2006年重庆高考文科数学解析版

2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

数学试题卷（文史类）

数学试题（文史类）共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须用0.5mm黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 如果事件A、B相互，那么P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中恰好发生k次的概率：

kknk Pn(k)Cnp(1p)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合U{1,2,3,4,5,6,7}，A{2,4,5,7}，B{3,4,5}，则(痧UA)(UB) （A）{1,6} （B）{4,5} （C）{2,3,4,5,7} （D）{1,2,3,6,7} （2）在等差数列an中，若an0且a3a7，a5的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为 （A）(x2)(y1)3 （B）(x2)(y1)3 （C）(x2)(y1)9 （D）(x2)(y1)3

（4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是

（A）过P只能作一条直线与平面相交 （B）过P可作无数条直线与平面垂直 （C）过P只能作一条直线与平面平行 （D）过P可作无数条直线与平面平行 （5）2x3的展开式中x的系数为

2522222222（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160

1（6）设函数yf(x)的反函数为yf(x)，且yf(2x1)的图像过点(,1)，则

12yf1(x)的图像必过

（A）(,1) （B）(1,) （C）(1,0) （D）(0,1)

（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是

（A）2 （B）3 （C）5 （D）13

1212（8）已知三点A(2,3),B(1,1),C(6,k)，其中k为常数。若ABAC，则AB与AC的

夹角为

2424) （B）或arccos 252522424（C）arccos （D）或arccos

25252（A）arccos(（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演

出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040 （10）若,(0,2)，cos(2)13,sin()，则cos()的值等于

222（A）1133 （B） （C） （D）

22229x2y21上三个不同的点，（11）设A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆

5259则“AF,BF,CF成等差数列”是“x1x28”的 （A）充要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要

（12）若a,b,c0且a2ab2ac4bc12，则abc的最小值是 （A）23 （B）3 （C）2 （D）3 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上。 （13）已知sin225，，则tan 。 25（14）在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an 。

,a1，（15）设a0函数f(x)loga(x22x3)有最小值，则不等式loga(x1)0的

解集为 。

x2y30（16）已知变量x，y满足约束条件x3y30。若目标函数zaxy（其中a0）

y10仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为 。

三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为

111、、。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独632立。求：

（Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率； （Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； （18）（本小题满分13分）

设函数f(x)3cos2xsinxcosxa（其中0,aR）。且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间[。 65,]上的最小值为3，求a的值； 36（19）（本小题满分12分）

设函数f(x)x3ax3bx的图像与直线12xy10相切于点(1,11)。 （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性。 （20）（本小题满分12分） 如图，在增四棱柱ABCD132中，A1B1C1DAB1,B1B3，1E为BB1上使B1E1的点。

平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （Ⅰ）异面直线AD与C1G所成角的大小； （Ⅱ）二面角AC1GA1的正切值； （21）（本小题满分12分）

2xb已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围； （22）（本小题满分12分）

如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线过焦点F的直线FAn角抛物x24y上的点，线于另一点Bn(sn,tn)。 （Ⅰ）试证：xnsn4(n1)；

（Ⅱ）取xn2n，并记Cn为抛物线上分别以

An与Bn为切点的两条切线的交点。试证：

FC1FC2FCn2n2n11；

2006年普通高等学校招生全国统一考试

（重庆卷）数学（文史类）

参

（1）—（12）DDCDB CCDBB AA

（2，）(13) -2 (14) 2n – 1 (15)（16）a1 2三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，

设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为间内打进三个电话，且各个电话相互。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；

111、、。若在一段时632（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；

解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和事件同时发生的概率公式， 所求概率为：p()()() （Ⅱ）这是n=3，p=

1631331231. 61的重复试验，故所求概率为： 652125(2)C()(). P336672

（18）（本小题满分13分）设函数f(x)3cos2xsinxcosxa

（其中0,aR）。且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间[。 6536,]上的最小值为3，求a的值；

解：（I）f(x)3133cos2xsin2xsin(2x)a 22232 依题意得 26321． 2 （II）由（I）知，f(x)sin(x3)53．又当x[,]时，

362 x3[0,71π5π]，故sin(x)1，从而f(x)在区间， 62336上的最小值为3

（19）（本小题满分12分）

1331a，故a. 222设函数f(x)x3ax3bx的图像与直线12xy10相切于点(1,11)。 （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性。

解：（Ⅰ）求导得f(x)3x6ax3b。

由于 f(x)的图像与直线12xy10相切于点(1,11)，

所以f(1)11,f(1)12，即：

''232 1-3a+3b = -11 解得: a1,b3． 3-6a+3b=-12

（Ⅱ）由a1,b3得：f'(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3) 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.

故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数， 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.

（20）（本小题满分12分）

如图，在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，

AB1,BB131，E为BB1上使B1E1的点。 平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （Ⅰ）异面直线AD与C1G所成角的大小； （Ⅱ）二面角AC1GA1的正切值；

AD与解法一：（Ⅰ）由AD//DG1知C1GD1为异面直线

C1G所成角．（如图1）

连接C1F．因为ＡＥ和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线， 所以AE//C1F,由此得D1FBF3.再由FDGFDADG3. 11在RtC1D1G中,由C1D1=1得C1GD1（Ⅱ）作D1HC1G于H,由三垂线定理知

6

FHC1G,故D1HF为二面角F-C1G-D1

即二面角AC1GA1的平面角.

在RtHD1G中,由D1G=3,HGD16得D1H3. 2 从而tanD1HFD1FD1H32. 32AD与C1G所成角．（如图2） 解法二：（Ⅰ）由AD//DG1知C1GD1为异面直线

因为EC1和AF是平行平面BB1C1C与平面AA1D1D与平面AEC1G的交线， 所以EC1//AF,由此得AGA1EC1B14,AGAA131D1G3. 1在RtC1D1G中,由C1D1=1得C1GD1（Ⅱ）在AC11G中,由C1A1G=6

4,A1GC1=6知AC11G为钝角。

作A1HGC1交GC1的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知

GHAH,故A1HA为二面角A-C1G-A1的平面角.

在RtA1HG中,由A1G=31,HGA16得A1H31. 2 从而tanA1HAA1AA1H312. 312

解法三：（Ⅰ）以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3

所示的空间直角坐标系，于是，A(0,0,31),C1(1,1,0),D(0,1,31),E(1,0,1),

AD(0,1,0),EC1(0,1,1).因为EC1和AF是平行平面

BB1C1C和AA1D1D与平面AEC1G的交线，所以EC1//AF．设Ｇ（0,y,0）,则

11AG(0,y,13).由EC1//AG,于是y31.

y13故G(0,13,0),C1G(1,3,0).设异面直线AD与C1G所成的角的大小为,则:

ADC31G cos,从而 . 62ADC1G（Ⅱ）作A为二面角A-C1G-A11HA1HC1G H,由三垂线定理知GHAH,故A的平面角. 设H（a,b,0）,则:A,b1,0).由A1HC1G得: 1H(a,b,0),C1H(a1C1HC1G0,由此得a-3b=0.„„①

a1b1 又由H,C1,G共线得C1H//C1G,,于是 133ab(31)0. „„②

联立①②得:a33313331,b.故H(,), 444433213213由A1H()(),A1A13 得:

442tanA1HAA1AA1H312. 312

（21）（本小题满分12分）

2xb已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，

求k的取值范围；

22b112x0b1f(x)解：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(x)=0，即 x1a2a2112 又由f（1）= -f（-1）知2a2.

a4a1112x11 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知f(x)，易知f(x)在(,)上 x1x2222122为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t2t)f(2tk)0 222等价于f(t2t)f(2tk)f(k2t)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2．即对一切tR有：3t22tk0，

从而判别式412k0k.

1312x 解法二：由（Ⅰ）知f(x)．又由题设条件得： x122

12t2222tt22t12122t222k2t2k10，

2 即 ：(22tk12)(12t2t)(2t22t12)(122t2k)0，

整理得 23t22tk1,因底数2>1,故:3t22tk0

13上式对一切tR均成立，从而判别式412k0k.

（22）（本小题满分12分）

如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x4y上的点， 过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn)。

（Ⅰ）试证：xnsn4(n1)；

（Ⅱ）取xn2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。

试证：FC1FC2FCn22

nn121；

证明：（Ⅰ）对任意固定的n1,因为焦点F（0,1）,所以可设直线AnBn的方程为 y1knx,将它与抛物线方程x24y联立得:

x24knx40,由一元二次方程根与系数的关系得xnsn4(n1)．

（Ⅱ）对任意固定的n1,利用导数知识易得抛物线x4y在An处

2xn,故x24y在An处的切线的方程为： 2x yynn(xxn)，„„①

2的切线的斜率kAn 类似地，可求得x4y在Bn处的切线的方程为： ytn

2222xnsnxnsnxnsnx， 由②－①得：yntn224422xnsnxnsnxsx,xnn„„③

2422sn(xsn)，„„② 2 将③代入①并注意xnsn4得交点Cn的坐标为( 由两点间的距离公式得：FCn2xnsn,1)． 222xnsn2xnsn()42

2442xxnx4222 ． 22(n),FCnn4xn2xn2xn现在xn2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：

1111FC1FC2FCn(x1x2xn)2()2x1x2xn1111(2222n)2(2n)(2n1)(221n)2n2n11.2222

2006年普通高等学校招生全国统一考试 （重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B) 如果事件A、B相互，那么P(AB)P(A)P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次重复试验中恰好发生k次的概率：

kknk Pn(k)Cnp(1p)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题

给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(痧UA)(UB)（ D ）

（A）{1,6} （B）{4,5} （C）{2,3,4,5,7} （D）{1,2,3,6,7} 解：(痧UA)(UB)｛1，3，6｝｛1，2，6，7｝＝｛1，2，3，6，7｝故选D （2）在等差数列an中，若an0且a3a7，a5的值为( D )

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8 解：a3a7＝a52＝，又an0，所以a5的值为8，故选D

（3）以点（2，－1）为圆心且与直线3x4y50相切的圆的方程为( C )

（A）(x2)(y1)3 （B）(x2)(y1)3 （C）(x2)(y1)9 （D）(x2)(y1)3

22222222解：r＝|32－4（－1）＋5|3＋422＝3，故选C

（4）若P是平面外一点，则下列命题正确的是( D )

（A）过P只能作一条直线与平面相交 （B）过P可作无数条直线与平面垂直 （C）过P只能作一条直线与平面平行 （D）过P可作无数条直线与平面平行 解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D

（5）2x3的展开式中x的系数为( B )

25（A）－2160 （B）－1080 （C）1080 （D）2160

r5－rrrr5－r解：Tr＋1＝C（）（－3）＝（－3）25－rC5x，由5－r＝2解得r＝3，故所求52x32系数为＝－1080故选B （－3）22C51（6）设函数yf(x)的反函数为yf(x)，且yf(2x1)的图像过点(,1)，

121(x)的图像必过( C )

211（A）(,1) （B）(1,) （C）(1,0) （D）(0,1)

2211解：当x＝时，2x－1＝0，即y＝f（x）的图象过点（0，1），所以yf(x)的图

2则yf1像必过（1，0）故选C

（7）某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店

有195家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本。 若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是( C )

（A）2 （B）3 （C）5 （D）13

解：各层次之比为：3075195＝2513，所抽取的中型商店数是5，故选C （8）已知三点A(2,3),B(1,1),C(6,k)，其中k为常数。

若ABAC，则AB与AC的夹角为 ( D )

2424) （B）或arccos 252522424（C）arccos （D）或arccos

25252解：由ABAC解得k＝0或6，当k＝0时，AB与AC的夹角为，当k＝6

224时，AB与AC的夹角为arccos，故选D

25（A）arccos(（9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目

的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是( B )

（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040

52解：不同排法的种数为A5A6＝3600，故选B

0,)（10）若,(2，cos(2)13,sin()，则cos()的值等于( B )

222（A）1133 （B） （C） （D） 2222解：由,(0,2)，则－（－，）（－，），－，又 242224cos(2)13，sin()，所以－＝，－＝－

2226262，所以 cos()＝解得＝＝31，故选B 29x2y21上三个不同的点，（11）设A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆

5259则“AF,BF,CF成等差数列”是 “x1x28”的( A ) （A）充要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分不必要条件 （D）既非充分也非必要

44，F（4，0），由焦半径公式可得|AF|＝5－x1， 554944|BF|＝5－×4＝，|CF|＝5－x2，故AF,BF,CF成等差数列（5－x1）

555549＋（5－x2）＝2×x1x28故选A

55解：a＝5，b＝3，c＝4，e＝

（12）若a,b,c0且a2ab2ac4bc12，则abc的最小值是( A )

（A）23 （B）3 （C）2 （D）3 解：（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝12＋（b－c）212，当且仅当b

＝c时取等号，故选A

2二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共24分。

把答案填写在答题卡相应位置上。

（13）已知sin25，，则tan -2 。 25解：由sin255，cos＝－，所以tan－2 255（14）在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an 2n-1 。 解：由an1an2(n1)可得数列{an}为公差为2的等差数列，又a11，所以

an2n－1

（15）设a0,a1，函数f(x)loga(x22x3)有最小值，

则不等式loga(x1)0的解集为 (2 ) 。 ,解：由a0,a1，函数f(x)loga(x22x3)有最小值可知a1，所以 不等式loga(x1)0可化为x－11，即x2.

x2y30（16）已知变量x，y满足约束条件x3y30。若目标函数zaxy（其中a0）

y10仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围为 (,) 。 解：画出可行域如图所示，其中B（3，0）， C（1，1），D（0，1），若目标函数zaxy取 得最大值，必在B，C，D三点处取得，故有 3aa＋1且3a1，解得a ：

y12x＋2y－3＝0DCy－1＝0x＋3y－3＝0OBx1 2三．解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，

设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为间内打进三个电话，且各个电话相互。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；

111、、。若在一段时632（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；

解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和事件同时发生的概率公式， 所求概率为：p()()() （Ⅱ）这是n=3，p=

1631331231. 61的重复试验，故所求概率为： 652125(2)C()(). P336672

（18）（本小题满分13分）设函数f(x)3cos2xsinxcosxa

（其中0,aR）。且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间[。 6536,]上的最小值为3，求a的值；

解：（I）f(x)3133cos2xsin2xsin(2x)a 22232 依题意得 26321． 2 （II）由（I）知，f(x)sin(x3)53．又当x[,]时，

362 x3[0,71π5π]，故sin(x)1，从而f(x)在区间， 62336上的最小值为3

（19）（本小题满分12分）

1331a，故a. 222设函数f(x)x3ax3bx的图像与直线12xy10相切于点(1,11)。 （Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性。

解：（Ⅰ）求导得f(x)3x6ax3b。

由于 f(x)的图像与直线12xy10相切于点(1,11)，

所以f(1)11,f(1)12，即：

''232 1-3a+3b = -11 解得: a1,b3． 3-6a+3b=-12

（Ⅱ）由a1,b3得：f'(x)3x26ax3b3(x22x3)3(x1)(x3) 令f′（x）＞0，解得 x＜-1或x＞3；又令f′（x）< 0，解得 -1＜x＜3.

故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数， 但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.

（20）（本小题满分12分）

如图，在正四棱柱ABCDA1BC11D1中，

AB1,BB131，E为BB1上使B1E1的点。 平面AEC1交DD1于F，交A1D1的延长线于G，求： （Ⅰ）异面直线AD与C1G所成角的大小； （Ⅱ）二面角AC1GA1的正切值；

AD与解法一：（Ⅰ）由AD//DG1知C1GD1为异面直线

C1G所成角．（如图1）

连接C1F．因为ＡＥ和C1F分别是平行平面ABB1A1和CC1D1D与平面AEC1G的交线， 所以AE//C1F,由此得D1FBF3.再由FDGFDADG3. 11在RtC1D1G中,由C1D1=1得C1GD1（Ⅱ）作D1HC1G于H,由三垂线定理知

6

FHC1G,故D1HF为二面角F-C1G-D1

即二面角AC1GA1的平面角.

在RtHD1G中,由D1G=3,HGD16得D1H3. 2 从而tanD1HFD1FD1H32. 32AD与C1G所成角．（如图2） 解法二：（Ⅰ）由AD//DG1知C1GD1为异面直线

因为EC1和AF是平行平面BB1C1C与平面AA1D1D与平面AEC1G的交线， 所以EC1//AF,由此得AGA1EC1B14,AGAA131D1G3. 1在RtC1D1G中,由C1D1=1得C1GD1（Ⅱ）在AC11G中,由C1A1G=6

4,A1GC1=6知AC11G为钝角。

作A1HGC1交GC1的延长线于H,连接AH，由三垂线定理知

GHAH,故A1HA为二面角A-C1G-A1的平面角.

在RtA1HG中,由A1G=31,HGA16得A1H31. 2 从而tanA1HAA1AA1H312. 312

解法三：（Ⅰ）以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x、y、z轴建立如图3

所示的空间直角坐标系，于是，A(0,0,31),C1(1,1,0),D(0,1,31),E(1,0,1),

AD(0,1,0),EC1(0,1,1).因为EC1和AF是平行平面

BB1C1C和AA1D1D与平面AEC1G的交线，所以EC1//AF．设Ｇ（0,y,0）,则

11AG(0,y,13).由EC1//AG,于是y31.

y13故G(0,13,0),C1G(1,3,0).设异面直线AD与C1G所成的角的大小为,则:

ADC31G cos,从而 . 62ADC1G（Ⅱ）作A为二面角A-C1G-A11HA1HC1G H,由三垂线定理知GHAH,故A的平面角. 设H（a,b,0）,则:A,b1,0).由A1HC1G得: 1H(a,b,0),C1H(a1C1HC1G0,由此得a-3b=0.„„①

a1b1 又由H,C1,G共线得C1H//C1G,,于是 133ab(31)0. „„②

联立①②得:a33313331,b.故H(,), 444433213213由A1H()(),A1A13 得:

442tanA1HAA1AA1H312. 312

（21）（本小题满分12分）

2xb已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，

求k的取值范围；

22b112x0b1f(x)解：（Ⅰ）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 x1a2a2112 又由f（1）= -f（-1）知2a2.

a4a1112x11 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知f(x)，易知f(x)在(,)上 x1x2222122为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t2t)f(2tk)0 222等价于f(t2t)f(2tk)f(k2t)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t22tk2t2．即对一切tR有：3t22tk0，

从而判别式412k0k.

1312x 解法二：由（Ⅰ）知f(x)．又由题设条件得： x122

12t2222tt22t12122t222k2t2k10，

2 即 ：(22tk12)(12t2t)(2t22t12)(122t2k)0，

整理得 23t22tk1,因底数2>1,故:3t22tk0

13上式对一切tR均成立，从而判别式412k0k.

（22）（本小题满分12分）

如图，对每个正整数n，An(xn,yn)是抛物线x4y上的点， 过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn)。 （Ⅰ）试证：xnsn4(n1)；

（Ⅱ）取xn2n，并记Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点。

试证：FC1FC2FCn22

nn121；

证明：（Ⅰ）对任意固定的n1,因为焦点F（0,1）,所以可设直线AnBn的方程为 y1knx,将它与抛物线方程x24y联立得:

x24knx40,由一元二次方程根与系数的关系得xnsn4(n1)．

（Ⅱ）对任意固定的n1,利用导数知识易得抛物线x24y在An处

xn,故x24y在An处的切线的方程为： 2x yynn(xxn)，„„①

2的切线的斜率kAn 类似地，可求得x4y在Bn处的切线的方程为： ytn2sn(xsn)，„„② 22222xnsnxnsnxnsnx， 由②－①得：yntn224422xnsnxnsnxsx,xnn„„③

242 将③代入①并注意xnsn4得交点Cn的坐标为( 由两点间的距离公式得：FCn2xnsn,1)． 222xnsn2xnsn()42

2442xxnx4222 ． 22(n),FCnn4xn2xn2xn现在xn2n，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：

1111FC1FC2FCn(x1x2xn)2()2x1x2xn1111(2222n)2(2n)(2n1)(221n)2n2n11.2222