2023年中考数学一轮专题练习 解直角三角形的实际应用2(含解析)

用（解答题部分）

一、解答题（本大题共16小题）

1. （湖北省恩施州2022年）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：21.41，31.73，结果精确到1m）．

2. （湖南省湘潭市2022年）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中DH0.618）：伞柄AH始终平分BAC，ABAC20cm，当BAC120时，伞完AH全打开，此时BDC90．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：31.732）

3. （湖南省怀化市2022年）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：3≈1.73，2≈1.41）

4. （湖南省邵阳市2022年）如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：21.414，31.732）

5. （湖南省郴州市2022年）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD20m，背水坡BC的坡度为i11:1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i21:3，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：21.41，31.73．结果精确到0.1m）

6. （天津市2022年）如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为42，测得塔底B的仰角为35．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．参考数据：

tan350.70，tan420.90．

7. （四川省自贡市2022年）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物

G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角

POCGON．请说明两个角相等的理由．

(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角POQ60，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（31.73，结果精确到0.1米）

(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角,，再测得E,F间的距离m，点O1,O2 到地面的距离O1E,O2F均为1.5米；求PH（用,,m表示）．

8. （四川省遂宁市2022年）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角

GAE50.2，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i5:12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角EBF63.4，则塔顶到地面的高度EF约为多少米． （参考数据：tan50.21.20，tan63.42.00，sin50.20.77，sin63.40.）

9. （四川省内江市2022年）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．

(1)求河的宽度；

(2)求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）

10. （四川省眉山市2022年）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高

CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30，沿AD方向前进60m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：21.41，

31.73）

11. （四川省泸州市2022年）如图，海中有两小岛C，D，某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向，小岛D位于南偏东30°方向，且A，D相距10 nmile．该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82 nmile．求B，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．

12. （四川省凉山州2022年）去年，我国南方菜地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

13. （湖北省鄂州市2022年）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：

(1)两位市民甲、乙之间的距离CD； (2)此时飞机的高度AB，（结果保留根号）

14. （四川省成都市2022年）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角AOB150时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角AOB108时（点A是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A处离桌面的高度AD的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin720.95，

cos720.31，tan723.08）

15. （黑龙江省绥化市2022年）如图所示，为了测量百货大楼CD顶部广告牌ED的高度，在距离百货大楼30m的A处用仪器测得DAC30；向百货大楼的方向走10m，到达B处时，测得EBC48，仪器高度忽略不计，求广告牌ED的高度．（结果保留小数点后一位）

（参考数据：31.732，sin480.743，cos480.669，tan481.111）

16. （四川省广元市2022年）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

参

1. 【答案】古亭与古柳之间的距离AB的长约为137m 【分析】

过点B作AD的垂直，交DA延长线于点C，设ACxm，则CD(x50)m，分别在

RtBCD和Rt△ABC中，解直角三角形求出BC,AB的长，再建立方程，解方程可得x的值，由此即可得出答案． 【详解】

解：如图，过点B作AD的垂直，交DA延长线于点C， 由题意得：AD50m,BAC60,D45， 设ACxm，则CDACAD(x50)m， 在RtBCD中，BCCDtanD(x50)m， 在Rt△ABC中，BCACtanBAC3xm，AB则x503x， 解得x25325，

则AB2x50350137(m)，

答：古亭与古柳之间的距离AB的长约为137m．

AC2xm，

cosBAC

2. 【答案】72cm 【分析】

过点B作BEAH于点E，解RtABE,RtBED，分别求得AE,ED，进而求得AD，根据黄金比求得DH，求得AH的长，即可求解． 【详解】

如图，过点B作BEAH于点E

ABAC，BAC120，AH始终平分BAC， BAECAD60 AEcos60AB1AB10，BE3AE103 2ABAC,BADCAD,ADAD

ADC≌ADB BDC90 ADBADC45

BEED

ADAEED1010327.32

DH0.618 AHDH0.618

DHAD解得DH44.2

AHADDH27.3244.271.5272 答：最少需要准备72cm长的伞柄 3. 【答案】不穿过，理由见解析 【分析】

先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可． 【详解】

不穿过，理由如下：

. 过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°设CD=x，则BD=2.4-x， 在Rt△ACD中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°， ∴AD=CD=x．

在Rt△ABD中，tan30即

x3， 2.4x3AD， BD解得x=0.88，

可知AD=0.88千米=880米，

因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．

4. 【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析 【分析】

如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可． 【详解】

解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

-45°=45°根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°，AB=30×1=30（km）， 在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°， tan∠DBC=∴CD=BD 设BD=CD=xkm，

在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°， ∴tan∠DAC=

CDx3 ，即AD30x3CDCD=1 ，即

BDBD解得x=153+15≈40.98， ∵40.98km>40km

∴这艘船继续向东航行安全．

5. 【答案】背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m 【分析】

通过解直角三角形RtBCD和RtACD，分别求出AD和BD的长，由ABADBD求出AB的长． 【详解】

解：在RtBCD中，∵背水坡BC的坡度i11:1，

∴

CD1， BD∴BDCD20m．

在RtACD中，∵背水坡AC的坡度i21:3， ∴

CD1， AD3∴AD3CD203m，

∴ABADBD2032014.6m．

答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m． 6. 【答案】这座山AB的高度约为112m 【分析】

tan∠APB，在Rt△PAC中，ACPA·tanAPC，利用在RtPAB中，ABPA·ACABBC，即可列出等式求解． 【详解】

解：如图，根据题意，BC32，APC42，APB35．

在Rt△PAC中，tanAPC∴PAAC．

tanAPCAB， PAAC， PA在RtPAB中，tanAPB∴PAAB．

tanAPB∵ACABBC， ∴

ABBCAB．

tanAPCtanAPB∴ABBCtanAPB32tan35320.70112m．

tanAPCtanAPBtan42tan350.900.70答：这座山AB的高度约为112m． 7. 【答案】(1)证明见解析 (2)10.2米

mtantan1.5米 (3)tantan【分析】

（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；

（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果； （3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、、m的式子表示出PH． (1)

证明：∵COG90,AON90 ∴POCCONGONCON ∴POCGON (2)

由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米，OQP90,POQ60， 在Rt△POQ中 tan∠POQ=

PQPQ3 OQ5∴PQ53 ∴PHPQQH531.510.2（米） 故答案为：10.2米． (3)

由题意得：O1O2EFm,O1EO2FDH1.5m， 由图得：tan=O2DPDPD，tan= O2DO1DPDPD，O1D， tantan∴O1O2O2DO1D ∴mPDPD tantanmtantan

tantan∴PDmtantan1.5米 ∴PHPDDHtantanmtantan1.5米 故答案为：tantan8. 【答案】塔顶到地面的高度EF约为47米 【分析】

延长EF交AG于点H，则EHAG，过点B作BPAG于点P，则四边形BFHP为矩形，设BP5x，则AP12x，根据解直角三角形建立方程求解即可． 【详解】

如图，延长EF交AG于点H，则EHAG，

过点B作BPAG于点P，则四边形BFHP为矩形， ∴FBHP，FHBP．

由i5:12，可设BP5x，则AP12x， 由BP2AP2AB2可得5x12x262， 解得x2或x2（舍去）， ∴BPFH10，AP24， 设EFa米，BFb米， 在Rt△BEF中tanEBF即tan63.4EF， BF22a2，则a2b① b在RtEAH中，tanEAH即tan50.2a101.20② 24bEHEFFHEFBP， AHAPPHAPBF由①②得a47，b23.5．

答：塔顶到地面的高度EF约为47米． 9. 【答案】(1)（303+30）米； (2)203米． 【分析】

（1）过点A作AE⊥l于点E，设CE=x，在Rt△ADE中可表示出DE，在Rt△ACE中可表示出AE，通过解直角三角形ADE求出x即可；

（2）过点B作BF⊥l，垂足为F，继而得出CE的长，在Rt△BCF中，求出CF，继而可求出AB． (1)

解：过点A作AE⊥l，垂足为E，

设CE＝x米， ∵CD＝60米，

∴DE＝CE+CD＝（x+60）米， ∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，

∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝CE•tan45°＝x（米）， 在Rt△ADE中，∠ADE＝30°， ∴tan30°＝

AEx3＝＝， EDx603∴x＝303+30，

经检验：x＝303+30是原方程的根， ∴AE＝（303+30）米， ∴河的宽度为（303+30）米； (2)

过点B作BF⊥l，垂足为F，

则CE＝AE＝BF＝（303+30）米，AB＝EF， ∵∠BCD＝120°，

∴∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°， 在Rt△BCF中，CF＝

BF30330＝＝（30+103）米， tan603∴AB＝EF＝CE﹣CF＝303+30﹣（30+103）＝203（米）， ∴古树A、B之间的距离为203米． 10. 【答案】82米 【分析】

设CD的长为x，可以得出BD的长也为x，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可． 【详解】 解：设CD为x，

∵CBD45，∠CDB=90°， ∴BDCDx，

∴ADABBD60x，

在RtACD中，∠ADC=90°，∠DAC=30°，tanDAC即

x3， 60x3CD， AD∴x30330 ∴x81.9m82m．

答：此建筑物的高度约为82m． 11. 【答案】B，D间的距离为14nmile． 【分析】

如图，过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82 nmile．再根据锐角三角函数即可求出B，D间的距离． 【详解】

解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，

根据题意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82 nmile． 在Rt△ABC中，AC=BC=82， ∴AB=2BC=16(nmile)，

在Rt△ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°， ∴DE=AD•sin60°=10×1AE=AD=5 (nmile)，

23=53(nmile)， 2∴BE=AB-AE=11(nmile)， ∴BD=DE2BE214(nmile)， 答：B，D间的距离为14nmile． 12. 【答案】88386米 【分析】

过点B作BDAC于点D，在Rt△ABD和RtBCD中，分别解直角三角形求出AD,BD,CD,BC的长，由此即可得．

【详解】

解：如图，过点B作BDAC于点D，

由题意得：AB16米，CBD45,E30,ACEF， BDEF，

ABDE30， 在Rt△ABD中，AD1AB8米，BDABcosABD83米， 2BD86米，

cosCBD在RtBCD中，CDBDtanCBD83米，BC则ADCDBC88386（米），

答：压折前该输电铁塔的高度为88386米． 13. 【答案】(1)3010米 (2)60390米 【分析】

（1）先根据斜坡CF的坡比=1：3，求出CG的长，然后利用勾股定理求出CD的长即可；

（2）如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，证明AB=BC，设AB=BC=x米，则AHABBHx30米，

DHBGCGBCx90米，解直角三角形得到x303据此求解即可．

x903(1)

解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米， ∴

DG1， CG3∴CG90米，

∴CDDG2CG23010米； (2)

解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形， ∴BH=DG=30米，DH=BG， ∵∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC，

设AB=BC=x米，则AHABBHx30米，DHBGCGBCx90米， 在Rt△ADH中，tanADH∴

x303， x903AH3， DH3解得x60390， ∴AB60390米．



14. 【答案】约为19cm 【分析】

在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△ADO中，根据正弦函数求得AD的值．

【详解】

-∠AOB=30°解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°，AC=10cm，

OC∴OA=sin30101220，

在Rt△ADO中，AOC180∴ADOAsin7215. 【答案】4.9m 【分析】

AOB72，OAOA20cm，

200.9519cm．

先求出BC的长度，再分别在Rt△ADC和Rt△BEC中用锐角三角函数求出EC、DC，即可求解． 【详解】

根据题意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°， 则BC=AC-AB=30-10=20，

在Rt△ADC中，DCACtanA30tan30103， 在Rt△BEC中，ECBCtanEBC20tan48， ∴DEECDC20tan48103，

即DE20tan48103201.111101.7324.9 故广告牌DE的高度为4.9m．

16. 【答案】隧道EF的长度40330米． 【分析】

过点A作AG⊥CD于点G，然后根据题意易得AG=EG=DG，则设AG=EG=DG=x，进而根据三角函数可得出CG的长，根据线段的和差关系则有x803x，最后问题可求解． 【详解】

解：过点A作AG⊥CD于点G，如图所示：



由题意得：CE80m,DF10m,AEFADE45,ACE30， ∴△EAD是等腰直角三角形， ∴AG=EG=DG， 设AG=EG=DG=x， ∴CGAG3x，

tan30∴x803x， 解得：x40340，

∴AGEGDG40340m，

∴EFEDDF403401040330m； 答：隧道EF的长度40330米．

