第１２卷第１期２０１４年３月 动力学与控制学报 Ｖ０１．１２ Ｎｏ．１ １６７２－６５５３／２０１４／１２（１）／００１．８ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＤＹＮＡＭＩＣＳ ＡＮＤ ＣＯＮＴＲＯＬ Ｍａｒ．２０１４ 分析动力学三个问题的研究进展木 梅凤翔 吴惠彬 （１．北京理工大学宇航学院，北京１０００８１）（２．北京理工大学数学学院，北京１０００８１） 摘要分析力学的发展涉及理论的和应用的诸多方面．本文在分析力学与数学交缘的三个问题上综述分析 力学的近代发展．第一是利用Ｌｉｅ群和Ｌｉｅ代数的一些成果来研究分析动力学方程的积分问题．第二是将分 析力学的经典和近代积分方法应用于一般微分方程的积分问题．第三是将分析动力学方程在一定条件下化 成梯度系统的方程，再用梯度系统的性质来研究力学系统的动力学行为． 关键词分析力学，Ｌｉｅ群，Ｌｉｅ代数，梯度系统，动力学方程积分 ＤＯＩ： １０．６０５２／１６７２－６５５３．２０１３．１０６ 引言 研究了对称性与守恒量研究进展，文献［１９］对非 完整力学给出一些评论．本文试图从分析力学与数 分析力学从它诞生开始就与数学结下不解之 学的交缘的几个方面叙述分析力学的近代发展．一 缘．分析力学历史上做出重要贡献的学者，如ｄ’ 是Ｌｉｅ群和Ｌｉｅ代数对分析力学的应用；二是微分 Ａｌｅｍｂｅｒｔ，Ｌａｇｒａｎｇｅ，Ｈａｍｉｌｔｏｎ，Ｊａｃｏｂｉ，Ｐｏｉｎｃａｒ６， 方程的力学化；三是分析力学与梯度系统． Ｌｙａｐｕｎｏｖ等，既是力学家，又是数学家．１９８２年在 意大利都灵由ＩＵＴＡＭ—ＩＳＩＭＭ联合举办的“分析 １ Ｌｉｅ群和Ｌｉｅ代数的应用 力学近代发展讨论会”上，会议Ｌｉｃｈｎｅｒｏｗｉｃｚ １．１ Ｌｉｅ代数的应用 在开幕式上说“十九世纪末某些聪明的人去想，我 １）基本概念 们的物理学知识除了某些细节外已经很完全了， Ｌｉｅ代数有丰富的内容，这里列出对分析力学 Ｌａｇｒａｎｇｅ，Ｈａｍｉｌｔｏｎ，Ｊａｃｏｂｉ，Ｐｏｉｎｃａｒ６，Ｌｙａｐｕｎｏｖ的 最有用的部分． 工作也引导人们去想再也没有什么本质的东西可 Ｌｉｅ代数是域Ｆ上的代数 ，元素。，ｂ，ｃ满足 以补充到有限自由度系统去了”．“近三十年来，分 规律 加 析力学发生了根本变化．两个因素：一个是大范围 ０６＋ｂａ＝０，口（ｂｃ）＋ｂ（ｃ０）＋ｃ（ａｂ）＝０ （１） 微分几何的进步，另一个是数学分析，特别是流形 前一式表示积具有反对称性，后一式表示积满 上泛函分析的进步，促进了这种变化”ｌ】Ｊ．Ａｒｎｏｌｄ 足Ｊａｃｏｂｉ恒等式． 指出：“事实上，许多数学方法和概念都在经典力学 Ｌｉｅ容许代数是域Ｆ上的代数ｃ，，使得附属代 中得到应用，如微分方程和相流，光滑映射和流形， 数 一是一个Ｌｉｅ代数，由积 Ｌｉｅ群和Ｌｉｅ代数，辛几何和各态历经理论．许多现 ［Ⅱ，ｂ］ ＝ａｂ—ｂａ （２） 代数学理论产生于力学中的问题，只有后来才达到 表征的与 是同一向量空间． 抽象的公理形式，并且使得它们难以理解”ｌ２ Ｊ． ２）动力学方程的代数结构 几何动力学是分析力学的一个近代发展方向， Ｌａｇｒａｎｇｅ方程和Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程具有Ｌｉｅ代数结 并已取得重要进展，例如文献［２—１５］．文献［１６］ 构．特殊非完整系统的方程，包括其相应完整系统 综述了Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统动力学的研究进展，文献［１７］ 的方程具有Ｌａｇｒａｎｇｅ形式的非完整系统，具有 研究了非完整系统稳定性的若干进展，文献［１８］ Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ势的Ｃｈａｐｌｙｇｉｎ系统 ，实现非完整系统 ２０１３．０６．１７收到第１稿，２０１３－０７—１５收到修改稿． ｝国家自然科学基金资助项目（１０９３２００２，１０９７２０３１，１１２７２０５０） 十通讯作者Ｅ—ｍａｉｌ：ｈｕｉｂｉｎｗｕ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ ２ 动力学与控制学报 ２０１４年第ｌ２卷 自由运动的非完整有势系统 ，自治和半自治 Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统 加 等，都具有Ｌｉｅ代数结构 ． 对Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统，将其表示为逆变形式 ＯＨ一∞ ：０（ ， ：１，２，…，２ｎ） （３） 其中 ：ｆ （ｘｉ ，２，…，川 【Ｐ （ ｉＩ． ＋１，ｎ＋２，…，２ｎ） ， ｃ ＝ 数学工作者侧重研究代数本身，力学和物理学 工作者侧重构造代数，并使代数有用．研究某函数 Ａ（ｏ），将按方程（３）求得的对时间的导数Ａ定义为 一个积Ａ ｏＨ： ＯＡ ￣ＯＨｄｅｆ：：Ａ ｏＨ （４） 这个积满足Ｌｉｅ代数公理．对更复杂的力学系统， 一般没有Ｌｉｅ代数结构，但有Ｌｉｅ容许代数结构． ３）Ｐｏｉｓｓｏｎ方法及其推广 具有Ｌｉｅ代数结构的动力学方程，可直接应用 Ｐｏｉｓｓｏｎ积分法来求系统的积分；对于具有Ｌｉｅ容许 代数结构的动力学方程，可以用推广的Ｐｏｉｓｓｏｎ积 分法来求系统的积分 ． ４）问题 对更复杂的动力学系统进一步应用广义Ｐｏｉｓ． ｓｏｎ方法求积分仍需深入研究．对于文献［２０］中提 到的Ｊｏｒｄａｎ代数，Ｊｏｒｄａｎ容许代数以及交错代数， 怎样应用于动力学方程还有待研究． １．２ Ｌｉｅ群的应用 Ｌｉｅ群是很重要的一类群，有极丰富的内容和 广泛的应用．自Ｎｏｅｔｈｅｒ的工作以来 Ｊ，群的无限 小变换用来研究动力学系统的对称性与守恒量取 得重要进展． １）Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性与守恒量 Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性是Ｈａｍｉｌｔｏｎ作用量在无限小变 换下的一种不变性，由Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性可直接导出 Ｎｏｅｔｈｅｒ守恒量 ． ２）Ｌｉｅ对称性与守恒量 Ｌｉｅ对称性是微分方程在群的无限小变换下的 不变性，利用Ｌｉｅ对称性可求得Ｎｏｅｔｈｅｒ守恒 量 ，在一定条件下可求得Ｈｏｊｍａｎ型守恒 量［ 一４ ０ｌ ３）形式不变性与守恒量 形式不变性是指微分方程中的动力学函数在 无限小变换后仍满足原来方程的一种不变性 ， 利用形式不变性在一定条件下可导出系统的守恒 量 埘 ． ４）问题 以上三种对称性以Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性简单、易用， 以形式不变性最不易用．用已有对称性继续深入研 究更复杂力学系统的守恒量，并发现新的对称性方 法是一个重要问题．用计算机寻求近似守恒量也有 待开发． ２微分方程的力学化 微分方程历史的第一个时期是由Ｎｅｗｔｏｎ和 Ｌｅｉｂｎｉｚ的工作开始的，……，质点动力学和刚体动 力学以及某些几何问题的研究用微积分方法很快 就化为一阶或二阶常微分方程中的一类最简单的 方程 ．可见，力学是微分方程的起源之一．同时， 力学也促进了微分方程的发展．力学上的难题，往 往成为数学上的难题． 分析力学在其发展过程中形成了一整套积分 方法，如积分Ｌａｇｒａｎｇｅ方程的Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ降阶法Ｈ 和Ｒｏｕｔｈ降阶法，积分Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程的Ｐｏｉｓｓｏｎ方 法和Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ方法，积分不变量方法，场方 法 ，势积分方法 ，Ｎｏｅｔｈｅｒ对称性方法，Ｌｉｅ 对称性方法，形式不变性方法，Ｊａｃｏｂｉ最终乘子法， Ｌａｇｒａｎｇｅ对称性方法 ，共形不变性方法 。 等．这些方法对解一般的微分方程也是有效的．为 利用分析力学的方法求解微分方程，需将微分方程 化成力学系统的方程． ２．１微分方程的Ｈａｍｉｌｔｏｎ化与求解 研究２ 个一阶方程 戈 ＝ （ｔ， ） （ ＝１，２，…，２ｎ） （５） 将其两端乘以 ／０ 一１ （６０ｇｕ） 【ｌ ０ Ｊ 并对 求和，得 戈 ＝ （ｔ， ）， ＝ 如果函数满足 ： ｆ６） Ｏｘｐ ｃ３ｘ￣， 则可Ｈａｍｉｌｔｏｎ化为 第１期 梅凤翔等：分析动力学三个问题的研究进展 ａ （７） ＝ ，Ｑ ＝ ，亩） （１５） 其中 ＝ 则方程（１４）可部分Ｌａｇｒａｎｇｅ化为 Ｊｏ （ｆ，ｒｘ）ｄｒ （８） ｄ ＯＬ一 ＯＬ＝Ｑ （ｓ＝１，２，…，ｎ）（１６） 这样，有不少方法可求解方程（７），如，Ｈａｍｉｌ． 对方程（１６）可用广义Ｐｏｉｓｓｏｎ方法，Ｎｏｅｔｈｅｒ方 法，Ｌｉｅ方法，形式不变性方法等来求积分．同时，可 ｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ方法 ，Ｐｏｉｓｓｏｎ方法，场方法，Ｎｏｅｔｈｅｒ 方法等 叫． ２．２微分方程的部分Ｈａｍｉｌｔｏｎ化与求解 如果方程不满足条件（６），可令 ｑ ＝ ，Ｐ ＝ｘ ＋ （ｓ＝１，２，…，ｎ） 则方程可表示为 一 Ｑ ｔ，ｑ，ｐ） （９） 其中Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数为 日 ｐ￣ＪｏＺ（ ，ｑ， ）打 （１ｏ） 而广义力Ｑ ｓ为 Ｑ ＝ ＯＨ＋ ＋ （ｔ，ｑ，ｐ） （１１） 方程（９）是一般微分方程（５）的力学表达，它代表 一个一般的完整力学系统． 这样，便可利用一般完整系统的积分方法来求 解微分方程（５），例如，广义Ｐｏｉｓｓｏｎ方法，场方法， Ｎｏｅｔｈｅｒ方法，Ｌｉｅ对称性方法等． ２．３微分方程的Ｌａｇｒａｎｇｅ化与求解 研究二阶微分方程 （ｔ，ｑ，空） ＋Ｂ （ｔ，ｇ，审）＝０ （ｓ，ｋ＝１，２，…，ｎ） （１２） 方程（１２）在一定条件下可表示为Ｌａｇｒａｎｇｅ方 程 ］ ｄ￡ａ审 一 ａ：ｇ ０（ｓ：１，’ ２，…，ｎ）’ （１３） 这就是所谓Ｌａｇｒａｎｇｅ力学逆问题．文献［５５］称之 为Ｈｅｌｍｈｏｈｚ系统． 对方程（１３）在一定条件下可用降阶法降阶， 可将方程（１３）表示为Ｈａｍｉｌｔｏｎ方程，进而可用 Ｐｏｉｓｓｏｎ方法，Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ方法等来求解．还可 用场方法，Ｌｉｅ方法，Ｎｏｅｔｈｅｒ方法等求解． ２．４微分方程的部分Ｌａｇｒａｎｇｅ化与求解 研究二阶微分方程组 ＝ＯＬ （ｔ，ｑ，审）（ｓ＝１，２，…，ｎ） （１４） 令 用Ｈｏｊｍａｎ方法，场方法，势积分方法等直接积分方 程（１６）． ２．５微分方程的Ｂｉｒｋｈｏｆｆ化与求解 微分方程（５）在一定条件下可化为Ｂｉｒｋｈｏｆｆ方 程 ｆＩ＼ａ 一——一一Ｉ一——一一＝Ｕｎ ａ０ ／ ａ一 一ａ ：ｏＯｔ 。 （ ， ＝１，２，…，２ ） （１７） 当然，为构造出Ｂｉｒｋｈｏｆｆ函数Ｂ＝Ｂ（ｔ，ａ）和 Ｂｉｒｋｈｏｆｆ函数组 ＝ （ｔ，ａ）还是很难的． 微分方程Ｂｉｒｋｈｏｆｆ化后，便可利用Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系 统的一系列积分方法来求解方程（１７），例如，广义 Ｐｏｉｓｓｏｎ方法，Ｎｏｅｔｈｅｒ方法，Ｌｉｅ方法，形式不变性方 法等． ２．６微分方程的部分Ｂｉｒｋｈｏｆｆ化与求解 文献［６３］提出如下方程 （＼ 一ａ Ｏａ 一／ ａ 一 ａ ＝一￡ ‘ （ｔｘ， ＝１，２，…，２ｎ） （１８） 并称之为广义Ｂｉｒｋｈｏｆｆ方程，其中Ａ ＝Ａ （ｔ，ａ）为 附加项．将方程（５）化成方程（１８）称为微分方程的 部分Ｂｉｒｋｈｏｆｆ化．显然，将方程（５）化成方程（１８）要 比化成方程（１７）容易得多． 如果能够对方程（１８）提出并建立积分方法， 那么就可解决一般微分方程（５）的积分问题． 关于用分析力学方法求解微分方程的工作见 文献［６４—６６］． ２．７ 问题 １）以方程（１８）为基础构建广义Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统 动力学已有少许结果，仍需进一步深入下去． ２）发展分析力学新的积分方法． ３动力学系统与梯度系统 专著［６７］第９章“大范围的非线性技巧”中研 究了两类重要系统：一个是梯度系统，另一个是 ４ 动力学与控制学报 ２０１４年第１２卷 Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统．梯度系统是微分方程和动力系统中 的重要问题，梯度系统有许多好的性质，特别适合 用Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数来研究．如果动力学方程能够成 为梯度系统的方程，那么便可利用梯度系统的特性 反过来研究力学系统的动力学行为． ３．１梯度系统 梯度系统的微分方程有形式 ＝一 ＯＶ（ １，２，…，ｎ） （１９） 其中Ｖ＝Ｖ（ ， ：，…， ）称为势函数．注意到，这个 势函数并不是力学系统中的势能．方程（１９）可表 示为矢量形式 Ｘ：一ｇｒａｄＶ（Ｘ） （２０） 其中 Ｘ＝（ ｌ， ２，…， ）， ｄ ＝（ ， ，…， ） 梯度系统有如下重要性质［６７］： １）函数 是系统（２０）的一个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数， 并且 ：０，当且仅当 是一个平衡点； ２）设ｚ是一个梯度流的 极限点或 极限 点，则ｚ为平衡点； ３）对梯度系统（２０），任一平衡点处的线性化 系统都只有实特征根． 如果动力学系统的方程能够成为梯度系统的 方程，那么就可利用梯度系统的以上三条性质来研 究力学系统的动力学行为，特别是稳定性分析．首 先，由梯度系统可找到力学系统的平衡位置；其次， 如果能够成为Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，那么就可利用Ｌｙａ． ｐｕｎｏｖ定理研究系统的稳定性，用Ｒｕｍｙａｔｓｅｖ定 理 研究部分变量稳定性；最后，可直接用第三条 性质来判断稳定性． ３．２斜梯度系统 文献［６９］指出，给出一个或几个积分，或Ｌｙａ— ｐｕｎｏｖ函数，则常微分方程可写成线梯度系统．斜梯 度系统是线梯度系统的一个重要的特殊情形．如果 一个力学系统可以成为斜梯度系统，那么就可利用 斜梯度系统的性质来研究力学系统的积分和稳定 性． 斜梯度系统的微分方程可表示为 戈 ＝口 （ ） （ ， ＝１，２，…，ｎ） （２１） 其中０ ＝一口 ．斜梯度系统有如下重要性质 ： １）函数 是斜梯度系统（２１）的积分； ２）若函数 是一个Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，则零解是 稳定的． 以上两条性质可用来研究可化成斜梯度系统 的力学系统的积分和稳定性． ３．３动力学方程的梯度化 １）完整系统 假设系统是定常的，非奇异的，则动力学方程 可表示为 ＝ （ｑ，空） （ｓ＝１，２，…，ｎ） 令 ａ ＝ｑ ，ａ ＝口 （ｓ＝１，２，…，ｎ） 则方程表示为 ＝Ｆ（ａ） （２２） 其中 Ｆ ＝ａ ，Ｆ ＋ ＝ｉｓ（ａ） 如果满足条件 Ｏ： ａ ａ （２３） 则方程（２１）是一梯度系统． ２）非完整系统 将定常非完整系统化成相应完整系统，可按上 述方法讨论相应完整系统的梯度化． ３）Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统 自治Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统的方程可表示为 ： （ ， ：１，２，…，２ ） （２４） 其中 ＝ 一参 如果满足条件 （ 筹）＝ （ ） （ ， ，Ｐ＝１，２，…，２ ） （２５） 则Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统可表示为梯度系统． ３．４动力学方程的斜梯度化 １）Ｌａｇｒａｎｇｅ系统和Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 假设Ｌａｇｒａｎｇｅ系统和Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统都不包含 时间ｔ，则方程可表示为 ： （ ， ：１，２，…，２ｎ） （２６） 第１期 梅凤翔等：分析动力学三个问题的研究进展 其中 ２）研究更多更复杂力学系统的梯度化和斜梯 度化． ｃ。 ：＝ｑ ，ｃ。 ＋５＝＝ｐ ，ｃ ｃ ：＝（ ｎ ｘｎ ） 显然，系统（２６）是一个斜梯度系统． ２）Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统 自治情形的Ｂｉｒｋｈｏｆｆ方程有形式（２４），它是一 ４结束语 分析力学学科的发展涉及理论的和应用的诸 多方面．分析力学２００多年的发展历程始终与数学 个斜梯度系统． 广义Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统的方程有形式 ＝ （ ＋鲁一 ） （ ， ＝１，２，…，２ｎ） （２７） 对自治情形，有 Ｒ ＝ （口），Ｂ＝Ｂ（ａ），Ａ ＝以 （ａ） 方程（２７）可表示为 一Ａ ）（２８） 如果存在函数Ｂ＝Ｂ（ａ），使得 —ａ ———…一以 ■一一 ａ口 （２９）ｌ 则方程（２８）成为 ： （３０） 显然，方程（３０）是一个斜梯度系统． ３）广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统 广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统的方程为 ） ，２，…，ｍ）（３１） 其中Ｊ ｍ一 ．显然，广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统（３１）是一 个斜梯度系统． ３．５积分和稳定性分析 １）如果梯度系统的势函数可以成为Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数，则可利用Ｌｙａｐｕｎｏｖ定理来研究系统的稳定 性； ２）如果梯度系统的势函数可以成为Ｌｙａｐｕｎｏｖ 函数，则可利用Ｒｕｍｙａｔｓｅｖ定理 剐来研究部分变量 稳定性； ３）根据梯度系统的第三条性质，对已化成梯 度系统的力学系统，可判断不稳定性． ４）斜梯度系统的函数 是一个积分，如果它 可以成为Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数，则其零解是稳定的． ３．６问题 １）对非定常系统，能否与怎样化成梯度系统？ 紧密关联着．一方面，数学的进步促进了分析力学 的发展．正如ＩＵＴＡＭ前，工程出身的荷兰著名 力学家Ｋｏｉｔｅｒ指出的，要想使力学进步，一定要用 更加抽象更加精密的数学．应用数学的成果来发展 分析力学还有待开发．另一方面，分析力学的进步 也促进了数学的发展．本文涉及的三个问题，都是 分析力学与数学的交缘．第一个问题是将Ｌｉｅ群和 Ｌｉｅ代数的一些结果应用于动力学方程的积分．第 二个问题是将分析力学的积分方法应用于微分方 程的积分．第三个问题是将动力学方程化成梯度系 统的方程，再用梯度系统的特性来研究力学系统的 行为．最后，用如下框图表示本文的基本思路． 参考文 献 １ Ｂｅｎｅｎｔｉ Ｓ，Ｆｒａｎｃａｖｉｇｌｉａ Ｍ，Ｌｉｃｈｎｅｒｏｗｉｃｚ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ＩＵＴＡＭ・ＩＳＩＭＭ ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ ｏｎ ｍｏｄｅｍ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ｉｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｔｏｒｉｎｏ：Ａｃｔａ Ａｃａｄ．Ｓｃｉ．Ｔａｕｒｉｎｅｎ— ｓｉｓ，１９８３ ２ Ａｍｏｌｄ Ｖ Ｉ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｃｌａｓｓｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７８ ３ Ｇｏｄｂｉｌｌｏｎ Ｃ．Ｇ６ｏｍｅｔｒｉｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｅｌｌｅ ｅｔ ｍ６ｃａｎｉｑｕｅ ａｎａｌｙ— ｔｉｑｕｅ．Ｐａｒｉｓ：Ｈｅｒｍａｎｎ，１９７８４ Ａｂｒａｈａｍ Ｒ，Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｌｏｎｄｏｎ：Ｔｈｅ Ｂｅｎｊａｍｉｎ／ Ｃｕｍｍｉｎｇｓ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙ Ｉｎｃ．，１９７８ ５ Ｓｏｕｒｉａｕ Ｊ Ｍ．Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｄｅｓ ｓｙｓｔ￣ｍｅｓ ｄｙｎａｍｉｑｕｅｓ．Ｐａｒｉｓ： Ｄｕｎｏｄ，１９６９ ６ ｄｅ Ｌｅ６ｎ Ｍ，Ｒｏｄｒｉｇｕｅｓ Ｐ Ｒ．Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｇｅｏｍｅ・ ｔｒｙ ｉｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ａｍｓｔｅｒｄａｍ：Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ， １９８９ ７ Ｔｕｌｃｚｙｊｅｗ Ｗ Ｍ．Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｊｅｔ ｔｈｅｏｒｙ．Ｂｕｌ１． ６ 动力学与控制学报 ２０１４年第１２卷 Ａｃａｄ．Ｐｏｌｏｎ．Ｓｃｉ．，１９７８，２６：６１１—６１５ ８ Ｂｌｏｃｈ Ａ Ｍ，Ｋｒｉｓｈｎａｐｒａｓａｄ Ｐ Ｓ，Ｍａｒｓｄｅｎ Ｊ Ｅ，Ｍｕｒｒａｙ Ｒ． Ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｓｙｍｍｅｔｒｙ．Ａｒｃｈ． Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈ．Ａｎａ１．，１９９６，１３６：２１～９９ ９ Ｓａｒｌｅｔ Ｗ，Ｖａｎｄｅｃａｓｔｅｅｌｅ Ａ，Ｃａｎｔｒｉｊｎ Ｆ．Ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｆｏｒｍｓ ａｌｏｎｇ ａ ｍａｐ，ｔｈｅ￣ａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ ｔｉｍｅ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｓｅｅ— ｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｈｓ Ａｐｐｌｉｃａ— ｔｉｏｎｓ，１９９５，５：１７１～２０３ １０刘端，梅凤翔，陈滨．分析力学的数学方法．见：陈 滨．现代数学理论与方法在动力学、振动与控制中的应 用．北京：科学出版社，１９９２（Ｌｉｕ Ｄ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｃｈｅｎ Ｂ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｉｎ： Ｃｈｅｎ Ｂ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｄｅｍ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｄｙｎａｍｉｃｓ，ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏ１．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉ— ｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，１９９２（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） １１ Ｇｕｏ Ｙ Ｘ，Ｌｕｏ Ｓ Ｋ，Ｓｈａｎｇ Ｍ ｅｔ ａ１．Ｂｉｒｋｈｏｆｆｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｒｅｐｏｒｔｓ ｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００１，４７（３）：３１３—３２２ １２ Ｋｍｐｋａ Ｉ．Ｏｌｉｖａ Ｗ Ｍ．Ｔｈｅ ｎｏｎ・ｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＤｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００１，１６９（１）：１６９～ １８９ １ ３ Ｋｒｕｐｋｏｖａ ０．Ｒｅｃｅｎｔ ｒｅｓｕｌｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｒｅｐｏｒｔｓ ｏｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００２，４９（２／ ３）：２６９～２７８ ｌ４郭永新，罗绍凯，梅凤翔．非完整约束系统几何动力 学研究进展：Ｌａｇｒａｎｇｅ理论及其它．力学进展，２００４， ３４（４）：４７７～４９２（Ｇｕｏ Ｙ Ｘ，Ｌｕｏ Ｓ Ｋ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｐｒｏ— ｇｒｅｓｓ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ：Ｌａｇｒａｎｇｅ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｏｔｈｅｒｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００４，３４（４）：４７７—４９２（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） １５吴惠彬，梅凤翔，史荣昌．非完整非保守系统Ｈａｍｉｌｔｏｎ 原理的几何描述．北京理工大学学报，１９９３，１３（２Ｕ）： ２６０～２６４（Ｗｕ Ｈ Ｂ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｓｈｉ Ｒ Ｃ．Ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｆｏｒ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｎｏｎ— ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｓｎｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈ— ｎｏｌｏｇｙ，１９９３，１３（２ ＩＩ）：２６０～２６４（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） １６ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｂｉｒｋｈｏｆｉｆａｎ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏＮｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００１，３６（５）：８１７～ ８３４ １７朱海平，梅凤翔．非完整系统稳定性的若干进展．力 学进展，１９９８，２８（１）：１７—２９（Ｚｈｕ Ｈ Ｐ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｄｅ． ｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｔｕｄｉｅｓ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓ— ｔｅｍｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９８，２８（１）：１７～２９（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ｌ８梅凤翔．经典约束力学系统对称性与守恒量研究进 展．力学进展，２００９，３９（１）：３７～４３（Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ａｄ－ ｖａｎｅｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｃｌａｓ— ｓｉｃａｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｄｖａｎｃｅｓ ｉｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００９， ３９（１）：３７—４３（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） １９ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．ＡＳＭＥ，Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅ— ｃｈａｎｉｃｓ Ｒｅｖｉｗｓ，２０００，５３（１１）：２８３～３０５ ２０ Ｓａｎｔｉｌｌｉ Ｒ Ｍ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓⅡ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９８３ ２１ ＨＯＢＯＣ￣ｎＯＢ Ｂ Ｃ．ＢａｐＨａＩＩＨＯＨＨｂＩｅ ＭｅＴｏ￣ｂＩ Ｂ ＭｅｘａｎＨＫｅ． ］ＩｅＨｒｍｒｐａ￣：ＢＦＹ Ｈ３Ⅱ，１９６６ ２２梅风翔．非完整系统的自由运动与非完整性的消失． 力学学报，１９９４，２６（４）：４７０—４７６（Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｍｏｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｄｉｓａｐｐｅａｒａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｐｒｏｐｅ￣ｙ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，１９９４，２６ （４）：４７０～４７６（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ２３ ３ｅｒ米皿ａ Ｃ Ａ，ＣＯ／ＩＴａＸａＨＯＢ ＩＩＩ Ｘ，ＩＯＩＨＫＯＢ Ｍ兀． ＹｐａＢＩ－ｌｅＨＩ￣ｎ，］￣ＢＨ＞ＫｅＨＨ．ｑ ＨｅＦＯ／ＩＯＨＯＭＨＢＩＸ ＣＨＣＴｅＭ Ｍ ＢａｐｎａｔｌｎＯＨＨｂ￣ｅ ＦＩｐｒＩＨＩＩｒｍｂＩ ＭｅｘａＨＨＫＨ．ＨｏＢｂｆｆＩ ＩＯＩａＣＣ ３ａ￣ａｑ ｙｎｐａＢｎｅｎａｎ．ＭＯＣＫＢａ：￣Ｈ３ＭＡＴＨＨＴ，２００５ ２４梅凤翔，史荣昌，张永发，吴惠彬．Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统动力 学．北京：北京理工大学出版社，１９９６（Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｓｈｉ Ｒ Ｃ．Ｚｈａｎｇ Ｙ Ｆ．Ｗｕ Ｈ Ｂ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ Ｂｉｒｋｈｏｆｉｆａｎ ｓｙｓｔｅｍ． Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９６（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ２５梅凤翔．李群和李代数对约束力学系统的应用．北京： 科学出版社，１９９９（Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｂｅｉ— ｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ，１９９９（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ２６ Ｎｏｅｔｈｅｒ Ｅ．Ｉｎｖａｒｉａｎｔｅ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓｐｒｏｂｌｅｍｅ． ．Ｇｅｓ． Ｗｉｓｓ．Ｎａｃｈｒ．Ｇｉ￣ｔｔｉｎｇｅｎ．Ｍａｔｈ．Ｐｈｙｓｉｋ．，１９１８，２：２３５— ２５７ ２７ Ｄｊｕｋｉｃ Ｄｊ Ｄ，Ｖｕｊａｎｏｖｉｃ Ｂ．Ｎｏｅｔｈｅｒ’ｔｈｅｏｒｙ ｉｎ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｎｏｎｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ，１９７５，２３： １７～２７ ２８李子平．约束系统的变换性质．物理学报，１９８１，３０ （１２）：１６５９～１６７１（Ｌｉ Ｚ Ｐ．Ｔｈｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，１９８１，３０ （１２）：１６５９～１６７１（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ２９李子平．经典和量子约束系统及其对称性质．北京： 北京工业大学出版社，１９９３（Ｌｉ Ｚ Ｐ．Ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｎｄ ｑｕａｎｔａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｓｙｍｍｅｔ— ｌｉｅａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ，１９９３（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ３０ Ｉ ｉｕ Ｄ．Ｎｏｅｔｈｅｒｇ ｔｈｃｏｒｅｍ ａｎｄ ｉｔｓ ｉｎｖｅｒｓｅ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｅ ｎｏｎｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｃｈｉｎａ Ｍａｔｈｅ— 第１期 梅凤翔等：分析动力学三个问题的研究进展 ７ ｍａｔｉｃｓ，１９９１，３４（４）：４１９—４２９ ３ １ Ｂａｈａｒ Ｌ Ｙ，Ｋｗａｔｎｙ Ｈ Ｇ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ Ｎｏｅｔｈｅｒ’ｓ ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｏ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｎｏｎｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｎｔｅｒｎａ・ ｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＮｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９８７，２２：１２５ ～１３８ ３２赵跃宇，梅凤翔．力学系统的对称性与不变量．北京： 科学出版社，１９９９（Ｚｈａｏ Ｙ Ｙ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｓｙｍｍｅｔｉｒｅｓ ａｎｄ ｉｎｖａｒｉａｎｔｓ ｏｆ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｐｒｅｓｓ， １９９９（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ３３陈向炜．Ｂｉｒｋｈｏｆｆ系统的全局分析．开封：河南大学出 版社，２００２（Ｃｈｅｎ Ｘ Ｗ．Ｇｌｏｂａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｂｉｒｋｈｏｆｆ ｓｙｓ— ｔｅｒｎ．Ｋａｉｆｅｎｇ：Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖ．Ｐｒｅｓｓ，２００２（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ３４ Ｌｕｔｚｋｙ Ｍ．Ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｍｍｅｔｒｉｅｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉ— ｔｉｅｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ａ—Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｇｅｎｅｒａｌ， １９７９，１２（７）：９７３—９８１ ３５赵跃宇．非保守力学系统的Ｌｉｅ对称性和守恒量．力 学学报，１９９４，２６（３）：３８０～３８４（Ｚｈａｏ Ｙ Ｙ．Ｃｏｎｓｅｒｖａ－ ｔｉｖｅ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ａｎｄ Ｌｉｅ’ｓ ｓｙｍｍｅｔｉｒｅｓ ｏｆ ｎｏｎｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｄｙ— ｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，１９９４，２６（３）： ３８０—３８４（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ３６ Ｌｉｕ Ｒ Ｗ．Ｆｕ Ｊ Ｌ．Ｌｉｅ ｓｙｍｍｅｔｉｒｅｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉ－ ｔｉｅｓ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９９，２０（６）：６３５—６４０ ３７ Ｈｏｊｍａｎ Ｓ Ａ．Ａ ｎｅｗ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｌａｗ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｗｉｔｈｏｕｔ ｕ・ ｓｉｎｇ ｅｉｔｈｅｒ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｓ ａｎｄ Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎｓ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏ Ｐｈｙｓ一 Ａ—Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ａｎｄ Ｇｅｎｅｒａｌ，１９９２，２５：Ｌ２９１一Ｌ２９５ ３８ Ｌｕｏ Ｓ Ｋ．Ａ ｎｅｗ ｔｙｐｅ ｏｆ Ｌｉｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｎｏｎ—Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｏｎ— ｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｆｏｒ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ２００４，１３（１２）：２１８２～２１８６ ３９罗绍凯，梅凤翔．非完整系统的非Ｎｏｅｔｈｅｒ守恒量一 Ｈｏｊｍａｎ守恒量．物理学报，２００４，５３（３）：６６６—６７０ （Ｌｕｏ Ｓ Ｋ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ａ ｎｏｎ－Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ， ｉ．ｅ．Ｈｏｊｍａｎ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ．ｆｏｒ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅ－ ｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００４，５３（３）：６６６ ～６７０（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ４０ Ｚｈａｎｇ Ｙ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｌｉｅ ｓｙｍｍｅｔｉｒｅｓ ｏｆ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｕｎｉｌａｔｅｒｌａ ｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ．Ｃｈｉｅｎｓｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｂｕｌｌｅ— ｔｉｎ，２０００，４５（１５）：１３５４—１３５７ ４１ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｓｙｓｔｅｍ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｆｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０００，９（２）：１２０～１２４ ４２ Ｗａｎｇ Ｓ Ｙ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｅｅ ａｎｄ Ｌｉｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｎｏｎ－ｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ２００２，１１（１）：５—８ ４３葛伟宽，张毅．二阶可降阶微分约束系统的形式不变 性．物理学报，２００３，５２（９）：２１０５～２１０８（Ｇｅ ｗ Ｋ， Ｚｈａｎｇ Ｙ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｅｅ ｆｏｒ ａ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉ— ｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００３，５２（９）：２１０５—２１０８（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ４４ Ｑｉａｏ Ｙ Ｆ，Ｌｉ Ｒ Ｊ，Ｍａ Ｙ Ｓ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ Ｒａｉｔｚｉｎ’ｓ ｃａｎｏｎｉｃａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ． Ｃｈｉｅｎｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００５，１４（１）：１２—１６ ４５楼智美．哈密顿Ｅｒｍａｋｏｖ系统的形式不变性．物理学 报，２００５，５４（５）：１９６９～１９７１（Ｌｏｕ Ｚ Ｍ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉ— ａｎｃｅ ｆｏｒ Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ Ｅｒｍａｋｏｖ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉ— ｃａ，２００５，５４（５）：１９６９—１９７１（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ４６陈培胜，方建会．相空间中非完整非保守系统的形式 不变性．物理学报，２００３，５２（５）：１０４４～１４０７（Ｃｈｅｎ Ｐ Ｓ．Ｆａｎｇ Ｊ Ｈ．Ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｅｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ ｎｏｎｈｏｌｏ— ｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｓｐａｃｅ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ， ２００３，５２（５）：１０４４—１０４７（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ４７ Ｘｕ Ｘ Ｊ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｑｉｎ Ｍ Ｃ．Ｎｏｎ—Ｎｏｅｔｈｅｒ ｃｏｎｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｆｏｒｍ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｆｏｒ Ｂｉｒｋｈｏｆｉｆ・ ａｎ ｓｙｓｔｅｍ．Ｃｈｉｅｎｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００４，１３（１２）：１９９９～２００２ ４８史捷班诺夫Ｂ Ｂ．微分方程教程．卜元震译．北京：高 等教育出版社，１９５５（Ｓｔｅｐａｎｏｖ Ｖ Ｖ．Ａ ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ ｄｉｆｆｅｒ— ｅｎｔｉｌａ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ ｂｙ Ｂｕ Ｙ Ｚ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，１９５５（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ４９ Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ Ｅ Ｔ．Ａ ｔｒａｉｔｉｓｅ ｏｎ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｐａｎｉ— ｃｌｅｓ ａｎｄ ｒｉｇｉｄ ｂｏｄｉｅｓ．Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ． Ｐｒｅｓｓ，１９０４ ５０ Ｖｕｊａｎｏｖｉｃ Ｂ．Ａ ｆｉｅｌｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９８４，１９：３８３～３９６ ５１ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ａ ｆｉｅｌｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏ— ｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ， １９８９，５（３）：２６０—２６８ ５２ Ｋｏｖａｃｉｃ Ｉ．Ｏｎ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｎｏｎ．ｈｏｌｏｎｏｍｉｃ ｍｅｃｈａｎ— ｉｃｓ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００５，２１（２）：１９２—１９６ ５３ Ａｐ＞ＫａＨｂｌＸ Ｈ Ｃ．Ｈｏｎｅ ＨＭｒｌｙＪＩＢＣＯＢ．ＴａＬＵＫｅＨＴ：Ｈａｙｘａ ＹＣＣＰ，１９６５ ５４ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｗｕ Ｈ Ｂ．Ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎｓ ｏｆ ｎｏｎｈｏｌｏ— ｎｏｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ａ，２００８，３７２（１３）：２１４１ ２１４７ ５５ ＦａｎｉｔｙｎｎＨＨ Ａ Ｃ，ｒａ￣ａｐｏＢ Ｆ Ｆ，Ｍａｎｒｆｔｔｕｘａ Ｐ ｎ，ＸＢａＨ Ａ Ｍ．ＡＨａｎＨＴＨＨｅｃｘａＨ￣ＨＨａＭＨＫａ ＣＨＣＴｅＭ ｒｅｎｂＭｒｏｎｂＲａ． Ｂｒｌｐｘｒｏｑｂａ，ＨａＭ６ｙ．ＭＯＣＫＢａ：ｙ Ｈ，１９９７ ５６ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｘｉｅ Ｊ Ｆ，Ｇａｎｇ Ｔ Ｑ．Ａ ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ｆｏｒ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｂｉｒｋｈｏｆｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ， ２００８，２４：５８３—５８５ ５７ Ｈｅ Ｇ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｅｅ ａｎｄ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｆ ８ 动力学与控制学报 ２０１４年第１２卷 ｉｆｒｓｔ—ｏｒｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｂ，２００８， ｅｎｃｅ ｉｎ Ｃｈｉｎａ，Ｓｅｒｉｅｓ Ａ，１９９３，３６（１２）：１４５６～１４６７ ６４ Ｓｈａｎｇ Ｍ，Ｇｕｏ Ｙ Ｘ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ａ Ｂｉｒｋｈｏｆｆ－Ｎｏｅｔｈｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００７，１６ ｎ１７（８）：２７６４—２７６６ ５８ Ｌｉｕ Ｃ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｇｕｏ Ｙ Ｘ．Ｃｏｎｆｏｒｍａｌ ｉｎｖａｒｉａｎｃｅ ａｎｄ ｃｏｎ— ｓｅｒｖｅｄ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｏｆ ｎｏｎ—ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｓｙｓｔｅｍｓ ｂｙ （２）：２９２—２９５ ｐｏｉｎｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｂ，２００９，１８（２）： ３９５～３９９ ６５吴惠彬，张永发，梅风翔．求解微分方程的Ｈｏｊｍａｎ方 法．物理学报，２００６，５５（１０）：４９８７—４９９０（Ｗｕ Ｈ Ｂ， Ｚｈａｎｇ Ｙ Ｆ，Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｈｏｊｍａｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎ— ｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ａｃｔａ Ｐｈｙｓｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ，２００６，５５（１Ｏ）：４９８７ —５９ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｗｕ Ｈ Ｂ，Ｚｈａｎｇ Ｙ Ｆ．Ｈａｍｉｌｔｏｎ—Ｊａｃｏｂｉ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｎｃｓ， ２００６，１５（８）：１６６２～１６６４ ４９９０（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ６０葛伟宽，黄文华．微分方程的Ｈａｍｉｈｏｎ化与求解．动 力学与控制学报，２００６，４（３）：２０１～２０４（Ｇｅ Ｗ Ｋ， Ｈｕａｎｇ Ｗ Ｈ．Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ ｆｏｒｍｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅ— ６６ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ，Ｘｉｅ Ｊ Ｆ，Ｇａｎｇ Ｔ Ｑ．Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｍｅｔｈ— ｏｄｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ Ｗｈｉｔｔａｋｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ２００７，１６（１０）：２８４５～２８４７ ６７ Ｈｉｒｓｃｈ Ｍ Ｗ，Ｓｍａｌｅ Ｓ，Ｄｅｖａｎｅｙ Ｒ Ｌ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎｓ，ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ，ａｎｄ ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｃｈａｏｓ． Ｓｉｎｇａｐｏｒｅ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ，２００８ ６８ ＰｙＭｇＨＩＩｅＢ Ｂ Ｂ．ＯａＨｐａＨｅｐ Ａ Ｃ．ＹＣＴＯＩ￣ＩＨＨＢＯＣＴｂ Ｈ ｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｙｎａｍｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ，２００６，４（３）：２０１～２０４（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ６１ Ｓａｎｔｉｌｌｉ Ｒ Ｍ．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ Ｉ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７８ ６２梅凤翔．分析力学专题．北京：北京工业学院出版社， １９８８．（Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｓｐｅｃｉａｌ ｓｕｂｊｅｃｔｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎ— ｃＴａ６ＨⅡＨ３ａⅡＨＪＩ ￣ＢＨＸ－＜ｅＨＨＨ ｎｏ ＯＴＨＯＩＭｅＨＨＩＯ Ｋ ｑａＣＴＨ ＨｅｐｅＭｅＨｂＩＸ．ＭＯＣＫＢａ：Ｈａｙｘａ，１９８７ ｉｃｓ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ，１９８８ （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）） ６３ Ｍｅｉ Ｆ Ｘ．Ｔｈｅ Ｎｏｅｔｈｅｒ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｂｉｒｋｈｏｆｉｆａｎ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｓｃｉ— ６９ Ｍｃｌａｃｈｌａｎ ＲＩ，Ｑｕｉｓｐｅｌ ＧＲＷ，Ｒｏｂｉｄｏｕｘ Ｎ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｉｎ— ｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｇｒａｄｉｅｎｔｓ．Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｆｔｏｈｅ Ｒｏｙａｌ ＳｏｃｉｅｔｙｏｆＬｏｎｄｏｎＡ，１９９９，３５７：１０２１～１０４５ ＡＤＶＡＮＣＥＳ ＩＮ ＴＨＲＥＥ ＰＲｏＢＬＥＭＳ ｏＦ ＡＮＡＬＹＴＩＣＡＬ ＤＹＮＡＭＩＣＳ Ｍｅｉ Ｆｅｎｇｘｉａｎｇ Ｗｕ Ｈｕｉｂｉｎ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｅｎｇｉｅｅｎｒｉｎｇ，Ｂｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｆ ｏＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｒｉｎｇ １０００８ １，Ｃｈｉｎａ） （２．Ｓｃｈｏｏｌ ｆＭａｔｏｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｂｅｌｉｔｎｇ Ｉｓｔｎｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００８１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｍａｎｙ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｕｍｍａｒｉｚｅｓ ｔｈｅ ｒｅｃｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｉｎ ｔｈｒｅｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｉｔｙ ｂｅｔｗｅｅｎ ａｎａｌｙｔ— ｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｓ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐｓ ａｎｄ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａｓ．Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｉｓ ｔｏ ａｐｐｌｙ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ａｎｄ ｍｏｄｅｒｎ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｔｏ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｔｈｉｒｄ ｉｓ ｔｏ ｔｒａｎｓ— ｆｏｒｍ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｉｎｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｔｈｅｎ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｌｉｅ ｇｒｏｕｐ，ｑｕａｔｉｏｎｓ Ｌｉｅ ａｌｇｅｂｒａ， ｇｒａｄｉｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍ， ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｅ— Ｒｅｃｅｉｖｅｄ １７ Ｊｕｎｅ ２０１３，ｒｅｖｉｓｅｄ １５ Ｊｕｌｙ ２０１３． ｝Ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔ ｓｕｐｐｏｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（１０９３２００２，１０９７２０３１，１ １２７２０５０） 十Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ Ｅ－ｍａｉｌ：ｈｕｉｂｉｎｗｕ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ
