汽车真能达到极速吗？
——对高中“汽车起动问题”的进一步探究
汽车起动一般都不是匀加速运动，而是以一定的功率加速运动的。那么汽车速度𝑣随时间𝑡究竟怎么变化的呢？
(一)首先我们来讨论一下无阻力的情况。则我们可列出微分方程：
𝑃𝑑𝑣=𝑚 𝑣𝑑𝑡解这个微分方程：
𝑚𝑣𝑑𝑣=𝑃𝑑𝑡
1
𝑚𝑣2=𝑃𝑡+𝐶 2
由于𝑡=0时刻，汽车速度𝑣=0，固有：
𝐶=0
最后得到：
2𝑃𝑡𝑣= 𝑚以奔驰的SLS为例，取𝑃=4.2×105𝑤，𝑚=1620𝑘𝑔，得到加速曲线如图(亦可由动能定理得到)：
(二)当然，高中我们不考虑空气阻力，只考虑地面对车的摩擦力𝑓时，有微分方程：
𝑃𝑑𝑣−𝑓=𝑚 𝑣𝑑𝑡解这个微分方程：
1𝑃− 𝑃−𝑓𝑣 +𝑑𝑡𝑓𝑓𝑑𝑣=
𝑃−𝑓𝑣𝑚𝑑𝑣𝑃𝑑 𝑃−𝑓𝑣 𝑑𝑡−∙= 𝑓𝑓2𝑃−𝑓𝑣𝑚𝑣𝑃𝑡
−−2ln 𝑃−𝑓𝑣 =+𝐶 𝑓𝑓𝑚同理有𝑡=0时刻，汽车速度𝑣=0，因此：
−
𝐶=−
故结果为：
𝑃
ln𝑃 𝑓2𝑓2
−𝑓𝑣−𝑃ln 𝑃−𝑓𝑣 =𝑡−𝑃ln𝑃
𝑚作出函数图像如图所示（设汽车与地面的滚动摩擦因数为0.02）：
(存在渐近线𝑣=4761.7𝑘𝑝，即汽车速度的极限. 其实在这种模型下，高中题目中的𝑣−𝑡图便是错的了，汽车只能无限接近极速，不能达到，即不存在题目中的那条水平直线. 高中时我们说𝑓=𝐹牵=𝑣这种情况是不存在的，当𝑣接近于𝑣lim时，𝐹牵也会无限接近于𝑓，从而加速度𝑎总是存在，不过越来越小(趋于0).
(三)实际生活中，SLS的极速只有大约300kph，远小于上图中的4761.7kph，这是因为我们还需考虑空气阻力，因此在微分方程中还应加入另一个变量𝑓空=2𝐶𝜌𝑆𝑣2，得到：
𝑃𝑑𝑣1
−𝑘𝑣2−𝑓=𝑚 (𝑘=𝐶𝜌𝑆) 𝑣𝑑𝑡2这是一个无初等形式解的微分方程，固实际中，我们一般通过对车子进行实测来得到这条曲线，比如SLS的加速曲线如图，实际上到最后依然是无限接近于极速(此图中的曲线是由换挡分开的，每一档所对应的曲线才是上述方程所计算出的曲线)：
1
𝑃
实际中，由于发动机速度𝑣=𝜔𝑟太大，故汽车加速度很容易变得很小，于是人类便发明了变速箱，通过变换齿轮，当发动机转速上升后降低发动机转速，提高𝐹牵，从而让汽车能在其速度提高后依然具有很好的加速性能.
(注：以上内容均建立在牛顿运动定律的基础之上，故未讨论相对论效应)
