谣言传播模型

摘要：谣言是传播是现实生活中普遍存在的一个现象，伴随着日新月异的信息媒介的发展，提供了谣言传播的温床，谣言给人们的生活带来了许多危害。因此，如何分析谣言的传播机制及控制谣言的传播，是当前国内外研究的热点。

本文基于传统的传染病模型，以微分方程的方法作为理论基础，结合马氏链模型及MATLAB编程，最终刻画出谣言的传播过程、比较出网络时代和传统媒介占主导的时代谣言的传播的异同。

针对需建立模型来刻画谣言传播的过程这一问题，谣言传播类似于传染病传播的过程，但两者也存在一些差别。基于谣言传播错综复杂的过程，采取了分步式建立模型，共建立了4个模型，分别是SI模型、SIS模型、两种SIR模型。通过对一些粗糙的假设做出准确的修改，最终确定了模型四能较为合理的刻画出谣言的传播过程，给出了免疫者、传播者人数比例随传染率a变化趋势图（见模型求解5.1.4）。

针对需确定一个具体的事例来比较网络时代和传统媒介占主导的时代谣言的传播的异同点。经查阅资料，选取了2006年河北“玉田谣言”事例，运用所建立的模型，对谣言在传统媒介和网络时代传播时的传染率和移出率作出对比，运用所建立的模型，通过MATLAB绘出传播者、免疫者人数比例图，得到传统时代和网络时代谣言传播的异同点（见下表二）

表二 网络时代的谣言传播与传统媒介时代的谣言传播的比较 网络时代 传统媒介时代 传播媒介 口头传播 口头传播与经由媒介传播相结合 传播层面 人际传播与群体传播 人际传播、群体传播与大众传播相结合 传播效果 传播速度、规模、范围都受更加“专业化”，更容易让人“信 服” 两种传播方式不利于谣言流传的控制，也不利于社会稳定。因此提高受众的

认知度是非常必要的，有利于从事件的模糊性这个维度上减小谣言在人际中流传的几率；另外，和媒体应该重视人际传播的力量，重视培养对谣言传播的关注，及时澄清事实，以良好的公信力引导人际传播，同时建立谣言预警机制，及早公布信息，缩短谣言在人际中散播的时间。

关键词：谣言传播 传染病模型 微分方程 玉田谣言 异同点

一、问题重述

1

1.1问题背景

每一则谣言背后都涉及宏观（社会变迁）、微观（个体心理）和中观（群体互动）层面诸多因素。在宏观层面，谣言的产生与环境危机、社会动荡和信任缺失有关。环境危机和社会动荡往往给人造成一种“失控”的感觉，人们将社会变迁中某些现象和问题作对社会整体价值观念和利益的破坏，陷入“集体道德恐慌”，这种恐慌最终通过谣言宣泄而出。 2.2问题提出

本题基于中国目前的社会特点，要求通过建立模型刻画谣言传播的过程，并要确定事例比较网络时代和传统媒介占主导的时代谣言的传播有何异同。题目内容如下：

形成谣言的主要因素有两个: 关注度和模糊度。没人关注的事情不会成为谣言, 而人们不会传播自己不信的事情, 大都数人相信的事情也不会成为谣言。一件事情对不同人的关注度是不一样的。有人关注养生, 所以愿意听说\"黄瓜能治百病\"；有人关注科技和环境, 所以愿意听说\"周正龙要上山找老虎\"。一件事情对不同人的模糊度也是不同的。事件发生时, 你是当事人, 或者你是见证人, 或者你的朋友是其中的当事人或者见证人, 或者你是从报纸、电视、广播上得到的消息, 你对于这件事的认知程度是完全不同的; 事件若涉及科学常识, 则不同科学素养的人群认知程度也不一样。 即便所有情境都类似, 仍旧有人较愿意传播各

种消息, 有人不轻易传播。当然, 也可能有各方(官方或者有利益关系的当 事人)出来辟谣。

请你结合中国目前社会的特点建立模型刻划谣言传播的过程, 并自己确定一个具体的事例来比较网络时代和传统媒介占主导的时代谣言的传播有何异同。

二、问题分析

2.1中国目前社会特点

中国社会无论从宏观、中观、微观三个层面都为谣言的产生、传播和影响创造了条件。

首先，在环境方面，自然环境的恶化已经成为全球性话题。地震、海啸、洪水、干旱、火山、泥石流、极端天气等等，在世界各国肆虐成灾，在中国，则尤为突出。频频发生的灾难既有“大自然不可抗力”的影响，也要部分源于人为的环境破坏。天灾使老百姓焦虑不安，人祸使百姓怨恨不平。焦虑不安的心理状态是谣言得以产生的前提条件，而当今社会，人们的内心除了焦虑不安还有怨恨不平，因此谣言一方面成了释放焦虑的“口香糖”，另一方面又成了发泄怨恨的“垃圾桶”。

其次，在社会方面，农业社会到工业社会转型尚未完成，“风险社会”却初现端倪。差距、地区差距和城乡差距不断扩大，社会矛盾激化、社会问题丛生。作为社会转型的代价，在经济利益和社会利益处于“相对被剥夺”的状态，成为弱势群体，而谣言恰恰是“弱者的武器”。

最后，技术的革新打破了传统媒介的时代。庞大的人口基数以及近年来新媒体行业的发展已经使中国成为名副其实的新媒体应用大国。据统计截止2011年12月，中国网民达到5.13亿，其中手机网民有3.56亿，微博人群达到2.5亿，绝对数量居全球首位。媒体技术的革新使信息的传播获得了前所未有的便利，通

2

过互联网、手机、以及互联网和手机的联动，谣言的传播畅通无阻，其影响就像“蝴蝶效应”一样叠加放大。与传统媒体搭建的正式话语空间不同，进入web2.0甚至web3.0时代的互联网以及进入3G甚至4G时代的手机所搭建的非正式话语空间的异常感、活跃，为谣言的产生、传播与影响提供了无限的可能。 2.2问题的分析

结合实际的谣言传播，一般可分为三个时期：孕育期、传播期、控制期。 本题是一道通过建立数学模型，来刻画谣言传播过程及比较谣言传播媒介的题目。

对于需建立数学模型来刻画谣言的传播过程这一问题。通过对问题的深入分析，考虑将谣言的传播过程比作某种传染病的传播过程，故可以类比于传染病模型，建立相应的谣言传播模型。基于谣言的传播过程错综复杂，影响因素较多，可以先建立较为简单的模型，再通过进一步的修改假设，并针对不同的情况，增加相应的约束条件，建立相应的模型。

对于需确定一个具体的事例来比较网络时代和传统媒介占主导的时代谣言的传播的异同点。为更好的进行比较同一事例在两者传播媒介的异同点，所选取的事例发生时期既不能选取网络媒介完全占主导时期，也不能选取传统媒介完全占主导时期，综合考虑选择了2006年河北“玉田谣言”事例，来比较传统时代和网络时代谣言传播的异同点。

三、符号说明

N：总人数；

S: 无知者占总人数的比重； I: 传播者占总人数的比重； R:免疫者占总人数的比重；

a:每个传播者I在单位时间内传染率；

b:每个传播者I在单位时间转为免疫者R转移率； （其他符号见下文）

四、模型假设

1、谣言传播的过程社会发展稳定； 2、第一个人还会参加二次谣言传播；

3、谣言传播时也会传播给谣言听过谣言的人；

4、相信谣言的人每人在单位时间内传播的平均人数正比于当时尚未定说此谣言的人的个数比恒定不变。

五、模型的建立与求解

5.1刻画谣言传播过程的模型及求解 5.11模型1（SI模型） 符号给定： N：总人数；

s(t)：时刻t未听到谣言的人所占比例； i(t)：时刻t传播谣言的人所占比例；

3

：每个传播谣言的人与未听到谣言人的日接触率

假设条件为：

(1)每个谣言传播者单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比; 根据假设，每个传播者每天可使s(t)个无知者变为谣言传播者，因为谣言传播者人数为i(t)所以每天有Ns(t)i(t)个无知者被传播，于是Nsi就是谣言传播者人数i的增加率即：

disi （1-1） dt又因为

s(t)i(t)1 （1-2）

在计初始时刻(t0)谣言传播者人数为i0则

didt用分离变量解得

i(1i) （1-3）

1 （1-4） 1t1(1)ei0i(t)i(t)~t和

di~i的图形如图1和图2所示 dt

图1 SI模型的i~t曲线 图2 SI模型的

di~i曲线 dt由上图1、图2可知：

1didi当i时，达到最大值()m，这个时刻为

2dtdt

1tm1ln(1)

i0这时谣言传播者增加得最快，预示着谣言传播期的传播到来，这是官方人士关注的时刻。显然日接触率增大及谣言传播媒介的革新，谣言的传播期就会提前

4

到来。但是，当时间无穷增大，最终所有的人都变为谣言的传播者，这显然不符合实际情况的。其原因是没有考虑到谣言的传播者会转变为谣言的免疫者。 为了修正上述结果，必须重新考虑模型的假设，以下三个模型中都考虑了谣言的传播者会转变为谣言的免疫者。 5.1.2模型2（SIS模型） 假设条件为：

谣言传播者I变为谣言免疫者R的变化率是与谣言传播者I成正比； 基于这些假设可得出模型的微分方程：

dSdtaSdIaSbIdtdRdtbI(21)(22) (23)(21)：无知者变化量=-无知者人数*日传染率；

(22)：谣言传播者变化量=无知者变为谣言传播者-谣言传播者变为免疫者人

数；

(23)：谣言免疫者人群变化量=谣言传播者变为免疫者人数

其中a，b都是与时间为参变量的函数，三类人群转换状态图：

1-a 1-b

S a I 1 b R 图3 根据Markov Chain理论，我们可以得出一个矩阵T：

01atTat1bt0bt00 1其中at就是当天无知者S变为谣言传播者I日传播率，bt就是当天传播者I转变

5

为谣言免疫者R的转移率。（at，bt分别为a(t)，b(t)某一天的值）

设初始值XN,0,0于是可以由X与T的转置矩阵相乘一次得到的一天的无知者、传播者、免疫者，再由该人数与T的转置矩阵相乘一次得到的二天的各类人群的数目，依此类推，可以得到第t天的各类人群的数目，于是可以得出任何一天各类人群的数目，于是可以得出任何一天各类人群的数目的初步模型即：

Xt1Xt*T'

由于T是由a，b确定的，所以必须得出a(t)，b(t),而a(t)，b(t)只能是通过实际谣言的传播过程中的数据统计得到。

上述模型无法求出I和S的解析解，故通过MATLAB编程（程序见附录9.1）进行数值计算，绘出以下图4、图5

图4传播者（I）比例随转移率变化图（注：a1）

图5免疫者（R）比例随转移率变化图（注：a1）

6

综合上述图4、图5所示，传播者、免疫者最后经历谣言的衰退期都达到的比例较合理，但是期间未经历谣言的孕育期，直接只经历了传播期、衰退期，该点与实际谣言传播过程不符。 5.1.3模型3（SIR模型）

在模型2的基础上对其进行修改优化并作出以下假设：

(1)谣言传播者I的增长率和传播者I与无知者S的乘积成正比的； (2)传播者I到免疫者R的变化率时与传播者I成正比； 基于两个假设可得无知者变化为

s(tt)s(t)asIt

可得微分方程的模型为

dSdtaSIdIaSIbIdtdRdtbI(31)(3-2) (33)再记初始时刻的无知者和传播者的比例分别是S0和I0（两者均大于零），SIR模型可以写为

dSaSI,dtdIaSIbI,dtS(0)=S0(3-4)

I(0)I0 由于该模型无法求得S(t)和I(t)的解析解，故转为相对平面对接的性质进行

ba，则（称为相对转移率），为了讨论方便，假设人口

ab总数N=1，即总体。

讨论。引入参数 相轨线的定义域(S,I)D其中D(S,I)|S0,I0,SI1

对于方程组（3-4）中消去dt并注意到的定义，可得

1dI1dSS I|SSI00易得该方程的解为I(S0I0)S1lnS S0 在定义域D,以下图6表示的曲线为相轨线，如图所示，其中箭头表示了随

时间t的增加S(t)和I(t)的变化趋势

7

图6 SIR模型的相轨线

定义：如果仅当传播者比例I(t)有一段增长的时期才认为谣言在传播，那么

1是一个阈值。  阈值定理：设S(t)和I(t)是方程（3-4）的解，如果S01，那么当t时，

I(t)单调减少趋于零。如果S01，那么当t时，I(t)先增加达到最大值

11

1ln(S0)，此时S1,而后单调减少趋于零，S(t)是一个单调减少的函

数，并且其极限

limS(t)S()

t是方程(S0I0)S(t)1ln(S(t)1)0在(0,)内的根。 S0下面根据方程（3-4）与其解以及图4分析t时S(t),R(t)和I(t)的变化情况：

①最终未被谣言传播的无知者的比例是S()，根据阈值定理，S()是方程(S0I0)S(t)1ln(S(t)1)0在(0,)内的单根。在图4中S()是相轨线与sS01轴在(0,)内交点的横坐标；

②无论初始条件S(0)和I(0)如何，最终谣言的传播者将消失，即I()0,

8

在图4上的表述为不论哪条线上出发，它终将与s轴相交；

11③由阈值定理，若S0，则I(t)先增加，当S0，I(t)达到最大值

Imax(S0I0)少至S()；

1(1lnS0),然后传播者I(t)减少趋于零，无知者S(t)则单调减

④由阈值定理，若S01，传播者I(t)单调减少为零， S(t)单调减少为S()。

综上所述，S(t),R(t)和I(t)的变化情况，也就与谣言的传播经历的孕育期、散播期、控制期相对应。可以看出，如果仅当谣言传播者比例I(t)有一段增长时

11是一个阈值，当S0时谣言就会蔓延。

11a而提高阈值，使得S0，谣言就不会蔓延。在中，人们的认知度的提

b期才认为谣言的传播在蔓延，那么

高，谣言免疫者比率R(t)增大，每个传播者I在单位时间内传染率a减少；官方或者有利益关系的当事人出来辟谣，就会将每个传播者I转为免疫者R转移率b增大，所以提高人们的认知度、加大官方或当事人出来辟谣行为时减少谣言传播的有效途径。

5.1.4模型4（SIR模型）

可以做出下假设：谣言传播者I遇到了不明种类人群， 如果不明种类人群是无知者那么它就以传染率a被谣言蛊惑成为传播者；如果不明种类人群是传播者或者免疫者那么它就以转移率b成为免疫者。

整个谣言传播的过程中S(t)0而R(t)0也就是说有一部分人从来就没有听说过这个谣言这也和实际的情况相符。 基于这些假设可得出模型的微分方程：

dSdtaSIdIaSIbI(R+I) （4-1） dtdRdtbI(RI)方程（4-1）无法求出I和S的解析解，故通过MATLAB编程（程序见附录9.1）进行数值计算，绘出以下图7、图8

9

图7 传播者（I）比例随转移率变化图（注：a1）

通过上述图7可知，在转移率的增大，谣言的传播者比例最大值减少，且能够推迟谣言传播的传播期的到来；再者从此图，可以给出各方(官方或者有利益关系的当事人)出来辟谣的最佳时期。

图8免疫者（R）比例随转移率变化图（注：a1）

通过上述图8可知，在转移率的增大，谣言的免疫者比例最大值增大，原因是各方(官方或者有利益关系的当事人)出来辟谣，再者也可能是大家的认知度得到了一定的提高，对谣言的判断力得到加强。

综上所述：事实上，整个谣言传播的过程可以简单的概括如下：首先人群里只有少量的传播者，其它都为无知者，免疫者的数量为0 。随着传播者开始散播，谣言无知者的数量很快减少，传播者的数量急剧增加，随着谣言的进一步扩散，免疫者的数量开始增加，而传播者的数量达到一个峰值，以后开始下降，而人群里就只剩下免疫者和少量的无知者恰恰是这部分人从来没有受到过谣言的骚扰。

5.2两类媒介传播的异同

2006年河北“玉田谣言”事例的传播过程（表一）

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时间 6月中旬 7月初 7月7日 7月11日 7月11日—中下旬 7月10日 8月11日 表一谣言传播过程

事件 “玉田谣言”开始在河北玉田县等地传播 “玉田谣言”流传到唐山、秦皇岛等地 当地警方通过网站和县电视台发布公告开始辟谣 “玉田谣言”被发布到网络上 “玉田谣言”被各站和论坛转数，这段时间成为该谣言传播最盛时期 当地警方立案追查 警方锁定了首发帖子的网站在秦皇岛，并很快找到了在此网站上发布谣言贴的张某 通过上述“玉田谣言”的传播过程，人际之间口口传播在谣言的孕育期起决定性作用。由于谣言兴起之初在“私下”进行传播，因此在谣言爆发期，传统媒介往往不能及时洞悉并发布可靠信息，这个阶段的主要传播类型是人际传播，人际传播往往起着放大谣言和扩散谣言的负面作用。到一定时期，才会在网络上相传。当达到谣言传播最盛时期，才引起了官方的关注及采取相应的辟谣措施。

对于在两个占主导的时期，谣言的传播过程中的两个系数移出率、传播率会发生改变，依照常识，在网络时代这两个系数都将变大。因为谣言在网络时代，谣言借着网络的便利，传播人数比例将提高，另一方面，一旦官方出来辟谣，也可以借着网络发布辟谣信息，可以更快的打破谣言的传播。综合两者考虑，通过模型（4-1），将传统媒介的两个常数定为a0.5,b0.5；网络媒介的两个常数

a0.8,b0.7，运用MATLAB（程序见附录9.3）绘出传播者的比例随时间的变

化图9：

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图9传播者（I）比例随转移率变化图

通过对上述图九的分析得到：网络时代传播者比例最大值比传统时代的要高，而该最大值在一定程度上反映了谣言传播所造成的最大影响，即谣言在网络时代传播的最大影响比传统时代要大，且达到的时间要短，但最后打破谣言的时间要比传统时代需要的时间要短。得到网络时代的谣言传播与传统媒介时代的谣言传播的比较（表二）:

表二 网络时代的谣言传播与传统媒介时代的谣言传播的比较 网络时代 传统媒介时代 传播媒介 口头传播 口头传播与经由媒介传播相结合 传播层面 人际传播与群体传播 人际传播、群体传播与大众传播相结合 传播效果 传播速度、规模、范围都受更加“专业化”，更容易让人“信 服”

六、模型评价

优点：

1、在建立模型刻画谣言传播的过程中，运用分步建立模型，很好的体现了

模型的改进，建模的目的性，以及方法的配合。

2、本文在对微分方程的解，配合相应的图给出了说明，可视化效果得到提高。

3、利用MATLAB软件对部分无法求出解析解的微分方程，通过数值运算，给出了相应的图，使模糊谣言传播过程显现出明显的走势。

缺点：

1、在建立模型的过程中，在数值运算中主观的给出了一些系数。

2、在确定无知者、传播者、免疫者之间的关系也是主观定的，没有有力的数据进行说明。

七、模型推广

本模型的建立对于研究现实生活谣言分析具有重要意义，尤其在当今信息媒介快速发展的时代，该模型的建立对传播的过程具有一定的意义，同时该模型可以推广到流言、都市传说的传播过程中。

八、参考文献

[1] 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型[M]，北京：高等教育出版社，2012。 [2] 寿纪麟,数学建模方法与案例[M],西安：西安交通大学出版社，2011。 [3] 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材[M]，湖南：湖南教育出版社，2001。

12

[4] 周苗苗、徐成，社会网络上的谣言传播模型[J].青岛大学学报.第23卷第4期，28-33,2010。

[5] 王长春、陈超，C2网络组织谣言传播的建模与仿真[J].国防科学技术大学学报.第28卷第5期，1906-1911,2011。

[6] 杜骏飞，流言的流变：SARS舆情的传播学分析[J].南京大学学报.第40卷第5期，155-1,2003。

[7] 周裕琼，当代中国社会网络谣言的本质特征、传播规律与社会功能：对八次实证研究发现的综合分析[J].深圳大学学报.112-128,2012。

[8] 张芳、司光亚、罗批，谣言传播模型研究综述[J].国防大学学报.第六卷第四期，

。

1-11,200913

九．附录

9.1

function dy=rigid(t,y); global alp

dy=zeros(3,1); dy(1)=-y(1);

dy(2)=y(1) -alp*y(2); dy(3)=alp*y(2);

global alp alp=0.9

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.001 0]) plot(T,Y(:,2),'x-');

hold on alp=0.7

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'g-d');

hold on alp=0.5

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'m-v'); hold on alp=0.3

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'c-p'); hold on alp=0.1

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'k-s');

legend(' b=0.9',' b=0.7','b=0.5','b=0.3','b=0.1') xlabel('t');ylabel('R(t)');

9.2

function dy=rigid(t,y); global alp

dy=zeros(3,1); dy(1)=-y(1)*y(2);

dy(2)=y(1)*y(2)-alp*y(2)*(y(2)+y(3)); dy(3)=alp*y(2)*(y(2)+y(3));

global alp

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alp=0.9

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.001 0]) plot(T,Y(:,2),'x-');

hold on alp=0.7

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'g-d');

hold on alp=0.5

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'m-v'); hold on alp=0.3

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'c-p'); hold on alp=0.1

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'k-s');

legend(' b=0.9',' b=0.7','b=0.5','b=0.3','b=0.1') xlabel('t');ylabel('R(t)');

9.3

function dy=rigid(t,y); global a global b

dy=zeros(3,1);

dy(1)=-a*y(1)*y(2);

dy(2)=a*y(1)*y(2)-b*y(2)*(y(2)+y(3)); dy(3)=b*y(2)*(y(2)+y(3)); global a global b a=0.5 b=0.5

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.001 0]) plot(T,Y(:,2),'c-d'); hold on a=0.8 b=0.7

[T,Y]=ode45('rigid',[0 100],[1 0.0001 0]) plot(T,Y(:,2),'r-p');

legend('a=0.5 b=0.5 传统媒介时代','a=0.8 b=0.7 网络时代') xlabel('t');ylabel('I(t)');

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