定要树立“定义域优先”的原则. 2.复合函数的定义域问题 已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域,或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域:①若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出;②若复合函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 3.函数值域(最值)的求法 ①配方法:可以转化为二次函数的,利用二次函数的特征来求值域,常转化为形如 f(x)=ax2 2 -2 +bx+c=a(x+2)+的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用y来表示x,再由x的取值范围,通过解不等式,得出y的取值范围(常用来求解形如y= 的函数的值域); ③换元法:通过变量代换转化为能求值域(最值)的函数; ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域(最值); ⑤基本不等式法:转化成形如:y=x+(k>0),利用基本不等式来求值域(最值),此法应在x=成立时 使用; ⑥单调性法:若函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域(最值); ⑦数形结合:根据函数的几何图形,利用数形结合的方法来求值域(最值). 4.求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法——已知所求函数的类型,求出函数的解析式. 如已知f(x)为二次函数,且f(x-2)=f(-x-2),且f(0)=1,图像在x轴上截得的线段长为2 2,求 f(x)的解析式. 【答案】f(x)=2x2+2x+1 (2)代换(配凑)法——已知形如f(g(x))的表达式,求f(x)的表达式,这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性. 如①已知f(1-cos x)=sin2x,求f(x2)的解析式. 【答案】f(x2)=-x4+2x2,x∈[- 2, 2] ②若f(x- )=x2+2,则函数f(x-1)= . 【答案】x2-2x+3 ③若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈ 0,+∞)时,f(x)=x(1+ 那么当x∈ -∞,0)), 时,f(x)= . 【答案】x(1- ) (3)方程的思想——对已知等式进行赋值,从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组.如①已知f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x)的解析式. 【答案】f(x)=-3x- 2 7 ②已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x- ,则f(x)= . 【答案】 xx2- 5.函数模型类比 借鉴模型函数对一些抽象函数进行类比探究: ①正比例函数型:f(x)=kx(k≠0)→f(x± )=f(x)±f(y); ②幂函数型:f(x)=xα→f(xy)=f(x)f(y),f( )=f ); ③指数函数型:f(x)=ax→f(x+y)=f(x)f(y),f(x-y)=f ); ④对数函数型:f(x)=logax→f(xy)=f(x)+f(y),f( )=f(x)-f(y); ⑤三角函数型:f(x)=tan x→f(x+y)= - . ) )6.求曲线的切线方程 导数的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 如果y=f(x)在(x0,f(x0))处可导,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 7.利用导数求函数单调区间 求可导函数f(x)单调区间的步骤: ①确定函数f(x)的定义域; ②求导数f'(x); ③由f'(x)>0(或f'(x)<0),解出相应x的取值范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数. 【注】f'(x)>0是函数f(x)在区间I上单调递增的充分不必要条件,并不是充要条件.事实 上:f(x)在I上递增⇔对任意的x∈I有f'(x)≥0 但这里满足f'(x)=0的点应只是在个别点处,也就是f'(x)不能恒等于零). 8.利用导数求函数的极值 求可导函数f(x)的极值的步骤: ①确定函数的定义区间,求导数f'(x), ②求方程f'(x)=0的根, ③用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间(可列成表格),判断f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值. 【注】函数y=f(x)在x=x0处取极值的充要条件应为:“f'(x0)=0且在x=x0左右两侧的导数值的符号相反”. 9.利用导数求函数的最值 在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.求最值的步骤如下: ①求函数f(x)在(a,b)内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b); ③将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值. 10.(理)定积分 ) )xf x) xf x) 8 (理)运用微积分基本定理求定积分 f(x)dx值的关键是用求导公式反方向求出f(x)的原函数,应熟练掌握以下几个公式: n , xdx= - , , (a>0,b>0), x . adx= (理)定积分在几何上的应用: (1) f(x)dx表示由x=a,x=b,x轴和y=f(x)所围成图形面积的代数和(x轴上方部分面积记为正,下方记为负值); (2)由x=a,x=b,x轴和y=f(x)所围成图形的面积为 ) dx; (3)由x=a,x=b,y=f(x)和y=g(x)所围成图形的面积为 )- ) dx. 数 列 知识提炼 1.等差数列的通项,前n项和公式 an=a1+(n-1)d,Sn= ) 2 =na1+ - ) 2 d. 2.等差数列的性质 设等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,则有如下的性质: (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈ *),则am+an=ap+aq; (2)am=an+(m-n)d,d= ; (3)若2∈ *,则am+an=2 ; 2 - - (4)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…也成等差数列; (5)在等差数列中下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列; (6){an},{bn}都为等差数列,则{man+kbn}也为等差数列(其中m,k均为常数); (7)若项数为偶数,设为2n(n≥2),则 ①S2n=2 )2 2 ) ==n(an+an+1)(即等于中间两项和的22 n倍), ②设S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1, 则S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=nd, 9 ③ =偶 奇 ) 2- 2 )2 2 2 = (即等于数列{an}的中间两项之比); (8)若项数为奇数,设为2n+1(n≥2),则 ①S2n+1= 2 ) )·2 2 ) 2 2 =2 =(2n+ )·an+1(即等于中间项的2n+1倍), ②设S奇=a1+a3+…+a2n+1,S偶=a2+a4+…+a2n, 则S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)=a1+nd=an+1(即等于中间项), ③ =偶 奇 ) 2 ) 2 )2 2 2 = (即等于项数之比). 3.等比数列的通项,前n项和公式 ),n-1 an=a1·q,Sn= ) - - ) - - 4.等比数列的性质 若数列{an}是以a1为首项,q为公比的等比数列,前n项和为Sn,则有如下的性质: (1)an=amqn-m(m,n∈ *); (2)若m+n=k+l(m,n,k,l∈ *),则am·an=ak·al; (3){λ n}(λ≠0)是公比为q的等比数列,{ }是公比为 的等比数列, {|an|}是公比为|q|的等比 数列,若{an},{bn}是项数相同的等比数列,则{an·bn}也为等比数列; (4)在{an}中取出的下标成等差的项组成的新数列仍为等比数列,例如在{an}中取出a1,a4,a7,a10,…它仍为等比数列; (5)当{an}的项数为偶数时, =q; 奇 偶 (6)当q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列. 复习指导 1.证明数列为等差数列的方法 判定或证明一个数列{an}为等差数列的常用方法有: ①定义法,{an}为等差数列⇔对任意的n∈ *有an+1-an=d(d为常数); ②等差中项法,{an}为等差数列⇔对任意的n≥2,n∈ *有2an=an-1+an+1成立; ③从an和Sn的形式上进行判定,若通项公式可写成an=pn+q的形式,则可判定{an}为等差数列,若{an}的前n项和可写成Sn=an2+bn的形式,则也可判定{an}为等差数列. 2.证明数列为等比数列的方法 判定或证明一个数列{an}为等比数列的常用方法有: ①定义法,{an}为等比数列⇔对任意的n∈ *有 =q(q为常数且q≠0); ②等比中项法,{an}为等比数列⇔对任意的n∈ *有2 =an-1·an+1成立(an≠0,n≥2); ③还可以从an和Sn的形式上进行判定,若通项公式可写成an=cqn(c≠0,q为常数且q≠0)的形式,则可判定{an}为等比数列,若{an}的前n项和可写成Sn=A-Aqn(A≠0,q为常数且q≠0,q≠ )的形式,则也可判定{an}为公比不等于1的等比数列. 3.求通项公式的方法 10 数列通项公式的求法:①递推公式形如an-an-1=f(n)时,用叠加法;②递推公式形如 =f(n)时,用叠乘法;③递推公式形如an=Aan-1+B(A,B均为非零常数,且A≠ )时,用构造法(事实上,存在一个x使得an+x=A(an-1+x)成立,显然这时x=);④对给定的递推关系式进行适当的变形(取倒数、取对 - - )数等),从而构造出特殊的数列;⑤已知Sn求an时,利用an= 来解,注意对n=1时 - - 2, ∈ ) 的情况的验证; ⑥(理)先猜后证:一般是根据给定的前几项,通过不完全归纳法得到数列的通项公式,然后利用数学归纳法来进行证明. 4.数列求和法 数列求和的方法:①公式法,即运用等差数列、等比数列的求和公式;②分组求和法;③倒序相加法;④错位相减法;⑤裂项相消法,常见裂项公式: =- , =(- ). ) ) 5.等差数列前n项和最值求解 (1)利用Sn=na1+ - ) 2 d和二次函数求最值方法. 0, 0,(2)利用an,由 定出n,再求Sn的最值;由 定出n,再求Sn最值. 0 0 6.裂项求和的几种常见类型 (1) =(- ); ) (2)(3) =( - ); =(- -2 ); 2 - ) 2 )22 (4) =[ )- ]; ) 2)2 ) 2) (5)若{an}是公差为d的等差数列,则 =(-); · (6) =( - ). - 7.几种通项的放缩 (1)2> ); (2)2< - ) ; (3) 2< 2 - ) 2 ) ; (4) < . 三角函数与平面向量 知识提炼 11 1.扇形弧长与面积公式 弧度制下,扇形弧长公式 =αr,扇形面积公式S=lr=r2α,其中r为扇形的半径,α为弧所对圆 22心角的弧度数,且0<α<2π. 2.诱导公式记忆口诀:奇变偶不变、符号看象限 -α π-α π+α 2π- α 2-α sin -sin sin -sin -sin cos α α α α α cos cos -cos -cos cos sin α α α α α 3.三角函数值的正负与角所在象限关系 口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 4.常用三角公式及变形公式 常用公式: cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, tan(α+β)= - , tan(α-β)= - , sin 2α=2sin αcos α, cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan 2α=2 - 2α , cos2α= 2 2 , sin2α= - 2 2 , asin x+bcos x= 2 2 sin(x+φ)(其中tan φ= ) . 5.三角形中的有关公式 (1)在△ABC中:sin(A+B)=sin C,sin 2=cos2; (2)正弦定理: = = = 2R; 12 (3)余弦定理:a=b+c-2bccos A,cos A= 222 2 2 -2 2 ; (4)面积公式:S=2aha=2absin C=2r(a+b+c)(其中r为三角形内切圆半径). 6.平面向量有关概念及公式 (1)平面向量的数量积: a·b=|a||b|cos θ (θ为两个非零向量a,b的夹角) 特别地,a2=a·a=|a|2,|a|= 2 .当θ为锐角时,a·b>0,且a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件;当θ为钝角时,a·b<0,且a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件. (2)b在a上的投(射)影为|b|cos θ (3)平面向量坐标运算:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a≠0,b≠0,则: ① ·b=x1x2+y1y2; ②| |= 2 2 2222 , a=|a|= + ; ③ ∥b⇔ =λb⇔x1y2-y1x2=0; ④ ⊥b⇔a·b=0⇔|a+b|=|a-b|⇔x1x2+y1y2=0; ⑤若a、b的夹角为θ,则cos θ=· 2 2| |·| | =. 2 2 2 2 2 2(4)向量常用结论: ① + + = 0⇔P为△ABC的重心; ② · = · = · ⇔P为△ABC的垂心; ③向量λ( | | +| |)(λ≠0)所在直线过△ABC的内心; ④| |=| |=| | ⇔P为△ABC的外心. 7.三角函数的图像与性质 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 {x|x≠π定义域 R R 2 +kπ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 在[-在[-π+2kπ, π+2kπ, π2单调性2+2kπ],2kπ],k∈在(-及递 k∈Z Z π2+kπ, 增、递上递增; 上递增; π在2+kπ), 减区间 在[π[2kπ,π+ k∈Z 2+2kπ, 2kπ],k∈上递增 2π+2kπ]Z , 上递减 13 k∈Z 上递减 周期性T=2π T=2π T=π 及 奇函数 偶函数 奇函数 奇偶性 πx=2+kπ, x=kπ,k∈对称轴 无对称轴 Z k∈Z 对称中(kπ,0),k心 ∈Z (2+kπ,0), k∈Z 8.三角函数的图像变换:若由y=sin ωx得到y=sin(ωx+φ)的图像,则向左或向右平移||个单位.也就是说若f(x)=sin ωx,则向左或向右平移||个单位后得到 π(2,0), π k∈Z f(x+)=sin[ω(x+)]=sin(ωx+φ),即平移的量是对x而言的.余弦函数和正切函数的图像平移 变换也类似. 复习指导 1.用五点法作出y=Asin(ωx+φ)的图像 (1)当画函数y=Asin(ωx+φ)在x∈R上的图像时,一般令ωx+φ=0,2,π,π π2 ,2π,即可得到所画图像的特殊点坐标,然后用平滑的曲线将这些点连接起来即可. (2)当画函数y=Asin(ωx+φ)在某个指定区间上的图像时,一般先求出ωx+φ的范围,然后在这个范围内,选取特殊点,连同区间的两个端点一起列表. (3)由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)+b的图像时,一般先作相位变换,后做周期变换,即先平移后伸缩: y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)+b y=Asin(ωx+φ) 如果先做周期变换,后做相位变换(即先伸缩后平移),则左右平移时不是|φ|个单位,而是||个 单位,即由y=sin ωx→y=sin(ωx+φ)是左右平移||个单位. 2.根据图像确定函数y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤 (1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=2,b=2. (2)求ω:确定函数的周期T,则ω= 2π - . (3)求φ常用的方法有:①代入法,②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一个零点(-,0)作为突破口. 具体如下: “第一点” 即图像上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; 14 “第二个点” 即图像的“峰点”)为ωx+φ=2; “第三点” 即图像下降时与x轴的交点)为 π ωx+φ=π; “第四个点” 即图像的“谷点”)为ωx+φ= π2 ; “第五点”为ωx+φ=2π. 3.化简与求值 (1)求sin α、cos α的齐次式的值 已知tan α=m的条件下,求关于sin α、cos α的齐次式的值:由tan α=m知cos α≠0,因此将分子分母同除以cosnα(n∈ *),这样可以利用商数关系将所求式化为关于tan α的表达式,从而可以整体代入tan α=m的值进行求解. (2)化简求值注意事项 ①注意“ ”的各种形式变换:1=sin2α+cos2α= 5°=2cos2α-cos 2α=2sin2α+cos 2α ②注意变换的两大方向:一是化成同角函数,二是化成同名函数. ③由三角函数值求角或求别的三角式子的值时,要考虑角的范围及周期,时刻提醒自己是否漏解或增解. 4.三角函数求最值问题 (1)y=asin x+bcos x+c型函数的最值: y=asin x+bcos x+c= 2 2 sin(x+φ)+c(其中tan φ=),这样通过引入辅助角φ可将此类函数 的最值问题转化为y= 2 2 sin(x+φ)+c的最值,然后利用三角函数的图像和性质来求即可. (2)y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x型函数的最值: 可利用降幂公式(sin2x= - 2 2 ,cos2x= 2 2 )将y=asin2x+bsin xcos x+ccos2x整理转化为y=Asin 2x+Bcos 2x+C,这样就可将其转化为上一种类型来求最值. (3)y=asin2x+bsin x+c型函数的最值: 可将y=asin2x+bsin x+c中的sin x看作t,即令t=sin x,则y=at2+bt+c,这样就转化为二次函数的最值问题. 但这里应注意换元前后,变量的取值范围要保持不变,即令t=sin x,要根据给定的x的取值范围,求出t的范围.另外y=acos2x+bcos x+c等形式函数的最值都可归为此类. (4)y= 型函数的最值: 此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式,一般可将其化为 f(y)=sin(ωx+φ)的形式,然后利用三角函数的有界性求其最值;当然此类题有时也可用数形结合来解. (5)y=a(sin x±cos x)+bsin xcos x+c型函数的最值: 对于y=a(sin x+cos x)+bsin xcos x+c,令sin x+cos x=t,t∈[- 2, 2],∵(sin x+cos x)=1+2sin xcos x,∴sin xcos x=2,则函数就变为y=at+b·2+c的形式,因此此类函数也可通过换元转化为二次函数的最值问题.对于形如y=a(sin x-cos x)+bsin xcos x+c的函数也可采用同样的方法.另外此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同. 5.解斜三角形 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两正弦定理 由A+B+C= 80°,求角A;由正弦定理求出b和c,有解时只有一解. 角(如 15 2 2 - 2 - a,B,C) 两边和夹角(如a,b,C) 三边(a,b,c) 两边和其中一边的对角(如a,b,A) 余弦定理 由余弦定理求第三边;由正弦定理求出小边所对的角;再由正弦定理 A+B+C= 80°求出另一个角.有解时只有一解. 余弦定理 由余弦定理求出角A,B;再利用A+B+C= 80°,求出角C,有解时只有一解. 正弦定理 由正弦定理求出角B;由A+B+C= 80°,求出角C;再利用正弦定理或余余弦定理 弦定理求c,可有两解、一解或无解. 6.平面向量应注意的问题 (1)注意向量方向及夹角.如在△ABC中,若∠B=60°,则 与 的夹角为 20°而不是60°. (2)向量的投影(射影)有正、负、零,而不是全为正值. 解 析 几 何 知识提炼 1.直线方程及方程适用条件 名称 方程 说明 适用条件 k—斜率 斜截y=kx+b b—纵截倾斜角为90°的直线不能用此式 式 距 (x0,y0)—点斜直线上已y-y0=k(x-x0) 倾斜角为90°的直线不能用此式 式 知点,k—斜率 (x1,y1),(两点x2,y2)是 - x-x = 与两坐标轴平行或重合的直线不能用此式 式 2- x2-x 直线上两个已知点 a—横截x 截距+=1 距,b—纵过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式 b式 截距 - ,- 和- 一般式 分别为斜Ax+By+C=0 率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 2.两条直线位置关系的判定 两条直线l1∶y=k1x+b1,l2∶y=k2x+b2,则l1∥l2⇔k1=k2,b1≠b2; l1⊥l2⇔k1·k2=-1; l1,l2重合⇔k1=k2,b1=b2. l1: A1x+B1y+C1=0(A1B1C1≠0),l2: A2x+B2y+C2=0(A2B2C2≠0). 则l1∥l2⇔ =≠; l1与l2相交⇔≠; l1与l2重合⇔==;l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 22 2 2 2 222 16 出现A1B1C1=0或A2B2C2=0的情况时我们可以单独讨论. 3.点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离为d=022 2 = - 2) - 2); 0 2 2 ;设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 两平行直线l1: Ax+By+C1=0和l2: Ax+By+C2=0的距离d= 2- 2 2 ,这个公式要求两平行线中关于x,y的一次项系数必须对应相同. 4.圆的方程 (1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中圆心为(a,b),半径为r; (2)一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0);圆心坐标为(-2,-2),半径为r=2 2 2 2 2 2 - 2 . 特别地:圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,其中A(x1,y1),B(x2,y2)是圆的一条直径 的两个端点. 5.点和圆的位置关系 设点P(x0,y0)及圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,则 (1)(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔点P在圆外; (2)(x0-a)2+(y0-b)2 (2)双曲线定义:我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. (3)抛物线定义:平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 注意:在抛物线的定义中,焦点F不在准线上. 9.圆锥曲线的标准方程与几何性质 椭圆 双曲线 17 x2方程 (a>0,b>(a>0,b>(a>b>0) (a>b>0) 0) 0) +=1 2+2=1 22bb 2 2x2x2 2 2b2-=1 2-2=1 b 2x2图形 焦点 (± ,0) (0,± ) (± ,0) (0,± ) (续表) 椭圆 双曲线 |x|≤a, |y|≤a, |x|≥a, |y|≥a, 范围 |y|≤b |x|≤b y∈R x∈R (± ,0) (±b,0) 顶点 (± ,0) (0,± ) (0,±b) (0,± ) 关于坐标轴轴关于坐标轴轴对称 对称,关于原点对称,关于原点中心对称 中心对称 0 (2)双曲线还有一条很重要的性质——渐近线.双曲线2- =1的渐近线方程为 =±x或±=0;双曲 2 线2- =1的渐近线为 =±x或±=0. 2 2 2 2 2 图形 18 (3)实轴与虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线,等轴双曲线2- =±1的离心率为 2,渐近线方程为 2 2 2 x± =0. 10.抛物线中的常用知识点 若过抛物线y2=2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),θ为直线AB的倾斜角,则有下列性质:① 1y2=-p,x1x2= ; ②| |=x1+x2+p= 2θ(通径长为2p);③S△AOB=2 ;④| +|= ;⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. || 复习指导 1.圆的切线问题 (1)求过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程(k=0时单独考虑); (2)求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: 几何方法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,然后由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,切线方程即可求出; 代数方法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出. 注:①以上方法只能求存在斜率的切线,斜率不存在的切线可结合图形求得;②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2. (3)直线截圆所得弦长的计算方法:利用由弦心距、圆的半径、弦的一半所构成的直角三角形结合勾股定理来解. 2.圆锥曲线的标准方程的求法 (1)定义法.若动点的运动规律符合圆锥曲线的定义或由圆锥曲线的定义易求得其方程中的关键量,则常用定义法求解. (2)待定系数法.若题设中已告知此曲线为哪种圆锥曲线,则常设出曲线方程,再由题设求得待定系数.此法是求圆锥曲线标准方程的最基本方法,但一定要注意直线与圆锥曲线是否有交点. 注意:用定义法求双曲线方程时,若动点到两定点距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数时,此时曲线不是完整的双曲线,而是双曲线的一支. 3.“设而不求”的思想 若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),其中有四个参数x1,y1,x2,y2,它们的作用只是过渡性符号,通常是不需要求出的,而用韦达定理来解决问题,这是研究直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法. 4.圆锥曲线方程的巧设方法 (1)椭圆和双曲线: ①当椭圆或双曲线焦点位置不明确,无法确定其标准方程形式时,可分类讨论,也可设方程为 2 2 22+=1或Ax+By=1,再用待定系数法求解; 2 2 2 2 2 2 ②与椭圆2+=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可以设为+=1(m>0,m>c); 2 -2 2 2 2 2 19 ③与2- =1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可以设为2- =λ(λ≠0),渐近线为 x±b =0的双曲 2 2线方程可以设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0); ④等轴双曲线可设为x2-y2=λ(λ≠0)的形式. (2)抛物线焦点位置不明确时,可分类讨论,也可利用统一设法:焦点在x轴上的抛物线方程设为y2=2ax(a≠0),焦点在y轴上的抛物线设为x2=2ay(a≠0). 5.直线与圆锥曲线相交的弦长问题 (1)直线l与圆锥曲线C有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k, 2则:|AB|= 2 · - 2 = )[ 2)- 2] 2 2 2 2 2 或|AB|= 2|y1-y2| = 2)[ 2)- 2]. (2)对于一些特殊的弦长问题要注意总结: ①抛物线的焦点弦长公式:直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p; ②圆锥曲线的通径问题:过圆锥曲线的焦点作曲线对称轴的垂线,交曲线于A,B两点,则线段AB就是曲线的通径,通径的长是曲线焦点弦中长度最小的.对于抛物线y2=2px(p>0),其通径长为2p;对于椭圆2+ =1和双曲线2- =1,其通径长为 . 2 2 6.(理)求轨迹方程的基本方法 (1)直译法.即直接将题目译成或等价转化成几何条件,再具体坐标化并等价化简. (2)定义法.将题目等价转化,使其恰好符合某类特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,然后用待定系数法求出相应的参数. (3)相关点法(转移法).若所求的动点P的轨迹与一已知曲线上的点Q相关,则可先设出 P(x,y),Q(x0,y0),再寻找P、Q间关系,把x0,y0用x,y表示,最后代入点Q满足的方程,化简即得所求. 注意:求出曲线的方程之后不要忽视检验,要仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,并将其剔除;另一方面也要注意有无“漏网之鱼”“逍遥法外”,并将其找回. 7.直线系问题 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为:Ax+By+C'=0(C'≠C). (2)过点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为:A(x-x0)+B(y-y0)=0. (3)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为:Bx-Ay+C'=0. (4)过点P(x0,y0)且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为:B(x-x0)-A(y-y0)=0. (5)过两直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0的交点的直线系方程 为:a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0(λ∈R,λ为参数,且不包含直线a2x+b2y+c2=0). 8.对称问题 (1)点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b. (2)直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l'的问题,主要依据l'上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T'(2m-x,2n-y)必在l上. 2 2 2 2 2 22 20 (3)点关于直线的对称:求已知点(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A'(x0,y0)的坐标的一般方法是依据l是线段AA'的垂直平分线,列出关于x0、y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程,即 ·0 - , -m 0 - 0 2 ·02 b m (4)直线关于直线的对称:求直线l关于直线g的对称直线l',主要依据l'上任一点M关于直线 g的对称点必在l上. 立 体 几 何 知识提炼 1.空间几何体的表面积与体积 (1)棱柱的体积V=Sh,其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高,棱锥的体积V= Sh,其中S、h分别表示棱锥的底面积和高. (2)圆柱的表面积S=2πr(r+h)、体积V=πr2·h,其中r、h分别为圆柱底面的半径和高. (3)圆锥的表面积S=πr(l+r)、体积V= πr2h,其中r、l、h分别为圆锥底面的半径、母线长、锥高. (4)圆台的表面积S=π r2+R2+rl+Rl)、体积V= (S'+ ' +S )h,其中r、R、l、h分别为圆台上底面的半径、下底面的半径、母线长、圆台 的高,S'和S 分别为上、下底面的面积. (5)球的表面积S= πR2、体积V= πR3,其中R为球的半径. 2.平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1:过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 3.空间点、线、面的位置关系和判定、性质 (1)空间两直线有相交、平行、异面三种位置关系. (2)线面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线面平行性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. (3)线面垂直判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行. (4)面面平行判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行. 面面平行性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (5)面面垂直判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 面面垂直性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 4.空间直角坐标系 21 (1)在给定的空间直角坐标系中,空间点M与有序数组(x,y,z)建立了一一对应关系,因此,有序数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标. (2)空间任意两点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)之间的距离|M1M2|= 2- ) 2- ) 2- ). (3)空间中两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),线段P1P2的中点M的坐标是( 22, 22, 22). 5.球与两种几何体之间的关系 (1)球与正方体的组合体: ①球内切于正方体:此时球半径R与正方体棱长a有关系式2R=a成立. 2 2 2 ②球外接于正方体:2R= a. ③球与正方体的12条棱相切,2R= 2a. (2)球与正四面体的组合体: ①球内切于正四面体:球半径R与正四面体的高h有关系式R= h(可以用分割法). ②球外接于正四面体,R= h. 即一个正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3. 6.几个重要结论 (1)长方体的长、宽、高分别为a,b,c,体对角线为l,则l2=a2+b2+c2. (2)正四面体棱长为a,高为h,内切球半径为r,外接球半径为R,则h= a,r= 2a,R= a. 复习指导 1.面积和体积的计算问题 (1)在计算面积时,“面积的比等于对应边比的平方”这一性质经常被用到;棱锥中,平行于底面的截面截得的棱锥的体积与已知棱锥的体积比等于它们高的立方比. (2)求几何体体积的常用方法有公式法、分割法、补形法、等积法和求差法(即整体减去局部). 2.空间的平行和垂直关系: 6 6 6 3.(理)空间角的计算步骤:一作、二证、三算 异面直线所成的角:范围:0°<θ≤90°;方法:①平移法;②补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,以便易于发现两条异面直线间的关系,转化为相交两直线的夹角. 直线与平面所成的角:范围:0°≤θ≤90°;方法:关键是作垂线,找射影. 二面角:(1)平面角的三要素:①顶点在棱上;②角的两边分别在两个半平面内;③角的两边与棱都垂直. 22 (2)作平面角的主要方法: ①定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; ②垂线法:过其中一个面内一点作另一个面的垂线,线面垂直的判定或性质作出二面角的平面角; ③垂面法:过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角; (3)二面角的范围:[0°, 80°); (4)二面角的求法:①转化为求平面角;②面积射影法:利用面积射影公式S射=S原· θ,其中θ为平面角的大小.对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其可考虑面积射影法). 4.(理)利用空间向量证明平行与垂直 (1)线线平行:已知a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a∥b(b≠0)⇔x1=λx2,y1=λ 2,z1=λz2(λ∈R); (2)线面平行:设平面α的法向量为n,则直线a(方向向量为a)∥平面α⇔a⊥n; (3)线面垂直:设平面的法向量为n,则直线a(方向向量为a)⊥平面α⇔a∥n; (4)面面平行:设平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,则α∥β⇔n1∥n2; (5)面面垂直:设平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0. 5.(理)利用空间向量求角的问题. (1)两直线a,b(其方向向量分别为a,b)所成的角为θ,则cos θ=|cos (2)直线a(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所成的角为θ,则sin θ=|cos (3)若m,n为两个面α,β的法向量,则角 . (1)若表示点A与面α的距离公式,则n表示平面的法向量,B为面α内的任一点. (2)若表示线面间的距离公式,则n表示平面的法向量,A,B分别为直线和平面上的任意的点. (3)若表示两平行平面间的距离公式,则n表示与两平面都垂直的法向量,A,B分别为两平面上的任意的点. 概率与统计 知识提炼 1.(理)排列组合数公式: (1)排列数公式: =n(n-1)(n-2)… n-m+1)= - ) -2)… - ) (2)组合数公式: = ==. - ) n n-1 n-rr2.(理)二项式定理:(a+b)n= 0ab+…+ bn(n∈ *). a+ ab+…+ ; - ) r特别当a=1,b=x时,得到公式(1+x)n=1+ x+…+xn. x…+ 通项公式Tr+1= an-rbr(r=0, ,2…,n). 3.古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果; (2)每个基本事件出现的可能性相等; (3)古典概型的概率计算公式:P(A)= 包含的基本事件个数 总的基本事件个数 . 23 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 .如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=. 4.几何概型与互斥事件 (1)互斥事件 在一个随机试验中,我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件;如果两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生,那么这样的两个互斥事件叫做对立事件. (2)特别地,若事件B与事件A互为对立事件,则A+B为必然事件,P(A+B)=1.再由互斥事件的概率加法公式得P(A)=1-P(B). (3)若事件A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B)(推广情况:如果A1,A2,A3,…,An彼此互斥,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想,但要注意用此公式时,首先要判断事件是否互斥,如果事件不互斥,就不能用此公式. (4)理解几何概型的概率计算公式,求几何概型事件的概率时,关键是构造出随机事件对应的几何图形,利用图形的区域度量(长度、面积或体积)来求概率. (5)几何概型中,事件A的概率计算公式为P(A)= 构成事件 的区域的几何度量 长度、面积或体积)试验的所有结果所构成的区域的几何度量 长度、面积或体积) . 5.(理)条件概率 设A、B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)= 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率. )6.平均数与方差 给定样本数据x1,x2,x3,…,xn,那么这组数据的平均数x= 方差为s2= (xi-x)2;标准差s= x -x). 2 2 … ) ; 7.回归分析与性检验 (1)回归直线方程 =bx+ (或y=bx+a或 =bx+a)中 x x) ) x x b , 2 2 2 x x) x x) bx (2)回归直线一定经过样本中心点(x, ). (3)两个分类变量是否有关联可以通过计算K2(χ2)的值进行判断,K= b) ) ) b )(χ= b) ) ) b )),其中n=a+b+c+d. 8.(理)超几何分布 2 ＾＾ ＾＾ -b ) 2 2 -b ) 2 24 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)= - - ,k=0, ,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈ *. 其分布列为: X P 0 0 m …… 1 …… m m 该分布列称为超几何分布列;如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布. 【注】(1)理解并掌握超几何分布的问题情景和解决方法;(2)这里应注意抽取产品时,采用的是不放回抽样. 9.(理)事件概率 事件:(事件A、B的发生相互,互不影响)P(A·B)=P(A)·P(B).注:(1)如果事件A、B,那么事件A与 、 与B及事件 与 也都是事件;(2)如果事件A、B相互,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B);(3)如果事件A、B相互,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1-P( · )=1-P( )P( ). 10.(理)二项分布 在n次重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在 kn-kn次重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= p(1-p),其中k=0, ,2, ,…,n. 这样的随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).易知EX=np. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作重复试验,利用二项分布求其分布列. 注:期望还可用“E(X)”表示,方差还可用“D(X)或V(X)”表示. 复习指导 1.(理)排列组合主要解题方法: (1)优先法:特殊元素优先或特殊位置优先; (2)捆绑法(相邻问题); (3)插空法(不相邻问题); (4)间接扣除法(对有条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉); (5)多排问题单排法; (6)相同元素分组可采用隔板法(适用于指标分配,每部分至少有一个); (7)先选后排,先分再排(注意等分分组问题); (8)涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类); (9)分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成n组问题别忘除以n!. 2.(理)二项式系数 (1)二项式系数:二项展开式中,系数 0叫做展开式的二项式系数. , ,…, (2)二项式系数的性质: - ①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 = ; 25 ②若二项式的幂指数是偶数,则展开式的中间一项即第2+1项的二项式系数 最大;若二项式系 - 2数的幂指数是奇数,则展开式的中间两项即第(2+1)项和第(2+1)项的二项式系数 等且最大. 2 n③展开式的所有二项式系数的和等于2n.即 0=2; + + +…+ - 2, 2相 ④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 n-12 5 0 + + +…= + + +…=2. 【注】二项式系数与项的系数的区别:如(2+x)n的展开式中,第k+1项的二项式系数为 ,而第 n-kk+1项的系数为 2. (3)赋值法 一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为f(1)、“奇数 (偶次)项”系数和为2[f(1)+f(-1)],以及“偶数 (奇次)项”系数和为2[f(1)-f(-1)]. 3.(理)排列的顺序性 排列与顺序有关,组合与顺序无关.例如:从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字,可组成多少个不同的三位数?这是排列问题,有 个.而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个?这是一种确定的顺序,是组合问题,有 个不同的三位数. 4.(理)求离散型随机变量分布列的步骤: (1)要确定随机变量X的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义; (2)分清概率类型,计算X取得每一个值时的概率(取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样); (3)列表,给出分布列,并用分布列的性质验证. 5.求几何概型的概率最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据的区域的长度(或面积、体积等).这里需要解析几何的知识,而最困难的地方是找出基本事件P(x,y)的约束条件,找出约束条件后,像线性规划求可行域一样求其长度(或面积、体积等)就不困难了. 算法与推理 知识提炼 1.算法的结构 顺序结构:如图(1)所示. 条件结构(也称选择结构、条件分支结构):如图(2)和图(3)所示. 循环结构:如图(4)和图(5)所示. 26 2.推理 (1)合情推理 ①归纳推理和类比推理统称为合情推理. ②归纳推理是由部分到整体、由特殊(个别)到一般的推理. ③类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理. (3)直接证明法 ①综合法的思维特点是:由因导果. ②分析法的思维特点是:执果索因. (4)间接证明法——反证法 反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法. 反证法的步骤是:反设、归谬、存真. 复习指导 1.综合法的证明步骤:由因导果,P0(已知)⇒P1⇒…⇒Pn(结论). 2.分析法的证明步骤:执果索因,B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知). 3.反证法 (1)一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法,反证法是间接证明的一种方法. (2)应用反证法证明数学命题的步骤: 第一步:分清命题“p⇒q”的条件和结论; 第二步:作出与命题结论q相矛盾的假设q; 第三步:由p和q出发,运用正确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步:断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设,q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题p⇒q为真. 说明:①所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、定理或已知条件矛盾,与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况. ②反证法适宜证明“存在性、唯一性、带有至少(至多)型”等问题. 4.(理)数学归纳法 (1)数学归纳法是证明与自然数集有关的命题,它是在归纳的基础上进行的演绎推证.所得结论一般是正确的. (2)应用数学归纳法的一般步骤:①验证n=n0时,结论正确;n0是使命题成立的最小的自然数;②假设当n=k(k≥n0,k∈ *)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 由①②知,对于一切n(n≥n0,n∈ *),命题成立. 27 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可. 5.利用循环结构表示算法的步骤 利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结构;第二要选择准确的表示累计的变量;第三要注意在哪一步开始循环,满足什么条件不再执行循环体. 28
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