2019年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷(解析版)

2019年浙江省杭州市富阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

=（ ） 1. 计算sin45°

3

A. √3

3 A. 3+4√33 B. 7√3

B. 1

2 C. √2

D. 2

1

C. 4+√3 D. 3+4√3

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 近年来，党和国家高度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000人脱贫，65000000用科

学记数法表示为______．

12. 化简：-3（x-2y）+4（x-2y）=______．

13. 袋内装有标号分别为1，2，3，4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其

标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为______． 14. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=5，则以AC为边长的正方形ACFE的周

长是______． 15. 如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=3BC，连接AC，若tanB=5，则tan∠CAD的值为______．

1

3

2. 抽查九年级10位同学一周做数学作业的时间分别为（单位：h）4，5，4，6，7，6，8，6，7，8．则

这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 6，7 B. 6，6 C. 8，6 D. 6，6.5 3. 如图，该几何体的俯视图是（ ）

A. B.

C. D.

4. 如图所示，直线a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3的度数为（ ）

A. 125∘ B. 135∘ C. 145∘ D. 155∘

5. 若a＜b，则下列结论不一定成立的是（ ）

A. 𝑎−1<𝑏−1 B. 2𝑎<2𝑏

C. −3>−3 B. √𝑥2=|𝑥| D. 𝑥−𝑥+1=(𝑥

2

1−2)2

𝑎𝑏

D. 𝑎2<𝑏2

6. 下列各式变形中，正确的是（ ）

A. 𝑥2⋅𝑥3=𝑥6

16. 如图，一次函数y=2x与反比例函数y=𝑥（k＞0）的图象交于点A，B，点P在

以C（-2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，若OQ长的最大

3

𝑘

C. (𝑥−𝑥)÷𝑥=𝑥−1

2

1

+4

1

值为2，则k的值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分） 17. 解分式方程：𝑥−1+𝑥−1=1．

18. 如图，已知在△ABC中，∠A=90°．

（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．

2

2𝑥

7. 一次函数y=kx-1的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标可以为（ ）

A. (−5,3) B. (1,−3) C. (2,2) D. (5,−1)

8. 已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（其中m为常数），该函数图象与y轴交点在x轴上方，则m的取

值范围正确的是（ ） A. 𝑚>3 B. 𝑚>−3 C. 𝑚<3 D. 𝑚<−3 9. 如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的

中点，则线段MN长的最大值为（ ） A. 5

B. 2 C. 5√2

2 D. 5√2

5

10. 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，

EB=3，GC=4，∠FEG=60°，∠EGF=45°，则BC的长为（ ）

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19. 在甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，两人5次测试成绩（单

位：分）如下：

甲：79，86，82，85，83 乙：88，79，90，81，72．

回答下列问题：

（1）甲成绩的平均数是______，乙成绩的平均数是______；

（2）经计算知S甲2=6，S乙2=42．你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由；

（3）如果从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率．

20. 如图，已知点C在⊙O上，AC=2AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，点P在半圆弧AB上运动（不

与A、B两点重合），连结BP，过点C作直线PB的垂线CD交直线PB于D点，连结CP．

1

当y3＜y2时，求x的取值范围．

22. 在矩形ABCD中，AB=1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交

射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF． （1）如图，求证：四边形AFCE是菱形；

F分别在边AD和BC上时，（2）当点E、如果设AD=x，菱形AFCE的面积是y，

求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．

23. 二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=-2x和直线y=x+m的交点．

（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；

（2）①当x≥2时，y=x2+px+q的值均随x的增大而增大，求m的取值范围； ②若m=6，且x满足t-1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，求t的取值范围．

（3）试证明：无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点．

1

（1）如图1，在点P运动过程中，求∠CPD的度数；

（2）如图2，在点P运动过程中，当CP⊥AB，AC=2时，求△BPC的周长．

21. 如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例

函数y2=𝑥（m≠0）的图象交于第二、第四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD=4，sin∠AOD=5，且点B的坐标为（n，-2）

（1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）将一次函数y1=kx+b（k≠0）向下移动2个单位的函数记为y3，

4

𝑚

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

=解：sin45°故选：C．

，

， ∴∠1=∠4=35°

， ∵∠2=90°

， ∴∠4+∠5=90°， ∴∠5=55°

-∠5=125°， ∴∠3=180°故选：A．

如图求出∠5即可解决问题．

根据特殊锐角的三角函数值求解可得．

本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所

本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 2.【答案】B

【解析】

学知识解决问题． 5.【答案】D

【解析】

解：将数据重新排列为4，4，5，6，6，6，7，7，8，8， 所以这组数据的众数为6，中位数为故选：B．

根据众数和中位数的概念求解．

本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3.【答案】A

【解析】

解：A、在不等式a＜b的两边同时减去1，不等式仍成立，即a-1＜b-1，故本选项错误；

=6，

B、在不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b，故本选项错误； C、在不等式a＜b的两边同时乘以-，不等号的方向改变，即-＞-，故本选项错误； D、当a=-5，b=1时，不等式a2＜b2不成立，故本选项正确； 故选：D．

由不等式的性质进行计算并作出正确的判断．

考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一

，

个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

故选：A．

找到从几何体的上面所看到的图形即可．

此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 4.【答案】A

【解析】

解：从几何体的上面看可得

6.【答案】B

【解析】

解：A、x2•x3=x5，故此选项错误； B、

=|x|，正确；

，故此选项错误；

C、（x2-）÷x=x-

解：

D、x2-x+1=（x-）2+，故此选项错误； 故选：B．

直接利用二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算法则和分式的混合运算法则分别化简求出答案．

∵a∥b，

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此题主要考查了二次根式的性质以及同底数幂的乘法运算和分式的混合运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7.【答案】C

【解析】

当BC最大时，线段MN长的最大， 当BC为⊙O的直径时，BC的长度最大， ， ∵∠ACB=45°

， ∴直径BC=5

则线段MN长的最大值为故选：D．

根据三角形中位线定理得到MN=BC，根据圆周角定理求出直径BC，得到答案．

，

解：∵一次函数y=kx-1的图象的y的值随x值的增大而增大， ∴k＞0，

A、把点（-5，3）代入y=kx-1得到：k=-＜0，不符合题意； B、把点（1，-3）代入y=kx-1得到：k=-2＜0，不符合题意；

本题考查的是圆周角定理、三角形中位线定理，掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．

C、把点（2，2）代入y=kx-1得到：k=＞0，符合题意； D、把点（5，-1）代入y=kx-1得到：k=0，不符合题意； 故选：C．

根据函数图象的性质判断系数k＞0，则该函数图象经过第一、三象限，由函数图象与y轴交于负半轴，则该函数图象经过第一、三、四象限，由此得到结论．

考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意求得k＞0是解题的关键． 8.【答案】B

【解析】

10.【答案】A

【解析】

解：过点F作FH⊥EG于O，交AD于点H， ， ∴∠EOH=∠GOF=90°， ∵∠OGF=45°

∴∠OFG=∠OGF=45， ∴OG=OF．

在正方形ABCD中，EG⊥HF， ∴EG=HF ∴OE=OH ∴EH∥FG

∴△EHO～FGO， ∴

，

解：将y=2（x-1）（x-m-3）展开得， y=2x2-（2m+8）x+2m+6．

在Rt△EOF中，∠OEF=60°，设OE=x，

∵该函数图象与y轴交点在x轴上方 ∴2m+6＞0

解得，m＞-3． 故选：B．

题干中的二次函数解析式为交点式，由该函数图象与y轴交点在x轴上方，我们需要确定图象与y轴的交点，只要将其化为一般式，令常数项大于0即可．

本题考查了二次函数解析式与图象的联系，通过解析式判断图象与坐标轴交点坐标的方法． 9.【答案】D

【解析】

x， ∴OF=OE•tan∠OEF=

在Rt△GOF中，∠OGF=45°∴OG=OF=

x，FG=

=

x，

在Rt△EOH中，OH=OE=x，

x， ∴EH=

∴△EOH与△GOF的相似比为由Rt△AEH～Rt△CFG，GC=4， ∴∴

=

， ， =

，又∵EB=3

=

=

，

解：∵点M，N分别是AB，AC的中点， ∴MN=BC，

∴AE=

∴AB=AE+EB=3+

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故选：A．

过点F作FH⊥EG于O，交AD于点H，证明EG=FH，连接EH，可证得△EHO～△FGO，再由Rt△AEH～Rt△CFG，根据相似三角形的性质求出线段AE的长是解本题的关键．

本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形相似的性质，掌握平行线的性质、锐角三角函数、正确作出辅助性是解题的关键． 11.【答案】6.5×107

【解析】

∴组成的两位数是3的倍数的概率为故答案为：

．

，

画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所成的两位数是3的倍数的结果数，然后根据概率公式求解．

此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14.【答案】20

【解析】

解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，

， ∵∠B=60°

∴△ABC是等边三角形，

107． 解：将65000000用科学记数法表示为：6.5×107． 故答案为：6.5×

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数科学记数法的表示形式为a×

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】x-2y

【解析】

∴AC=AB=5，

5=20， ∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×故答案是：20．

根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC的长度，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=5，求出即可．

本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长． 15.【答案】9

【解析】

5

解：原式=-3x+6y+4x-8y

=x-2y， 故答案为x-2y．

先去括号，再合并同类项即可．

本题考查了整式的加减，掌握去括号的法则和合并同类项的法则是解题的关键． 13.【答案】16

【解析】

5

解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，

∵tanB=，即=，

∴设AD=3x，则AB=5x，

， ∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD=90°

∴△CDE∽△BDA，

∵DC=BC， ∴BD=2DC，

解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，

∴===，

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∴CE=x，DE=x， ∴AE=x， ∴tan∠CAD=故答案为：．

=

=，

∵点B在反比例函数y=∴k=-×故答案为：

=．

；

（k＞0）的图象上，

作辅助线，先确定OQ长的最大时，点P的位置，当BP过圆心C时，BP最长，设B（t，2t），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t，根据勾股定理计算t的值，可得k的值．

过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据tanB=，设AD=3x，AB=5x，证△CDE∽△BDA，得出比例式，

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，有难度，解题的

求出CE、DE长，求出AE，再解直角三角形求出即可．

关键：利用勾股定理建立方程解决问题．

本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题的关键． 16.【答案】25

【解析】

32

17.【答案】解：去分母得：2+2x=x-1，

解得：x=-3

经检验x=-3是原方程的解， 所以方程的解是x=-3． 【解析】

对于分式方程，先去分母得到2+2x=x-1，可解得x=-3，然后进行检验确定分式方程的解． 本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解． 18.【答案】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．

解：连接BP， 由对称性得：OA=OB， ∵Q是AP的中点， ∴OQ=BP，

∵OQ长的最大值为， 2=3， ∴BP长的最大值为×

如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，

∵CP=1， ∴BC=2，

∵B在直线y=2x上，

设B（t，2t），则CD=t-（-2）=t+2，BD=-2t， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2， ∴22=（t+2）2+（-2t）2， t=0（舍）或-， ∴B（-，-），

（2）∵∠B=60°，BP平分∠ABC， ∴∠ABP=30°， ∵tan∠ABP=𝐴𝐵，

√3

=√3， ∴AP=ABtan∠ABP=3×

3

𝐴𝑃

∴S⊙P=3π．

【解析】

（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P； （2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP=可求解．

，再根据圆的面积公式即

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本题主要考查了作图-复杂作图，角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等．同时考查了圆的面积． 19.【答案】83 82

【解析】

∵AC=2AB，

∴∠ABC=30°，

-∠ABC=60°∴∠A=90°，

∴∠CPD=∠A=60°， （2）∵∠A=60°， ∴∠BPC=∠A=60°，

∵PC⊥AB，AB是直径， ⏜=𝐴𝑃⏜， ∴𝐴𝐶

∴∠ABP=∠ABC=30°， ∴∠CBP=60°，

∴△CBP是等边三角形， ∴BP=BC=CP， ∵AC=2，

∴BC=√3AC=2√3，

∴C△BCP=BP+BC+CP=3BC=6√3． 【解析】

1

解：（1）=

==83（分）， =82（分）；

（2）选拔甲参加比赛更合适，理由如下： ∵

＞

，且S甲2＜S乙2，

∴甲的平均成绩高于乙，且甲的成绩更稳定， 故选拔甲参加比赛更合适．

（3）列表如下： 88 79 90 81 72 79 88，79 79，79 90，79 81，79 72，79 86 88，86 79，86 90，86 81，86 72，86 82 88，82 79，82 90，82 81，82 72，82 85 88，85 79，85 90，85 81，85 72，85 83 88，83 79，83 90，83 81，83 72，83

（1）由AC=AB，动点P与点C位于直径AB的异侧，易求得∠ABC=30°，继而可得； ∠CPD=∠A=60°

（2）先证明△CBP是等边三角形，再求出BC的长，最后求出△CBP的周长．

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

21.【答案】解：（1）∵AD⊥x轴，AD=4，

又∵sin∠AOD=𝐴𝑂=5， ∴AO=5，

∵DO2=AO2-AD2， ∴DO=3，

∴A（-3，4），

将A（-3，4）代入y2=𝑥，得4=−3，即m=-12，

𝑚

𝑚

𝐴𝐷4

由表格可知，所有等可能结果共有25种，其中两个人的成绩都大于80分有12种， ∴抽到的两个人的成绩都大于80分的概率为故答案为：（1）83，82．

（1）根据平均数的定义可列式计算；

（2）由平均数所表示的平均水平及方差所衡量的成绩稳定性判断可知；

（3）列表表示出所有等可能的结果，找到能使该事件发生的结果数，根据概率公式计算可得． 本题主要考查平均数、方差即列表或画树状图求概率，根据题意列出所有等可能结果及由表格确定使事件发生的结果数是解题的关键． 20.【答案】解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

．

∴反比例表达式为y2=-𝑥，

将B（m，-2）代入y2=-𝑥，得-2=-𝑥，即x=6， ∴B（6，-2），

将A（-3，4），B（6，-2）代入y1=kx+b得 𝑘=−3

{6𝑘+𝑏=−2，解得{，

𝑏=2

−3𝑘+𝑏=4

212

12

12

∴一次函数表达式为y1=-3x+2．

（2）将一次函数y1=-3x+2向下移动2个单位得到函数y3

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2

2

∴y3=-3x， ∵y3＜y2，

∴-3x＜-𝑥，即𝑥＞𝑥

（1）当x＞0时，𝑥＞3√2．

（2）当x＜0时，−3√2＜𝑥＜0． 【解析】

2

12

18

2

∴y=AE•CD=∵AE≤AD， ∴

1+𝑥22𝑥

1+𝑥22𝑥

，

≤x，

∴x2≥1，∵x＞0， ∴x≥1． 即y=

1+𝑥22𝑥

（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）构建不等式，分两种情形分别求解即可．

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22.【答案】解：（1）①证明：如图1中，

（x≥1）．

（3）①如图2中，当点E在线段AD上时，ED=EO，则Rt△CED≌Rt△CEO， ∴CD=CO=AO=1，

在Rt△ADC中，AD=√𝐴𝐶2−𝐷𝐶2=√22−12=√3．

如图3中，当的E在线段AD的延长线上时，DE=DO，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OB=OD， ∴∠EDO=∠FBO，

在△DOE和△BOF中， ∠𝐸𝐷𝑂=∠𝐹𝐵𝑂{𝑂𝐷=𝑂𝐵， ∠𝐸𝑂𝐷=∠𝐵𝑂𝐹

∴△DOE≌△BOF， ∴EO=OF，∵OB=OD，

∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，OB=OD， ∴EB=ED，

∴四边形EBFD是菱形．

（2）由题意可知：AC=√1+𝑥2，OA=OC=2•√1+𝑥2， ∵cos∠DAC=𝐴𝐶=𝐴𝐸， ∴AE=

1+𝑥22𝑥

𝐴𝐷𝑂𝐴

1

∵DE=DO=OC，EC=CE， ∴Rt△ECD≌Rt△CEO， ∴CD=EO，

∵∠DAC=∠EAO，∠ADC=∠AOE=90°， ∴△ADC≌△AOE， ∴AE=AC，

∵EO垂直平分线线段AC， ∴EA=EC， ∴EA=EC=AC，

∴△ACE是等边三角形， =√3， ∴AD=CD•tan30°

3

，

综上所述，满足条件的AD的值为√3或√．

3

3【解析】

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（1）由△DOE≌△BOF，推出EO=OF，∵OB=OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可． （2）由cos∠DAC=

=

，求出AE即可解决问题；

（3）根据一元二次方程根的判别式进行判断．

此题主要考查了二次函数的性质以及图象，熟练掌握二次函数增减性是解题关键．本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质以及图象，熟练掌握二次函数增减性，一元二次方程根的判别式是解题的关键．

（3）分两种情形分别讨论求解即可；

本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

1𝑥=−𝑦=−𝑥，2，解得{23.【答案】解：（1）由题意得{𝑚

𝑦=𝑥+𝑚𝑦=

32𝑚3

，，

∴𝑀(−

2𝑚3

，3)；

2𝑚3

𝑚

（2）①根据题意得−≤2，解得m≥-3，

∴m的取值范围为m≥-3；

②当m=6时，顶点为M（-4，2），

∴抛物线为y=（x+4）2+2，函数的最小值为2， ∵x满足t-1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2， ∴{𝑡+3≥−4， 解得-7≤t≤-3； （3）{𝑦=𝑥+𝑚，

得x2+（p-1）x+q-m=0，

△=（p-1）2-4（q-m）=p2-2p+1-4q+4m， ∵抛物线的顶点坐标既可以表示为𝑀(−∴𝑝=3𝑚，4𝑞=3𝑚+𝑝2，

∴△=𝑝2−2𝑝+1−(3𝑚+𝑝2)+4𝑚=−2𝑝+1−3𝑚+4𝑚， △=−2𝑝+1−𝑚+4𝑚=−2(𝑚)+1−𝑚+4𝑚=1，

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

2𝑚3

𝑦=𝑥2+𝑝𝑥+𝑞𝑡−1≤−4,

，3)，又可以表示为𝑀(−𝑝，4𝑞−𝑝)．

24

𝑚

2

∴△＞0，

∴无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点． 【解析】

（1）已知直线y=-x和直线y=x+m，列出方程求出x，y，即可求出点M的坐标； （2）①根据题意得出

，解不等式求出m的取值；

②当t-1≤-4时，当-4≤t+3时，二次函数y最小值=2，解不等式组即可求得t的取值范围；

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