灵台县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

灵台县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ） A．1

B．

C．e﹣1 D．e+1

P是抛物线C上一点， 的焦点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）

=（sin2θ）

+（cos2θ）

2． O为坐标原点，F为抛物线A．1 •

B．

C．

D．2

3． 在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足

的最小值是（ ）

（θ∈R），则（+）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0

4． 已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）

A．n≤8？ B．n≤9？ C．n≤10？ D．n≤11？

2xy205． 若变量x，y满足约束条件x2y40，则目标函数z3x2y的最小值为（ ）

x10A．-5 B．-4 C.-2 D．3

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x2y2

6． 双曲线E与椭圆C：＋＝1有相同焦点，且以E的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积

93为π，则E的方程为（ ） x2y2

A.－＝1 33x22

C.－y＝1 57． 下列推断错误的是（ ）

A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” B．命题p：存在x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x2+x+1≥0 C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

D．“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件

8． 特称命题“∃x∈R，使x2+1＜0”的否定可以写成（ ） A．若x∉R，则x2+1≥0

B．∃x∉R，x2+1≥0

C．∀x∈R，x2+1＜0 D．∀x∈R，x2+1≥0

x2y2

B.－＝1 42x2y2

D.－＝1 24

y29． 过抛物线y2px(p0)焦点F的直线与双曲线x-=1的一条渐近线平行，并交其抛物线于A、 8B两点，若AF>BF，且|AF|3，则抛物线方程为（ ）

22A．yx B．y2x C．y4x D．y3x

【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查方程思想和运算能力．

10．已知定义在区间[0，2]上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（2﹣x）的图象为（ ）

2222

A． B． C． D．

11．下列函数中，为奇函数的是（ ）

A．y=x+1 B．y=x2 C．y=2x D．y=x|x|

12．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）

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A．

B． C． D．

二、填空题

13．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f（x）=axg（x）（a＞0，a≠1）； ②g（x）≠0；

③f（x）g'（x）＞f'（x）g（x）； 若

14．函数f（x）=log

，则a= ．

2

（x﹣2x﹣3）的单调递增区间为 ．

15．已知（1+x+x2）（x

16．设函数f（x）=

n+

）（n∈N）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n= ．

，

①若a=1，则f（x）的最小值为 ；

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ．

17．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则

18．下列命题：

①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5； ④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

值等于 ．

三、解答题

19．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|． （1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

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20．已知定义域为R的函数（1）求f（x）；

（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）； （3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．

21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD；

（2）若四边形BCC1B1是正方形，且A1D=

，求直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值． 是奇函数．

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22．已知an是等差数列，bn是等比数列，Sn为数列an的前项和，a1b11，且b3S336，

b2S28（nN*）．

（1）求an和bn； （2）若anan1，求数列

23．（本小题满分12分） 已知函数f(x)exax2bx.

（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数； （2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.

24．BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=（1）求证：平面ABD⊥平面BCD； （2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．

．

1的前项和Tn．

anan112第 5 页，共 19 页

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灵台县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1． 故选：C．

2． 【答案】C

【解析】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1）， 又P为C上一点，|PF|=4， 可得yP=3，

代入抛物线方程得：|xP|=2∴S△POF=|0F|•|xP|=故选：C．

3． 【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

，∴．

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

，

x﹣e

，x＞m+x﹣e

，则

．

令f（x）=x﹣ef′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．

，

．

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（

++

）•）•

=2 +

•）•

，设|

|=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

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故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

4． 【答案】B

【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2 n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4 n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7

n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9， 故选B．

【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．

5． 【答案】B 【解析】

31xz，直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0)，当直线过A点时，z3x2y224，当直线过C点

试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系y时，z3x2y313，即的取值范围为[4,3]，所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.

考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 6． 【答案】

x2y2

【解析】选C.可设双曲线E的方程为2－2＝1，

ab

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b

渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，

a

由题意得E的一个焦点坐标为（6，0），圆的半径为1， ∴焦点到渐近线的距离为1.即

|6b|b＋a

2

2

＝1，

又a2＋b2＝6，∴b＝1，a＝5，

x22

∴E的方程为－y＝1，故选C.

5

7． 【答案】C

22

【解析】解：对于A，命题“若x﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1则x﹣3x+2≠0”，正确；

22

对于B，命题p：存在x0∈R，使得x0+x0+1＜0，则非p：任意x∈R，都有x+x+1≥0，正确；

对于C，若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误；

22

对于D，x﹣3x+2＞0⇒x＞2或x＜1，故“x＜1”是“x﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，正确．

综上所述，错误的选项为：C， 故选：C．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题的理解与应用，考查复合命题与充分必要条件的真假判断，属于中档题．

8． 【答案】D

2

【解析】解：∵命题“∃x∈R，使x+1＜0”是特称命题

2

∴否定命题为：∀x∈R，都有x+1≥0．

故选D．

9． 【答案】C

ìy0=22ïpïx-ï02ïïppï【解析】由已知得双曲线的一条渐近线方程为y=22x，设A(x0,y0)，则x0>，所以íx0+=3，

22ïï2ïy0=2px0ïïïîpp解得p=2或p=4，因为3->，故0第 9 页，共 19 页

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【解析】解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x 当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1 ∴y=f（2﹣x）=故选A．

11．【答案】D

【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A； 由于y=x为偶函数，故排除B；

2x

，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项A正确

由于y=2为非奇非偶函数，故排除C； 由于y=x|x|是奇函数，满足条件， 故选：D．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．

12．【答案】B

2

【解析】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b=ac， 由c=2a，则b=

a， =

故选B．

【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．

，

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由所以

．

．

得

，

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又由f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），即f（x）g'（x）﹣f'（x）g（x）＞0，也就是

，说明函数

即故答案为

，故

．

是减函数，

【点评】本题考查了应用导数判断函数的单调性，做题时应认真观察．

14．【答案】 （﹣∞，﹣1） ．

【解析】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}

2

令t=x﹣2x﹣3，则y=

因为y=在（0，+∞）单调递减

t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增 由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1） 故答案为：（﹣∞，﹣1）

15．【答案】 5 ．

【解析】二项式定理． 【专题】计算题．

n+12

）（n∈N）的展开式中无常数项、x﹣项、x﹣项，利

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x用（x

n+

）（n∈N）的通项公式讨论即可．

xn﹣rx﹣3r=

xn﹣4r，2≤n≤8，

【解答】解：设（x

）（n∈N）的展开式的通项为Tr+1，则Tr+1=

n

+

当n=2时，若r=0，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

当n=3时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠3；

n

+

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当n=4时，若r=1，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠4；

n

+

n

+

2

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x）（x）（n∈N）的展开式中均没有常数项，故n=5适合

题意；

2

n

+

当n=6时，若r=1，（1+x+x）（x当n=7时，若r=2，（1+x+x）（x

2

）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠6； ）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠7；

n

+

当n=8时，若r=2，（1+x+x）（x

2）（n∈N）的展开式中有常数项，故n≠2；

n

+

综上所述，n=5时，满足题意． 故答案为：5．

≤a＜1或a≥2 ．

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．

16．【答案】

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

x

，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x﹣3x+2）=4（x﹣）﹣1，

2

2

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

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17．【答案】

．

【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2）， 所以tanα=﹣2．

=

故答案为：﹣．

【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．

18．【答案】 ②③④⑤

【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=

，

，

，但是

=

=﹣．

，因此不是单调递增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴

=11a6＜0，

∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；

④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

=5（a6+a5）＞0，

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2， ①当x≥时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2， ②当1＜x＜时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0．

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③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤． ∴综上，原不等式解集为{x|x≤或x≥2}． （2）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|=

，

则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方， 数形结合可得≥3，

∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．

20．【答案】

【解析】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数， 所以f（0）=0，即从而有

经检验，符合题意；… （2）由（1）知，f（x）=

x

=0，解得b=1； ；…

=﹣+；

由y=2的单调性可推知f（x）在R上为减函数； … （3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式 f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x）， 即f（1+|x|）＜f（﹣x）； … 又因f（x）是R上的减函数， 由上式推得1+|x|＞﹣x，… 解得x∈R．…

21．【答案】

【解析】证明：（1）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点， ∵D为AB的中点， ∴DO∥BC1，

∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，

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∴BC1∥平面A1CD．

解：∵底面△ABC是边长为2等边三角形，D为AB的中点， 四边形BCC1B1是正方形，且A1D=∴CD⊥AB，CD=∵

，∴

=

222

∴AD+AA1=A1D，∴AA1⊥AB，

，

，AD=1，

，

∴CD⊥DA1，又DA1∩AB=D，

∴CD⊥平面ABB1A1，∵BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥CD， ∵矩形BCC1B1，∴BB1⊥BC， ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC， ∵底面△ABC是等边三角形， ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．

以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，过C作平面CBB1C1的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， B（2，0，0），A（1，0，

=（，﹣2，﹣

），D（，0，

），A1（1，2，

），

），平面CBB1C1的法向量=（0，0，1），

设直线A1D与平面CBB1C1所成角为θ， 则sinθ=

=

=

．

．

∴直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为

22．【答案】（1）an2n1，bn2n1或an【解析】

1n(52n)，bn6n1；（2）. 32n1第 15 页，共 19 页

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试题解析：（1）设an的公差为d，bn的公比为，

2q2(33d)36,d2,d,由题意得解得或3

q2,q6.q(2d)8,1∴an2n1，bn2n1或an(52n)，bn6n1．

3（2）若anan+1，由（1）知an2n1，

11111∴()， anan1(2n1)(2n1)22n12n1111111n)∴Tn(1…．

23352n12n12n1考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.

e2e2e223．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共

444点；（2）证明见解析. 【解析】

exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出

xxe2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数

4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1

试题解析：

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当a(0,e)时，有0个公共点； 42

e2当a，有1个公共点；

4e2当a(,)有2个公共点.

4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，

令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，

'x'x1122'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，

'因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，

12第 17 页，共 19 页

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考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.

【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24．【答案】

【解析】（1）证明；在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD，△CBD为等边三角形， ∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，AE=CE=∵AC=

222

，∴AE+CE=AC，

，

∴AE⊥EC，∴AE⊥平面BCD，

又∵AE⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD；

（2）解：由（1）可知建立以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，EA为z轴的空间直角坐标系E﹣xyz， 则D（0，1，0），C（

，0，0），F（0，，

）G（﹣

，1，

），

平面CDG的一个法向量=（0，0，1）， 设平面FDG的法向量=（x，y，z），

=（0，﹣，

），

=（﹣

，1，

）

∴，即，令z=1，得x=3，y=，1），

，

故平面FDG的一个法向量=（3，∴cos

=

=

，

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精选高中模拟试卷

∴二面角F﹣DG﹣C的余弦值为﹣．

【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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