新人教版新高考高中数学必修二全套教案

平面向量的概念

【教学重难点】 平面向量的相关概念 的相关概念 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 【教学目标】 了解平面向量的实际背景，理解平面向量【核心素养】 数学抽象 平面向量的几何表示 数学抽象 相等向量与共线向量 数学抽象、逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量（向量的模）能否比较大小？

→与向量BA→是相等向量吗？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB二、新知探究 1．向量的相关概念

例1：给出下列命题：

→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ①若AB

→＝DC→；

②在▱ABCD中，一定有AB③若a＝b，b＝c，则a＝c．

其中所有正确命题的序号为________．

→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→

解析：AB

→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向|＝|DC

相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．

答案：②③ 教师小结

（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件 ①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．

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（2）理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等； ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． 2．向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：

→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上； （1）OA

→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上； （2）AB

→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上． （3）BC

解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格

→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数

数与纵向小方格数相等．又|OA

→，如图所示．

与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA

→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格

（2）由于点B在点A正东方向上，且|AB→，如图所示．

数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB

→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点

（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BCC距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向→，如图所示． 量BC

教师小结：

用有向线段表示向量的步骤

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3．共线向量与相等向量

→＝a，OB→＝b，在每两点所确定的

例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA向量中．

（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a共线的向量有哪些？

→→→→

解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE．

→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．

（2）与a共线的向量有EF互动探究：

→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的

（1）变条件、变问法：本例中若OC向量．

→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，F→

解：与a相等的向量有EFA；与c相等的向量→，ED→，AB→． 有FO

→共线的向量有哪些？

（2）变问法：本例条件不变，与AD

→→→→→→→→→→

解：与AD共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，OA． 教师小结

共线向量与相等向量的判断

（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量． （2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．

（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c．

注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．

【课堂总结】

1．向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段

①定义：具有方向的线段． ②三个要素：起点、方向、长度．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段

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→记作AB．

→的长度，记作|AB→|．

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB（3）向量的表示

2．向量的有关概念

→的大小，称为向量AB→的长度（或称模）→|．

（1）向量的模（长度）：向量AB，记作|AB（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b． ■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

【课堂检测】

→平行的向量的个数为1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE（ ）

A．1 C．3

B．2

D．4

→平行的向量为BE→，FD→，FC→共3个．

解析：选C．图中与AE

2．下列结论中正确的是（ ） ①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；

③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|．

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A．①③ C．③④

B．②③ D．②④

解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．

3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

→相等的向量；

（1）与BC

→长度相等的向量；

（2）与OB

→共线的向量．

（3）与DA

解：画出图形，如图所示． （1）易知BC∥AD，BC＝AD，

→相等的向量为AD→． 所以与BC

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC， →长度相等的向量为BO→，OC→，CO→，OA→，AO→，OD→，DO→．

所以与OB

→共线的向量为AD→，BC→，CB→．

（3）与DA

平面向量的应用

【第一课时】 教学重难点 向量在平面几何中的应用 平行、 垂直、长度、夹角等问题 向量在物理中的应用 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题 数学建模、数算 教学目标 会用向量方法解决平面几何中的核心素养 数学建模、逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ 2．如何用向量方法解决物理问题？ 二、新知探究

探究点1：

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向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．

→＝a，AB→＝b，

证明：法一：设AD

则|a|＝|b|，a·b＝0， →＝DA→＋AE→＝－a＋1b，AF→＝AB→＋BF→＝b＋1a， 又DE

221113111→·DE→＝b＋2a·－a＋2b＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0． 所以AF

24222

→⊥DE→，即AF⊥DE． 故AF

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），

→＝（2，1）→＝（1，－2）

D（0，2），E（1，0），F（2，1），AF，DE．

→·DE→＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0， 因为AF

→⊥DE→，即AF⊥DE． 所以AF

角度二：平面几何中的平行（或共线）问题

：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，ABCEAF1

上，且ED＝FB＝2．求证：点E，O，F在同一直线上．

→＝m，AD→＝n，

证明：设AB

CEAF1

由ED＝FB＝2，知E，F分别是CD，AB的三等分点，

→＝F→→＝1BA→＋1AC→ 所以FOA＋AO

32

1111＝－3m＋2（m＋n）＝6m＋2n， →＝OC→＋CE→＝1AC→＋1CD→ OE

23

1111＝2（m＋n）－3m＝6m＋2n．

→→所以FO＝OE．

→和OE→的公共点，故点E，O，F在同一直线上．

又O为FO

角度三：平面几何中的长度问题

：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD

＝2，求对角线AC的长．

→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b，

解：设AD

→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b＝2， 而|BD

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1→→

所以5－2a·b＝4，所以a·b＝2，又|AC|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以|AC|＝6，即AC＝6．

用向量方法解决平面几何问题的步骤

向量在物理中的应用

（1）：在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡

船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．

→表示水流的速度，AD→表示渡船的速度，AC→表示渡船

解：（1）如图，设AB实际垂直过江的速度．

→＋AD→＝AC→，所以四边形ABCD为平行四边形． 因为AB

→|＝|AB→|＝12．5．

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC

→|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°． |AD

（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．

→＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）因为AB． →＝（3，4）·（－13，－15） 所以W1＝F1·AB

＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），

→＝（6，－5）·（－13，－15）

W＝F·AB

2

2

＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

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三、课堂总结

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用

（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．

（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）． 四、课堂检测

1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）

A．10 m/s C．46 m/s

B．226 m/s D．12 m/s

解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图． 所以小船在静水中的速度大小 |v|＝102＋22＝226（m/s）．

2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（ ）

A．（－1，－2） C．（－1，2）

B．（1，－2） D．（1，2）

解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）． 3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．

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→→→→→→→→→1→→

证明：设DC＝λAB（λ＞0且λ≠1），因为PQ＝AQ－AP＝AB＋BQ－AP＝AB＋2（BD－AC） →＋1[（AD→－AB→）－（AD→＋DC→）] ＝AB

2→＋1（CD→－AB→） ＝AB

2

1→→1→， ＝2（CD＋AB）＝2（－λ＋1）AB

→∥AB→，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB． 所以PQ

【第二课时】 教学重难点 余弦定理 余弦定理的推论 教学目标 了解余弦定理的推导过程 掌握余弦定理的几种变形公式及应用 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题 核心素养 逻辑推理 数算 三角形的元素及解三角形 数算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究

已知两边及一角解三角形

C5

：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC中，cos2＝5，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ） A．42 C．29

B．30 D．25

2

（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝5，c＝2，cos A＝3，则b＝（ ）

A．2 C．2

B．3

D．3 C13

解析：（1）因为cos C＝2cos2 2－1＝2×5－1＝－5，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2

3－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×－5＝32，所以AB＝42，故选A．



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（2）由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，

2

因为cos A＝3，所以3b2－8b－3＝0，

1

所以b＝3b＝－3舍去．故选D．

答案：（1）A （2）D 互动探究：

2

变条件：将本例（2）中的条件“a＝5，c＝2，cos A＝3”改为“a＝2，c＝23，cos A＝

3

”，求b为何值？ 2

解：由余弦定理得： a2＝b2＋c2－2bccos A，

3

所以22＝b2＋（23）2－2×b×23×2， 即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4． 规律方法：

解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤

（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． （2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． 探究点2：

已知三边（三边关系）解三角形

：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为（ ） A．90° C．135°

B．120° D．150°

（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（ ） A．90° C．120°

B．60° D．150°

解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，

所以最大角为B，最小角为A，

a2＋b2－c29＋25－191

所以cos C＝2ab＝2×3×5＝2，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．

b2＋c2－a21

（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b＋c－a＝bc，所以cos A＝2bc＝2．因

2

2

2

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为A∈（0°，180°），所以A＝60°．

答案：（1）B （2）B

已知三角形的三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．

注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．

探究点3： 判断三角形的形状

：在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 解：将已知等式变形为

b2（1－cos2C）＋c2（1－cos2B）＝2bccos Bcos C． 由余弦定理并整理，得

a2＋b2－c222a2＋c2－b22222－c b＋c－b

2ab2ac222222a＋c－ba＋b－c

＝2bc×

2ac×2ab，

[（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）]24a42

22

所以b＋c＝＝4a2＝a．

4a2所以A＝90°．所以△ABC是直角三角形． 规律方法：

（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径

①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． （2）判断三角形时经常用到以下结论

①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2． ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2． ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2．

π

④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝2． 三、课堂总结

1．余弦定理

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文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccos_A 符号语言 b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C 2．余弦定理的推论

b2＋c2－a2

cos A＝2bc；

a2＋c2－b2

cos B＝2ac；

a2＋b2－c2

cos C＝2ab． 3．三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素

三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素． （2）解三角形

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 四、课堂检测

1．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝（ ） A．90° C．135°

B．120°

D．150°

a2＋c2－b225＋－491

解析：选B．cos B＝

2ac＝2×5×8＝2． 所以B＝60°，所以A＋C＝120°．

2．在△ABC中，已知（a＋b＋c）（b＋c－a）＝3bc，则角A等于（ ） A．30° C．120°

B．60° D．150°

解析：选B．因为（b＋c）2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， 所以b2＋c2－a2＝bc，

b2＋c2－a21

所以cosA＝2bc＝2，所以A＝60°．

3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝________．

解析：因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，

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即c2＝a2＋b2－ab．① 又因为（a＋b）2－c2＝4， 所以c2＝a2＋b2＋2ab－4．②

4

由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝．

3

4答案：3

4．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．

b2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c2

解：由余弦定理知cos A＝2bc，cos B＝2ca，cos C＝2ab，代入已知b2＋c2－a2c2＋a2－b2c2－a2－b2

条件得a·2bc＋b·＋c·2ab＝0，

2ca

通分得a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＋c2（c2－a2－b2）＝0， 展开整理得（a2－b2）2＝c4．

所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2． 根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

【第三课时】 教学重难点 正弦定理 教学目标 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦 定理的内容及其证明方法 核心素养 逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？ 二、新知探究

已知两角及一边解三角形

：在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．

【解】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－（A＋C）＝105°．

accsin Asin 45°

由sin A＝sin C得a＝sin C＝10×sin 30°＝102．

2＋6csin B

因为sin 75°＝sin（30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝4，所以b＝ sin C＝

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10×sin（A＋C）2＋6

＝20×4＝52＋56．

sin 30°

已知三角形的两角和任一边解三角形的思路

（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．

（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．

已知两边及其中一边的对角解三角形

已知△ABC中的下列条件，解三角形： （1）a＝10，b＝20，A＝60°；

（2）a＝2，c＝6，C＝π

3．

解：（1）因为ba

sin B＝sin A，

所以sin B＝bsin A20sin 60°

a＝10＝3>1，

所以三角形无解．

（2）因为a＝casin C＝2

sin Asin C，所以sin A＝c2．

因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π

4．

所以B＝5πb＝ csin B

6·sin5π12

12，sin C＝

π＝3＋1． sin3互动探究：

变条件：若本例（2）中C＝ππ

3改为A＝4，其他条件不变，求C，B, b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝csin A3

a＝2．

所以C＝π2π

3或3．

当C＝π5πasin B

3时，B＝12，b＝sin A＝3＋1．

当C＝2ππasin B

3时，B＝12，b＝sin A＝3－1．

（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路

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①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；

②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；

③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法

①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；

②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： a>b a＝b A为钝角 一解 无解 A为直角 一解 无解 A为锐角 一解 一解 a>bsin A a判断三角形的形状

：已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一

定是（ ）

A．等腰三角形 C．直角三角形

B．等边三角形 D．等腰直角三角形

两解 一解 无解 解析：由正弦定理得：acos B＝bcos A⇒sin Acos B＝sin Bcos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．

答案：A 互动探究：

变条件：若把本例条件变为“bsin B＝csin C”，试判断△ABC的形状． 解：由bsin B＝csin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°， 所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．

判断三角形形状的两种途径

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注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 三、课堂总结

1．正弦定理 条件 结论 文字 叙述 ■名师点拨

对正弦定理的理解

（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．

（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． （3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．

2．正弦定理的变形

若R为△ABC外接圆的半径，则

（1）a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；

abc

（2）sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； （3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；

a＋b＋c

（4）＝2R．

sin A＋sin B＋sin C四、课堂检测

1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（ ）

3A．3 3C．2

6B．3

6D．2 16 / 206

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c abc＝＝sin Asin Bsin C 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等

ABAC233

解析：选B．由正弦定理，得sin C＝sin B，即sin C＝sin 60°，解得sin C＝3．因为AB

6

＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝3．

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）

A．1∶2∶3 C．2∶3∶1

B．3∶2∶1 D．1∶3∶2

解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形 C．等腰直角三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

解析：选D．已知c－acos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，所以sin（A＋B）－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．

【第四课时】 教学重难点 测量中的术语 教学目标 理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义 会利用正、余弦定理解决生产实核心素养 直观想象 测量距离、高度、角度问题 践中的有关距离、高度、角度等问题 数学建模 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是基线？

2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？ 3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？

17 / 206

二、新知探究

测量距离问题

：海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望

C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________．

解析：如图，在△ABC中，∠C＝180°－（∠B＋∠A）＝45°，

BCAB

由正弦定理，可得sin 60°＝sin 45°，

3

所以BC＝×10＝56（海里）．

2答案：56海里

变条件：在本例中，若“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B岛与C岛间的距离呢？

解：由已知在△ABC中，AB＝10，AC＝20，∠BAC＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．

1

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×2＝300．故BC＝103． 即B，C间的距离为103海里．

测量距离问题的解题思路

求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．

测量高度问题

：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公

路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m．

解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．

600BC

又AB＝600 m，故由正弦定理得sin 45°＝sin 30°，

3

解得BC＝3002 m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3＝1006（m）．

18 / 206

答案：1006 互动探究：

变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB方向行驶的过程中，若测得观察山顶D点的最大仰角为α，求tan α的值．

解：如图，过点C，作CE⊥AB，垂足为E，则∠DEC＝α，由例题可知， ∠CBE＝75°，BC＝3002， 所以CE＝BC·sin∠CBE ＝3002sin 75°

2＋6

＝3002×4

＝150＋1503．

32－6DC1006

所以tan α＝＝＝．

CE150＋15033

测量高度问题的解题思路

高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．

测量角度问题

：岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时

10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．

（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？

（2）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间． 解：（1）根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10， 所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°，

ABBC

在△ABC中，由＝，

sin∠ACBsin∠BAC

19 / 206

310×2

BCsin∠ACB10sin 60°

得AB＝＝sin 45°＝＝56．

sin∠BAC2

2所以海监船接到通知时，在距离岛A 56 海里处．

（2）设海监船航行时间为t小时，则BD＝103t，CD＝10t， 又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°， 所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°，

1所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·－2，

所以2t2－t－1＝0，

1

解得t＝1或t＝－2（舍去）． 所以CD＝10，所以BC＝CD，

1

所以∠CBD＝2（180°－120°）＝30°， 所以∠ABD＝75°＋30°＝105°．

所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时． （或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）

测量角度问题的基本思路

（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．

（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解． 三、课堂总结

1．基线

在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线

实际测量中的有关名称、术语 名称 仰角 定义 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 20 / 206

图示 俯角

南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 向线形成的角） 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 四、课堂检测

1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（ ） A．东偏北45°10′方向上 C．南偏西44°50′方向上 解析：选C．如图所示．

B．东偏北45°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上

2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（ ）

A．1002米 C．100（3＋1）米

B．50（3＋1）米 D．200米

解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°， 所以BC＝AB＝x．

在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x． 因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200， 解得x＝100（3＋1）．故选C．

21 / 206

3．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α3

＝4cos β，则v＝（ ）

A．60 C．100

B．80 D．125

解析：选C．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v）2＝2002＋1502＋2×200×150cos

15020043

（α＋β）①，由正弦定理得sin β＝sin α，所以sin α＝3sin β．又cos α＝4 cos β，sin2 α＋cos2

34431212

α＝1，解得sin β＝5，故cos β＝5，sin α＝5，cos α＝5，故cos（α＋β）＝25－25＝0，代入①解得v＝100．

4．某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．

解：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝123t，BC＝12t，∠ABC＝120°，

123t在△ABC中，由正弦定理得sin 120°＝

12t

，

sin∠BAC

1

所以sin∠BAC＝2，所以∠BAC＝30°，

2

所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝3，航行的方向为北偏东75°． 2

即巡逻艇最少经过3小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．

平面向量的运算

【第一课时】

向量的加法运算 【教学重难点】

【教学目标】 22 / 206

【核心素养】

平面向量加法的几何意义 理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义 掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则， 会用它们解决实际问题 掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算 数学抽象、直观想象 平行四边形法则 和三角形法则 数学抽象、直观想象 平面向量加法的运算律 数学抽象、数算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 2．向量加法的运算律有哪两个？ 二、新知探究

探究点1：

平面向量的加法及其几何意义

例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．

解：法一：可先作a＋c，再作（a＋c）＋b，即a＋b＋c．如图，首先在平面内任取一点

→＝a，接着作向量AB→＝c，

O，作向量OA

→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，

则得向量OB

→＝a＋b＋c为所求．

则向量OC

→

法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O，作OA→＝b； ＝a，OB

→＝a＋b；

（2）作平行四边形AOBC，则OC

→＝c；

（3）再作向量OD

（4）作平行四边形CODE， →＝OC→＋c＝a＋b＋c．OE→即为所求． 则OE

23 / 206

规律方法：

（1）应用三角形法则求向量和的基本步骤

①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． （2）应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；

③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和． 探究点2：

平面向量的加法运算 例2：化简：

→＋AB→； （1）BC

→＋CD→＋BC→； （2）DB

→＋DF→＋CD→＋BC→＋F→（3）ABA． →＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→． 解：（1）BC

→＋CD→＋BC→ （2）DB

→＋CD→＋DB→ ＝BC

→＋CD→）＋DB→ ＝（BC

→＋DB→＝0． ＝BD

→＋DF→＋CD→＋BC→＋F→（3）ABA →＋BC→＋CD→＋DF→＋F→＝ABA →＋CD→＋DF→＋F→＝ACA →＋DF→＋F→→＋F→＝ADA＝AFA＝0． 规律方法：

向量加法运算中化简的两种方法

（1）代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．

（2）几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．

24 / 206

探究点3：

向量加法的实际应用

例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

→，水流的速度为OA→，以OA→，OB→为邻边作▱OACB，则

解：如图，设此人游泳的速度为OB

→＋OB→＝OC→．

此人的实际速度为OA

→|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺

由勾股定理知|OC

着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．

规律方法：

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤

（1）表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．

（2）运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．

（3）还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 三、课堂总结

1．向量加法的定义及运算法则 定义 前提 作法 法则 三角形法则 图形 平行法则 四边形法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法 已知非零向量a，b →＝a，BC→＝b，再作向量AC→ 在平面内任取一点A，作AB→叫做a与b的和，记作a＋b， 向量AC→＋BC→＝AC→ 即a＋b＝AB结论 前提 作法 已知不共线的两个向量a，b 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 25 / 206

则 结论 图形 →对角线OC就是a与b的和 规定 对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0＝0＋a＝a 2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系

一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a （a＋b）＋c＝a＋（b＋c） 四、课堂检测

→＋PQ→＋PS→＋SP→的结果等于（ ）

1．化简OP

→ A．QP

→ C．SP

→ B．OQ

→ D．SQ

→＋PQ→＋PS→＋SP→＝OQ→＋0＝OQ→．

解析：选B．OP

→＝AB→＋AD→，则一定有（ ）

2．在四边形ABCD中，ACA．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形

D．四边形ABCD是平行四边形

→＝AB→＋AD→得AD→＝BC→，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD

解析：选D．由AC

的一组对边平行且相等，故为平行四边形．

3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______． 解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13． 答案：13

4．已知▱ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点（靠近D点），求作：

→＋AC→； （1）AO→＋BA→． （2）DE

解：（1）延长AC，在延长线上截取CF＝AO，

→为所求． 则向量AF

26 / 206

1

（2）在AB上取点G，使AG＝3AB， →为所求．

则向量BG

【第二课时】

向量的减法运算 【教学重难点】 相反向量 向量的减法 【教学目标】 理解相反向量的概念 掌握向量减法的运算法则及其几何意义 【核心素养】 数学抽象 数学抽象、直观想象 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．a的相反向量是什么？ 2．向量减法的几何意义是什么？ 二、新知探究

探究点1： 向量的减法运算

例1：化简下列各式：

→＋MB→）＋（－OB→－MO→）

（1）（AB；

→－AD→－DC→． （2）AB

→＋MB→＋BO→＋OM→＝→＋BO→）＋→＋MB→）＝AO→＋OB→＝AB→．

解：（1）法一：原式＝AB（AB（OM→＋MB→＋BO→＋OM→ 法二：原式＝AB→＋（MB→＋BO→）＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0 ＝AB→． ＝AB

→－DC→＝CB→．

（2）法一：原式＝DB

→－（AD→＋DC→）＝AB→－AC→＝CB→．

法二：原式＝AB规律方法：

向量减法运算的常用方法

探究点2：

27 / 206

向量的减法及其几何意义

例2：如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c．

→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，

解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝b－c． 则CB

过点A作AD綊BC，连接OD， →＝b－c， 则AD

→＝OA→＋AD→＝a＋b－c． 所以OD

→＝a，AB→＝b，

法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA

→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，

连接OB，则OB→＝a＋b－c． 则CB

法三：如图③，在平面内任取一点O， →＝a，AB→＝b，连接OB， 作OA

→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC， 则OB

→＝a＋b－c． 则OC

规律方法：

求作两个向量的差向量的两种思路

（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可． （2）可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

探究点3：

用已知向量表示其他向量

→＝a，

例3：如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→． AC

解：因为四边形ACDE是平行四边形，

28 / 206

→→→→→

所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a， →＝BC→＋CD→＝b－a＋c． 故BD规律方法：

用已知向量表示其他向量的三个关注点

（1）搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

（2）注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．

（3）注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．

→＋BC→＋CD→＋DA→＝0．

例如，在四边形ABCD中，AB三、课堂总结

1．相反向量

（1）定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向差，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．

（2）结论

①－（－a）＝a，a＋（－a）＝（－a）＋a＝0；

②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 2．向量的减法

（1）向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋（－b）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．

→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，如图所示． （2）作法：在平面内任取一点O，作OA

（3）几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 四、课堂检测

→－AC→等于（ ）

1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD

→ → A．CBB．BC→ C．CD

→ D．DC

→－

解析：选C．在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→＝CD→． AC

29 / 206

→→→→→

2．化简：AB－AC＋BD－CD＋AD＝________．

→＋BD→＋DC→＋AD→＝CD→＋DC→＋AD→＝0＋AD→＝AD→．

解析：原式＝CB→

答案：AD

3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．

→＝AB→－AC→，

解析：因为CB→|＝|AB→－AC→|． 所以|CB

又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， →－AC→|≤17， 3≤|AB

→|≤17．

所以3≤|CB答案：[3，17]

→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，试判断△ABC

4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB的形状．

→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→．

解：因为OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|， 又|OB

→＋AC→|＝|AB→－AC→|，所以|AB所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．

【第三课时】

向量的数乘运算 【教学重难点】 向量数乘运算的定义及运算律 【教学目标】 理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律 掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线 【核心素养】 数学抽象、直观想象 向量共线定理 逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3．向量共线定理是怎样表述的？ 4．向量的线性运算是指的哪三种运算？ 二、新知探究

30 / 206

探究点1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：

①4（a＋b）－3（a－b）－8a；

②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）；

112

③3（4a－3b）＋3b－4（6a－7b）． 

21

（2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求3a－b－a－3b＋（2b－a）．

解：（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a ＝－7a＋7b．

②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c ＝－a－c．

1372

③原式＝34a－3b＋3b－2a＋4b

1125a－＝32 12b511＝3a－18b．

12

（2）原式＝3a－b－a＋3b＋2b－a

21

＝3－1－1a＋－1＋3＋2b 5555

＝－3a＋3b＝－3（3i＋2j）＋3（2i－j）

10105－5＋＝i＋－－j 3335

＝－3i－5j． 规律方法：

向量线性运算的基本方法

（1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．

（2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

探究点2：

向量共线定理及其应用

31 / 206

例2：已知非零向量e1，e2不共线．

→＝e＋e，BC→＝2e＋8e，CD→＝3（e－e）

（1）如果AB121212，求证：A、B、D三点共线； （2）欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

→＝e＋e，BD→＝BC→＋CD→＝2e＋8e＋3e－3e＝5（e＋e）＝5AB→．

解：（1）证明：因为AB12121212

→，BD→共线，且有公共点B， 所以AB

所以A、B、D三点共线． （2）因为ke1＋e2与e1＋ke2共线， 所以存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2）， 则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，

k－λ＝0，

由于e1与e2不共线，只能有

λk－1＝0，所以k＝±1． 规律方法：

向量共线定理的应用

（1）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．

→＝（2）若b＝λa（a≠0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB→，则AB→与AC→共线，又AB→与AC→有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的λAC重要方法．

探究点3：

用已知向量表示其他向量

→∥CD→且|AB→|＝2|CD→|，M，N分别是DC，

例3：如图，ABCD是一个梯形，AB

→＝e，AD→＝e，试用e，e表示下列向量．

AB的中点，已知AB

1

2

1

2

→＝________； （1）AC

→＝________． （2）MN

→∥CD→，|AB→|＝2|CD→|，

解析：因为AB

1→→→→

所以AB＝2DC，DC＝2AB．

→＝AD→＋DC→＝e＋1e． （1）AC2

21

→＝MD→＋DA→＋AN→ （2）MN

1→→1→＝－2DC－AD＋2AB

111

＝－4e1－e2＋2e1＝4e1－e2．

32 / 206

1

答案：（1）e2＋2e1 1

（2）4e1－e2 互动探究

→＝e，AD→＝e，试用e，e表示向量MN→．

变条件：在本例中，若条件改为BC1212

→＝MD→＋DA→＋AN→，

解：因为MN

→＝MC→＋CB→＋BN→， MN

→＝（MD→＋MC→）＋DA→＋CB→＋（AN→＋BN→）所以2MN． 又因为M，N分别是DC，AB的中点，

→＋MC→＝0，AN→＋BN→＝0． 所以MD

→＝DA→＋CB→， 所以2MN

→＝1（－AD→－BC→）＝－1e－1e． 所以MN

22221规律方法：

用已知向量表示其他向量的两种方法

（1）直接法

（2）方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 三、课堂总结

1．向量的数乘的定义

一般地，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（1）|λa|＝|λ||a|．

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．

2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa）＝（λμ）a．

33 / 206

（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa． （3）λ（a＋b）＝λa＋λb． 3．向量的线性运算及向量共线定理

（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a±μ2b）＝λμ1a±λμ2b．

（2）向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 四、课堂检测 11

1．32（2a＋8b）－（4a－2b）等于（ ）



A．2a－b C．b－a

B．2b－a D．a－b

111442

解析：选B．原式＝6（2a＋8b）－3（4a－2b）＝3a＋3b－3a＋3b＝－a＋2b． 3→→

2．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则2e2－e1＝（ ） → A．BO

→ C．CO

→ B．AO

→ D．DO

→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝3e－2e，BO→＝1BD→＝3e－e．

解析：选A．BD21

2221

→→→

3．已知e1，e2是两个不共线的向量，若AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求证A，B，D三点共线．

→＝e＋3e，CD→＝2e－e，

证明：因为CB1212

→＝CD→－CB→＝e－4e． 所以BD

1

2

→＝2e－8e＝2（e－4e）→→→→又AB1212，所以AB＝2BD，所以AB与BD共线． 因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．

【第四课时】

向量的数量积 【教学重难点】 向量的夹角 【教学目标】 理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角 理解平面向量数量积的含义并会计算 理解a在b上的投影向量的概念 掌握平面向量数量积的性质及其 34 / 206

【核心素养】 直观想象、数算 向量数量积的含义 投影向量 向量数量积的性质和运

数学抽象、数算 数学抽象 数算、逻辑推理

算律 运算律，并会应用 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究

探究点1：

平面向量的数量积运算

例1：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a＋3b）．

→|＝4，|AD→|＝3，∠DAB＝60°，求： （2）如图，在▱ABCD中，|AB→·BC→；②AB→·DA→． ①AD

解：（1）（a＋2b）·（a＋3b） ＝a·a＋5a·b＋6b·b ＝|a|2＋5a·b＋6|b|2 ＝|a|2＋5|a||b|cos60°＋6|b|2

＝62＋5×6×4×cos60°＋6×42＝192．

→∥BC→，且方向相同，

（2）①因为AD

→与BC→的夹角是0°， 所以AD

→·BC→＝|AD→||BC→|·cos0°＝3×3×1＝9． 所以AD

→与AD→的夹角为60°，

②因为AB

→与DA→的夹角为120°， 所以AB

→·DA→＝|AB→||DA→|·cos120° 所以AB

1

＝4×3×－2＝－6．

互动探究：

→·BD→．

变问法：若本例（2）的条件不变，求AC

35 / 206

→→→→→→

解：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，

→·BD→＝（AB→＋AD→）·（AD→－AB→） 所以AC

→2－AB→2＝9－16＝－7． ＝AD规律方法：

向量数量积的求法

（1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键．

（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． 探究点2： 向量模的有关计算

例2：（1）已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝（ ） A．3 C．4

B．23

D．12

3

（2）向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝2，a与b的夹角为60°，则|b|＝（ ）

11A．3 B．2

11C．5 D．4 解析：（1）|a＋2b|＝（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2 ＝|a|2＋4|a||b|cos 60°＋4|b|2

1

＝4＋4×2×1×2＋4＝23．

331

（2）由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos60°＝4，即1＋|b|2－|b|＝4，解得|b|＝2． 答案：（1）B （2）B 规律方法：

求向量的模的常见思路及方法

（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．

（2）a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 探究点3： 向量的夹角与垂直

命题角度一：求两向量的夹角

36 / 206

例3：（1）已知|a|＝6，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则a与b的夹角为________； （2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且（a－b）⊥b，则a与b的夹角为______．

解析：（1）设a与b的夹角为θ，（a＋2b）·（a－3b）＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b ＝|a|2－a·b－6|b|2 ＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2

＝62－6×4×cosθ－6×42＝－72， 所以24cosθ＝36＋72－96＝12，

1

所以cosθ＝．

2

π

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝3．

（2）设a与b的夹角为θ，由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，所以a·b＝b2，所以cosθb2

＝|a||b|．又因为|a|＝2|b|，

|b|21

所以cosθ＝2|b|2＝2．

π

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝3． π

答案：（1）3

π（2）3

命题角度二：证明两向量垂直

例4：已知a，b是非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，求证：b⊥（a＋tb）． 证明：因为|a＋tb|＝（a＋tb）2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝|b|2t2＋2a·bt＋|a|2，

2a·ba·b

所以当t＝－2|b|2＝－|b|2时，|a＋tb|有最小值．

a·b22

此时b·（a＋tb）＝b·a＋tb＝a·b＋－|b|2·|b|

＝a·b－a·b＝0．所以b⊥（a＋tb）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数

例5：（1）已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为（ ）

33A．－2 B．2

3C．±2 D．1

π

（2）已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为3，则实数λ＝________． 解析：（1）因为3a＋2b与ka－b互相垂直，

37 / 206

所以（3a＋2b）·（ka－b）＝0， 所以3ka2＋（2k－3）a·b－2b2＝0． 因为a⊥b，所以a·b＝0， 又|a|＝2，|b|＝3， 3

所以12k－18＝0，k＝2．

（2）由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－（3a＋λb）， 即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b， 而a，b，c为单位向量， 则a2＝b2＝c2＝1， π则49＝9＋λ2＋6λcos3，

即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 规律方法：

求向量a与b夹角的思路

（1）求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计

a·b

算cosθ＝|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．

（2）在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cosθ的值． 三、课堂总结

1．两向量的夹角

→＝a，OB→＝b，则∠

（1）定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OAAOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角．

（2）特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；

π

②当θ＝2时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b反向． 2．向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．

38 / 206

规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量

→＝a，CD→＝b，我们考虑如下变换：过AB→的起点A

如图（1），设a，b是两个非零向量，AB

→所在直线的垂线，垂足分别为A，B，得到A→

和终点B，分别作CDB，我们称上述变换为向

1

1

11

量a向向量b投影（project），A→1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．

→＝a，ON→＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足

如图（2），在平面内任取一点O，作OM

→就是向量a在向量b上的投影向量．

为M，则OM

1

1

→＝|a|cosθe．

（2）若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM14．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 （1）a·e＝e·a＝|a|cosθ． （2）a⊥b⇔a·b＝0．

（3）当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a． （4）|a·b|≤|a||b|． 5．向量数量积的运算律 （1）a·b＝b·a（交换律）．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（结合律）． （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）． 四、课堂检测

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为（ ）

ππA．6 B．4

ππC．3 D．2

1π

解析：选C．由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，所以cosθ＝2．又0≤θ≤π，所以θ＝3． 2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值

39 / 206

为（ ）

A．－6 C．3

所以2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0， 所以2k＝12，所以k＝6．

3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为______．

解析：设a与b的夹角θ，则

a·b－124

cosθ＝|a||b|＝3×5＝－5，

4

所以a在b上的投影向量为|a|cosθ·e＝3×－5e



12＝－5e．

12

答案：－5e

4．已知|a|＝1，|b|＝2． （1）若a∥b，求a·b；

（2）若a，b的夹角为60°，求|a＋b|； （3）若a－b与a垂直，求a与b的夹角． 解：设向量a与b的夹角为θ．

（1）当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝2；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－2． （2）|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3＋2，|a＋b|＝3＋2．

a·b2

（3）由（a－b）·a＝0，得a2＝a·b，cosθ＝|a||b|＝2，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．

B．6 D．－3

解析：选B．因为c·d＝0，所以（2a＋3b）·（ka－4b）＝0，

平面向量基本定理及坐标表示

【第一课时】 教学重难点 平面向量基本定理 教学目标 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量 40 / 206

核心素养 数学抽象 平面向量基本定理的应用 数学抽象、数算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．基底中两个向量可以共线吗？ 2．平面向量基本定理的内容是什么？ 二、新知探究

1．平面向量基本定理的理解

例1：设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2． 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________（写出满足条件的序号）．

λ＝1，

解析：①设e1＋e2＝λe1，则无解，

1＝0，所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一组基底．

②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ）e1－（2＋λ）e2＝0， 1＋2λ＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一组基2＋λ＝0，底．

1

③因为e1－2e2＝－2（4e2－2e1）， 所以e1－2e2与4e2－2e1共线，

即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一组基底．

1－λ＝0，④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则（1－λ）e1＋（1＋λ）e2＝0，则无解，所以e1＋

1＋λ＝0，e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一组基底．

答案：③ 规律方法：

对基底的理解

（1）两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．

（2）一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表

x1＝x2，

示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则

y1＝y2.

提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样． 2．用基底表示平面向量

41 / 206

例2：如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点→＝a，AD→＝b，试用基底{a，b}表示向量DE→，BF→． G，若AB

→＝DA→＋AB→＋BE→ 解：DE

1→→→

＝－AD＋AB＋2BC

→＋AB→＋1AD→＝a－1b． ＝－AD

22

→＝BA→＋AD→＋DF→ BF

→＋AD→＋1AB→＝b－1a． ＝－AB

22互动探究

→．

（1）变问法：本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG

2

解：由平面几何知识知BG＝3BF， →＝AB→＋BG→＝AB→＋2BF→ 故AG

3

12

＝a＋3b－2a

2122＝a＋3b－3a＝3a＋3b．

→，AD→”换为“CE→，CF→”→＝a，CF→＝b，试

（2）[变条件]若将本例中的向量“AB，即若CE→，BF→． 用基底{a，b}表示向量DE

→＝DC→＋CE→＝2FC→＋CE→＝－2CF→＋CE→＝－2b＋a． 解：DE

→＝BC→＋CF→＝2EC→＋CF→ BF

→＋CF→＝－2a＋b． ＝－2CE规律方法：

用基底表示向量的两种方法

（1）运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． （2）通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解． 3．平面向量基本定理的应用

例3：如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．

42 / 206

→＝e，CN→＝e，

解：设BM12

→＝AC→＋CM→＝－3e－e，BN→＝BC→＋CN→＝2e＋e 则AM2112．因为A，P，M和B，P，N分别共线，

→＝λAM→＝－λe－3λe，

所以存在实数λ，μ使得AP12→＝μBN→＝2μe＋μe BP

1

2．

→→→→→

故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2． →＝BC→＋CA→＝2e＋3e，由平面向量基本定理， 而BA

1

2

λ＋2μ＝2，得 3λ＋μ＝3，

4λ＝5，解得

3μ＝5.→＝4AM→，BP→＝3BN→， 所以AP

55

所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2． 互动探究

→＝a，CN→＝b，试用a，b表示CP→．

1．变问法：在本例条件下，若CM

→＝2NB→，

解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP

5

→＝CN→＋NP→＝CN→＋2NB→＝b＋2（CB→－CN→） CP

55

4234＝b＋5a－5b＝5b＋5a．

2．变条件：若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN．

→＝e，CN→＝e，

解：如图，设BM12

→＝AC→＋CM→＝－2e－e，BN→＝BC→＋CN→＝2e＋e 则AM2112．因为A，P，M和B，P，N分别共线，

→＝λAM→＝－λe－2λe， 所以存在实数λ，μ使得AP12

→＝μBN→＝2μe＋μe BP

1

2．

43 / 206

→→→→→

故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝（λ＋2μ）e1＋（2λ＋μ）e2． →＝BC→＋CA→＝2e＋2e，由平面向量基本定理， 而BA

1

2

λ＋2μ＝2，得 2λ＋μ＝2，

2λ＝3，解得

2μ＝3.→＝2AM→，BP→＝2BN→， 所以AP

33所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2． 规律方法：

若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 三、课堂总结

平面向量基本定理 条件 结论 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 基底 四、课堂检测

→＝5e，DC→＝3e，则OC→＝（ ）

1．如图在矩形ABCD中，若BC12

1

A．2（5e1＋3e2） 1

C．2（3e2－5e1）

1→→1＝2（BC＋DC）＝2（5e1＋3e2）．

1

B．2（5e1－3e2） 1

D．2（5e2－3e1）

1→1→→→

解析：选A．OC＝2AC＝2（BC＋AB）

→，OB→不共线，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若P→→（λ∈R）

2．已知非零向量OAA＝λAB，则x，y满足的关系是（ ）

44 / 206

A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0

→→，得OA→－OP→＝λ（OB→－OA→）→＝（1＋λ）OA→－λOB→．又2OP→

解析：选A．由PA＝λAB，即OPx＝2＋2λ，→→

＝xOA＋yOB，所以消去λ得x＋y＝2．

y＝－2λ，

→＝a，BD→＝b，试用基底{a，b}表示AB→，BC→．

3．如图，在平行四边形ABCD中，设AC

→＝OC→＝1AC→＝1a，BO→＝OD→＝1BD→＝1b．

解：法一：设AC，BD交于点O，则有AO

2222

→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝1a－1b， 所以AB

22

→＝BO→＋OC→＝1a＋1b． BC

22→＝x，BC→＝y，则AD→＝BC→＝y，

法二：设AB

又错误!

x＋y＝a，1111所以解得x＝2a－2b，y＝2a＋2b， y－x＝b，→＝1a－1b，BC→＝1a＋1b． 即AB

2222

【第二课时】 教学重难点 平面向量的坐标表示 示的意义 掌握两个向量的和、差及向量数乘的坐标运算法则 理解坐标表示的平面向量共线的条件，并会解决向量共线问题 教学目标 理解向量正交分解以及坐标表核心素养 数学抽象、直观想象 平面向量加、减运算的坐标表示 数算 平面向量数乘运算的坐标表示 数算、逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．怎样分解一个向量才为正交分解？ 2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？

3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？

45 / 206

4．若a＝（x，y），则λa的坐标是什么？ 二、新知探究

1．平面向量的坐标表示

→|＝43，∠xOA＝60°， 例1：已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA

→的坐标；

（1）求向量OA

→的坐标．

（2）若B（3，－1），求BA

→|cos 60°＝43cos 60°＝23，y＝|OA→|sin 60°＝43sin 60°

解：（1）设点A（x，y），则x＝|OA＝6，

→＝（23，6）即A（23，6），所以OA．

→＝（23，6）－（3，－1）＝（3，7）（2）BA． 规律方法：

求点和向量坐标的常用方法

（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

（2）求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

2．平面向量的坐标运算

例2：（1）已知向量a＝（5，2），b＝（－4，－3），若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝（ ） A．（－23，－12） C．（7，0）

B．（23，12） D．（－7，0）

→＝3 CA→，CN→＝2 CB→，求点（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且CMM，N的坐标．

解：（1）选A．因为a＝（5，2），b＝（－4，－3），且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b－3a＝2（－4，－3）－3（5，2）＝（－8－15，－6－6）＝（－23，－12）．

（2）法一：因为A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），

→＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8）所以CA， →＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3）CB．

→＝3 CA→，CN→＝2 CB→， 因为CM

→＝3（1，8）＝（3，24）→＝2（6，3）＝（12，6）所以CM，CN． 设M（x1，y1），N（x2，y2），

→＝（x＋3，y＋4）＝（3，24）所以CM，

1

1

→＝（x＋3，y＋4）＝（12，6）CN， 22

46 / 206

x1＋3＝3，x2＋3＝12，x1＝0，x2＝9，

所以解得

y＋4＝24，y＋4＝6.y＝20，y＝2.1212所以M（0，20），N（9，2）．

→＝3 CA→，CN→＝2 CB→，

法二：设O为坐标原点，则由CM

→－OC→＝3（OA→－OC→）→－OC→＝2（OB→－OC→）可得OM，ON，

→＝3 OA→－2 OC→，ON→＝2 OB→－OC→． 所以OM

→＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20）所以OM， →＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2）ON． 所以M（0，20），N（9，2）． 规律方法：

平面向量坐标（线性）运算的方法

（1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

（3）向量的线性坐标运算可类比数的运算进行． 3．向量坐标运算的综合应用

→＝OA→＋tAB→． 例3：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），及OP（1）t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

（2）四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

→＝OA→＋tAB→＝（1，2）＋t（3，3）

解：（1）OP2＝（1＋3t，2＋3t）．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－3． 1若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－3．

1＋3t＜0，

若点P在第二象限，则

2＋3t＞0，

21所以－3＜t＜－3．

→＝（1，2）→＝（3－3t，3－3t）（2）OA，PB．若四边形OABP为平行四边形， 3－3t＝1，→→

则OA＝PB，所以该方程组无解．

3－3t＝2，故四边形OABP不能为平行四边形． 互动探究：

变问法：若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？

→＝OA→＋tAB→，得AP→＝tAB→．

解：由OP

47 / 206

→→

所以当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点． 求解策略：

向量中含参数问题的求解策略

（1）向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．

（2）解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程（组），解这个方程（组），就能达到解题的目的． 4．向量共线的判定

（1）已知向量a＝（1，－2），b＝（3，4）．若（3a－b）∥（a＋kb），则k＝________．

→与AC→是否共线？如果共线，它

（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（2，5），判断AB们的方向相同还是相反？

解：（1）3a－b＝（0，－10），a＋kb＝（1＋3k，－2＋4k）， 因为（3a－b）∥（a＋kb），所以0－（－10－30k）＝0，

11

所以k＝－3．故填－3．

→＝（1－（－1）

（2）因为AB，3－（－1））＝（2，4）， →＝（2－（－1）AC，5－（－1））＝（3，6）， 因为2×6－3×4＝0，

→∥AC→，所以AB→与AC→共线． 所以AB

→＝2AC→，所以AB→与AC→的方向相同． 又AB

3互动探究：

变问法：若本例（1）条件不变，判断向量（3a－b）与（a＋kb）是反向还是同向？

1

解：由向量（3a－b）与（a＋kb）共线，得k＝－3， 所以3a－b＝（3，－6）－（3，4）＝（0，－10），

11

a＋kb＝a－3b＝（1，－2）－3（3，4）

101

＝0，－3＝3（0，－10）， 所以向量（3a－b）与（a＋kb）同向． 规律方法：

向量共线的判定方法

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5．三点共线问题

→＝（3，4）→＝（7，12）→＝（9，16）

（1）已知OA，OB，OC，求证：点A，B，C共线； →＝（k，12）→＝（4，5）→＝（10，k）（2）设向量OA，OB，OC，求当k为何值时，A，B，C三点共线．

解：（1）证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝（4，8）， AC→＝OC→－OA→＝（6，12），所以AC

→＝32

AB→， 即AB

→与AC→共线． 又因为AB

→与AC→有公共点A，所以点A，B，C共线．

（2）法一：因为A，B，C三点共线，即AB

→与AC→共线， 所以存在实数λ（λ∈R），使得AB

→＝λAC→．

因为AB→＝OB→－OA→＝（4－k，－7），AC→＝OC→－OA→＝（10－k，k－12）， 所以（4－k，－7）＝λ（10－k，k－12）， 即4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），解得k＝－2或k＝11． 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．

法二：由已知得AB

→与AC→共线，

因为AB→＝OB→－OA→＝（4－k，－7），AC→＝OC→－OA→＝（10－k，k－12）， 所以（4－k）（k－12）＋7（10－k）＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11． 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 规律方法：

判断向量（或三点）共线的三个步骤

6．向量共线的应用

如图所示，在△AOB中，A（0，5），O（0，0），B（4，3），OC

→＝14

OA→，OD→ 49 / 206

1→

＝2OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．

51→1→0，解：因为OC＝4OA＝4（0，5）＝， 4

50，所以C． 4

3→＝1OB→＝1（4，3）＝2，2， 因为OD

223

所以D2，2．



→＝（x，y－5）

设M（x，y），则AM， 37→＝2－0，2－5＝2，－2． AD

→∥AD→， 因为AM

7

所以－2x－2（y－5）＝0，

即7x＋4y＝20．①

5→7→＝x，y－4，CB又CM＝4，4，



75→→

因为CM∥CB，所以4x－4y－4＝0，



即7x－16y＝－20．②

1212

联立①②解得x＝7，y＝2，故点M的坐标为7，2．

规律方法：

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

三、课堂总结

1．平面向量坐标的相关概念

■名师点拨

（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量

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e1和e2互相垂直．

（2）由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．

2．平面向量的坐标运算

（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ∈R，则 ①a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）； ②a－b＝（x1－x2，y1－y2）； ③λa＝（λx1，λy1）．

（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标． ■名师点拨

（1）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．

→的起点A（x，y）→＝（x－x，y－y）（2）已知向量AB，终点B（x，y），则AB．

1

1

2

2

2

1

2

1

3．两向量共线的充要条件

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0．则a，b（b≠0）共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．

■名师点拨

x1y1

（1）两个向量共线的坐标表示还可以写成＝（x2≠0，y2≠0），即两个不平行于坐标轴

x2y2的共线向量的对应坐标成比例．

（2）当a≠0，b＝0时，a∥b，此时x1y2－x2y1＝0也成立，即对任意向量a，b都有x1y2－x2y1＝0⇔a∥b． 四、课堂检测

1．已知向量a＝（2，4），b＝（－1，1），则2a－b＝（ ） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9） 答案：A

→＝2BD→，2．已知A（－1，－2），B（2，3），C（－2，0），D（x，y），且AC则x＋y＝________．

→＝（－2，0）－（－1，－2）＝（－1，2）→＝（x，y）－（2，3）＝（x

解析：因为AC，BD→＝AC→，即（2x－4，2y－6）＝（－1，2）－2，y－3），又2BD，

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3x＝，2x－4＝－1，112所以解得所以x＋y＝2．

2y－6＝2，y＝4，11答案：2

3．已知点B（1，0）是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝（－3，4），c＝（－1，1）与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．

解：a＝3b－2c＝3（－3，4）－2（－1，1）＝（－7，10）， 设a的起点为A（x，y），

→＝（1－x，－y）则a＝AB， 1－x＝－7，所以

－y＝10，

x＝8，所以

y＝－10，所以A（8，－10）．

即a的起点坐标为（8，－10）．

4．已知向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，那么2a－b＝（ ） A．（4，0） C．（4，－8）

B．（0，4） D．（－4，8）

解析：选C．因为向量a＝（1，－2），b＝（m，4），且a∥b，所以1×4＝（－2）×m，所以m＝－2，所以2a－b＝（2－m，－4－4）＝（4，－8）．

5．若三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，则下列式子一定正确的是（ ） A．2m－n＝3 C．m＝3，n＝5

B．n－m＝1 D．m－2n＝3

→＝λAC→，解析：选A．因为三点A（4，3），B（5，m），C（6，n）在一条直线上，所以AB

11

所以（1，m－3）＝λ（2，n－3），所以λ＝2，所以m－3＝2（n－3），即2m－n＝3．

6．平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）． （1）求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值； （2）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k的值．

解：（1）因为a＝mb＋nc，所以（3，2）＝m（－1，2）＋n（4，1）＝（－m＋4n，2m＋n）．

52 / 206

5m＝9，－m＋4n＝3，

所以解得

82m＋n＝2，

n＝9.（2）因为（a＋kc）∥（2b－a），

又a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2）， 所以2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0．

16

所以k＝－13．

【第三课时】 教学重难点 平面向量数量积的坐标表示 平面向量的模与夹角的坐标表示 教学目标 掌握平面向量数量积的坐标表示， 会用向量的坐标形式求数量积 能根据向量的坐标计算向量的模、 夹角及判定两个向量垂直 核心素养 数算 数算、逻辑推理 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．平面向量数量积的坐标表示是什么？ 2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？ 二、新知探究

1．数量积的坐标运算

例1：已知向量a＝（1，－1），b＝（－1，2），则（2a＋b）·a＝（ ） A．－1 C．1

B．0 D．2

解析：因为a＝（1，－1），b＝（－1，2）， 所以（2a＋b）·a＝（1，0）·（1，－1）＝1． 答案：C 规律方法：

数量积坐标运算的两个途径

一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．

2．平面向量的模

53 / 206

例2：（1）设平面向量a＝（1，2），b＝（－2，y），若a∥b则|3a＋b|等于（ ） A．5 C．17

B．6 D．26

（2）已知|a|＝213，b＝（2，－3），若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|． 解：（1）选A．因为a∥b，所以1×y－2×（－2）＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝（1，2），|3a＋b|＝5． （2）设a＝（x，y），

则由|a|＝213，得x2＋y2＝52．① 由a⊥b，解得2x－3y＝0．②

x＝6，x＝－6，

联立①②，解得或

y＝4y＝－4.所以 a＝（6，4）或a＝（－6，－4）． 所以a＋b＝（8，1）或a＋b＝（－4，－7）， 所以|a＋b|＝65． 求解策略：

求向量的模的两种基本策略

（1）字母表示下的运算

利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． （2）坐标表示下的运算

若a＝（x，y），则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ 3．平面向量的夹角（垂直）

例3：已知a＝（4，3），b＝（－1，2）． （1）求a与b夹角的余弦值；

（2）若（a－λb）⊥（2a＋b），求实数λ的值． 解：（1）因为a·b＝4×（－1）＋3×2＝2，

a·b2

|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝|a||b|＝55

25＝25．

（2）因为a－λb＝（4＋λ，3－2λ），2a＋b＝（7，8）， 又（a－λb）⊥（2a＋b），

52所以7（4＋λ）＋8（3－2λ）＝0，所以λ＝9． 规律方法：

54 / 206

x2＋y2．

利用数量积求两向量夹角的步骤

三、课堂总结

1．平面向量数量积的坐标表示

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝x1x2＋y1y2． 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． ■名师点拨

公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．

2．两个公式、一个充要条件

（1）向量的模长公式：若a＝（x，y），则|a|＝x2＋y2．

（2）向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ是a与b

x1x2＋y1y2a·b的夹角，则cos θ＝|a||b|＝2222．

x1＋y1x2＋y2（3）两个向量垂直的充要条件

设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． ■名师点拨

→＝（x－x，y－y）若A（x1，y1），B（x2，y2），则AB2121，

→|＝（x－x）2＋（y－y）2，即A，B两点间的距离为（x－x）2＋（y－y）2． |AB21212121四、课堂检测

1．已知向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），则下列结论正确的是（ ） A．a·b＝2 C．b⊥（a＋b）

B．a∥b D．|a|＝|b|

2－x＝3，解析：选C．因为向量a＝（2，0），a－b＝（3，1），设b＝（x，y），则解得

0－y＝1，

x＝－1，所以b＝（－1，－1），a＋b＝（1，－1），b·（a＋b）＝－1×1＋（－1）×（－1）y＝－1，

＝0，所以b⊥（a＋b）．

55 / 206

→→

2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝（1，－2），AD＝

→·AC→＝________．

（2，1），则AD

→＝AB→＋AD→＝→·AC→＝

解析：由四边形ABCD为平行四边形，知AC（3，－1），故AD（2，1）（·3，－1）＝5．

答案：5

3．已知a＝（1，3），b＝（2，m）． （1）当3a－2b与a垂直时，求m的值； （2）当a与b的夹角为120°时，求m的值． 解：（1）由题意得3a－2b＝（－1，33－2m）， 由3a－2b与a垂直，得－1＋9－23m＝0，

43

所以m＝3．

（2）由题意得|a|＝2，|b|＝m2＋4，a·b＝2＋3m，

2＋3ma·b1

所以cos 120°＝|a|·|b|＝＝－， 222m＋4整理得2＋3m＋m2＋4＝0， 化简得m2＋23m＝0，

解得m＝－23或m＝0（舍去）． 所以m＝－23．

平面向量的概念

学习重难点 平面向量的相关概念 的相关概念 掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念 理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念 学习目标 了解平面向量的实际背景，理解平面向量核心素养 数学抽象 平面向量的几何表示 数学抽象 相等向量与共线向量 数学抽象、逻辑推理 【学习过程】

一、问题导学

预习教材P2－P4的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？

56 / 206

2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？

3．两个向量（向量的模）能否比较大小？

→与向量BA→是相等向量吗？

4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB二、合作探究

探究点1： 向量的相关概念

例1：给出下列命题：

→＝DC→，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点； ①若AB

→＝DC→；

②在▱ABCD中，一定有AB③若a＝b，b＝c，则a＝c.

其中所有正确命题的序号为________．

→＝DC→，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD中，|AB→解析：AB

→|，AB→与DC→平行且方向相同，故AB→＝DC→，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的方向

|＝|DC

相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．

答案：②③ 探究点2： 向量的表示

例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：

→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上； （1）OA

→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上； （2）AB

→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上． （3）BC

解：（1）由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格

→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数

数与纵向小方格数相等．又|OA

→，如图所示．

与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA

→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格

（2）由于点B在点A正东方向上，且|AB→，如图所示．

数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB

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→

（3）由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向→，如图所示． 量BC

探究点3：

共线向量与相等向量

→＝a，OB→＝b，在每两点所确定的

例3：如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA向量中．

（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ （2）与a共线的向量有哪些？

→，BC→，AO→，FE→．

解：（1）与a的长度相等、方向相反的向量有OD

→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．

（2）与a共线的向量有EF互动探究

→＝c，其他条件不变，试分别写出与a，b，c相等的向

1．变条件、变问法：本例中若OC量．

→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，F→

解：与a相等的向量有EFA；与c相等的向量→，ED→，AB→． 有FO

→共线的向量有哪些？

2．变问法：本例条件不变，与AD

→共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，OA→．

解：与AD三、学习小结

1．向量的概念及表示

（1）概念：既有大小又有方向的量． （2）有向线段

①定义：具有方向的线段．

58 / 206

②三个要素：起点、方向、长度．

③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段→． 记作AB→的长度，记作|AB→|．

④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB（3）向量的表示

■名师点拨

（1）判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素．

→的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，

（2）用有向线段表示向量时，要注意AB点B是向量的终点．

2．向量的有关概念

→的大小，称为向量AB→的长度（或称模）→|．

（1）向量的模（长度）：向量AB，记作|AB（2）零向量：长度为0的向量，记作0． （3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 3．两个向量间的关系

（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a，b是平行向量，记作a∥b．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．

（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b． ■名师点拨

（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． （2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． （3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同． 四、精炼反馈

→平行的向量的个数为1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE（ ）

A．1 C．3

B．2 D．4

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→→→→

解析：选C.图中与AE平行的向量为BE，FD，FC共3个． 2．下列结论中正确的是（ ） ①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b； ②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；

③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b； ④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|． A．①③ C．③④

B．②③ D．②④

解析：选B．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．

3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

→相等的向量；

（1）与BC

→长度相等的向量；

（2）与OB

→共线的向量．

（3）与DA

解：画出图形，如图所示． （1）易知BC∥AD，BC＝AD，

→相等的向量为AD→．

所以与BC

（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，

→长度相等的向量为BO→，OC→，CO→，OA→，AO→，OD→，DO→．

所以与OB

→共线的向量为AD→，BC→，CB→．

（3）与DA

复数的概念

【第一课时】

数系的扩充和复数的概念 教学重难点 复数的有关概念 复数的分类 复数相等 教学目标 了解数系的扩充过程，理解复数的概念 理解复数的分类 掌握复数相等的充要条件及其应用 核心素养 数学抽象 数学抽象 数算 【教学过程】

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一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？ 2．复数分为哪两大类？ 3．复数相等的条件是什么？ 二、新知探究

探究点1： 复数的概念

下列命题：

①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集． 其中正确的命题是（ ） A．① C．③

B．② D．④

解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．

答案：D

判断与复数有关的命题是否正确的方法

（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．

提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质． 探究点2： 复数的分类

m2＋m－62

当实数m为何值时，复数z＝＋（m－2m）i：（1）为实数？（2）为虚

m

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数？（3）为纯虚数？

m2－2m＝0，

解：（1）当即m＝2时，复数z是实数．

m≠0，

（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．

m≠0，

m2＋m－6

（3）当＝0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．

mm2－2m≠0，

解决复数分类问题的方法与步骤

（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．

（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．

（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R）， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0；

③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0． 探究点3： 复数相等

（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）

i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（ ）

A．4或0 C．2或0

B．－4或0 D．－2或0

（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________． 解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．

（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1， log2（x2－3x－2）>1，x2－3x－2>2，所以即解得x＝－2．

log2（x2＋2x＋1）＝0，x2＋2x＋1＝1，【答案：（1）A （2）－2

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复数相等的充要条件

复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．

注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立． 三、课堂总结

1．复数的有关概念 （1）复数的定义

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1． （2）复数集

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． （3）复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

2．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

3．复数的分类

实数（b＝0），

纯虚数a＝0， （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）

虚数（b≠0）非纯虚数a≠0Ｗ.

（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

■名师点拨

复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数． 四、课堂检测

1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（ ） A．b＝0 C．a＝0或b＝0

B．a＝0且b≠0 D．ab≠0

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解析：选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0． 2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（ ） A．－1 C．1

B．2 D．－1或2

解析：选D．因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数， 所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．

3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．

m2－9＝0，

解析：因为z＜0，所以解得m＝－3．

m＋1＜0，答案：－3

x2－x－6

4．已知＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．

x＋1

x2－x－6

解析：因为x∈R，所以∈R，

x＋1x2－x－6x＋1＝0，

由复数相等的条件得2

x－2x－3＝0，

x＋1≠0，

解得x＝3． 答案：3

【第二课时】

复数的几何意义 教学重难点 复平面 复数的几何意义 复数的模 共轭复数 教学目标 了解复平面的概念 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 掌握复数的模的概念，会求复数的模 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 核心素养 数学抽象 直观想象 数算 数算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？

/ 206

2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z＝a＋bi的共轭复数是什么？ 二、新知探究

探究点1：

复数与复平面内的点

已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z

满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．

（1）在实轴上； （2）在第三象限．

解：（1）若z对应的点在实轴上，则有

1

2a－1＝0，解得a＝2．

（2）若z对应的点在第三象限，则有 a2－1<0，1解得－11－1，故a的取值范围是． 2互动探究：

变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．

解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），

5

即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝4．

利用复数与点的对应解题的步骤

（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据．

（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．

探究点2：

复数与复平面内的向量

在复平面内，复数i，1，4＋2i对应的点分别是A，B，C．求平行四边形ABCD的

顶点D所对应的复数．

3

解：法一：由复数的几何意义得A（0，1），B（1，0），C（4，2），则AC的中点为2，2，



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x＋12＝2，x＝3，

由平行四边形的性质知该点也是BD的中点，设D（x，y），则所以即点D

y＋03y＝3，2＝2，的坐标为（3，3），所以点D对应的复数为3＋3i．

→＝（0，1）→＝（1，0）→＝（4，2）

法二：由已知得OA，OB，OC，

→＝（－1，1）→＝（3，2）所以BA，BC，

→＝BA→＋BC→＝（2，3）→＝OB→＋BD→＝（3，3）所以BD，所以OD， 即点D对应的复数为3＋3i．

复数与平面向量的对应关系

（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

探究点3： 复数的模

（1）设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是（ ） A．－11

B．a<－1或a>1 D．a>0

（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ）

A．1个圆 C．2个点

B．线段 D．2个圆

解析：（1）由题意得a2＋22<（－2）2＋12，即a2＋4<5（a∈R），所以－1所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆． 答案：（1）A （2）A

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求解复数的模的思路

解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解． 三、课堂总结

1．复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的两种几何意义

一一对应

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）←――→复平面内的点Z（a，b）．

一一对应→．

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R） ←――→平面向量OZ3．复数的模

→，则OZ→的模叫做复数z的模或绝对值，记作|z|

复数z＝a＋bi（a，b∈R）对应的向量为OZ或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2．

4．共轭复数

（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． （3）复数z的共轭复数用－z表示，即如果z＝a＋bi，那么－z＝a－bi． ■名师点拨

复数z＝a＋bi在复平面内对应的点为（a，b），复数－z＝a－bi在复平面内对应的点为（a，－b），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x轴对称． 四、课堂检测

1．已知z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）

A．（－3，1） C．（1，＋∞）

B．（－1，3） D．（－∞，－3）

m＋3>0，解析：选A．由题意得解得－3m－1<0，

→对应的复数为－1－2i，

2．在复平面内，O为原点，向量OA若点A关于实轴的对称点为B，→对应的复数为（ ） 则向量OB

A．－2－i

B．2＋i

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C．1＋2i D．－1＋2i

解析：选D．由题意可知，点A的坐标为（－1，－2），则点B的坐标为（－1，2），故→对应的复数为－1＋2i． 向量OB

3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是____________． 解析：依题意，可知z＝a＋i（a∈R），则|z|2＝a2＋1．因为0＜a＜2，所以a2＋1∈（1，5），即|z|∈（1，5）．

答案：（1，5）

4．若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________． 解析：因为z1与z2互为共轭复数， 所以a＝2，b＝4． 答案：2 4

复数的三角表示

【教学重难点】 复数的三角形式 复数三角形式乘、除运算的 三角表示及其几何意义 【教学目标】 了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系 【核心素养】 数学抽象 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何数学抽象、数学意义 运算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．复数z＝a＋bi的三角形式是什么？ 2．复数的辐角、辐角的主值是什么？ 3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值

一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z→所在射线(射线OZ→)为终边的角，叫做复数z＝a的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ

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＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．

■名师点拨

（1）任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍． （2）复数0的辐角是任意的．

（3）在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，且0≤argz＜2π. （4）两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． 2．复数三角形式的乘、除运算

若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则 （1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． z1r1（cos θ1＋isin θ1）

（2）z＝

2r2（cos θ2＋isin θ2）r1＝r[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

2即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究

1．复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式

把下列复数的代数形式化成三角形式： （1）3＋i； （2）2－2i.

【解】（1）r＝3＋1＝2，因为3＋i对应的点在第一象限， π3

所以cos θ＝2，即θ＝6，

ππ

所以3＋i＝2cos＋isin.

662

（2）r＝2＋2＝2，cos θ＝2，

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又因为2－2i对应的点位于第四象限， 7π

所以θ＝4.

7π7π

. 所以2－2i＝2cos＋isin44

复数的代数形式化三角形式的步骤 （1）先求复数的模． （2）决定辐角所在的象限． （3）根据象限求出辐角． （4）求出复数的三角形式．

[提醒]一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．

角度二 三角形式化为代数形式

分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．

ππ

（1）4cos ＋isin ；

663

（2）2(cos 60°＋isin 60°)；

ππ

（3）2cos －isin .

33

πππ

【解】（1）复数4cos ＋isin 的模r＝4，辐角的主值为θ＝6.

66

ππππ

4cos ＋isin ＝4cos 6＋4isin 6

66

31＝4×2＋4×2i ＝23＋2i.

33

（2）2(cos 60°＋isin 60°)的模r＝2，辐角的主值为θ＝60°. 33133(cos 60°＋isin 60°)＝×＋×22222i 33＝4＋4i.

ππ

（3）2cos －isin 

33

ππ

＝2cos2π－＋isin2π－

33

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55

＝2cos3π＋isin 3π. 

5所以复数的模r＝2，辐角的主值为3π. 5555

2cos 3π＋isin 3π＝2cos π＋2isin π

33

13＝2×2＋2×－i

2＝1－3i.

复数的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例（3）．

2．复数三角形式的乘、除运算

计算：

4455

（1）8cos 3π＋isin3π×4cos 6π＋isin6π；



（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； ππ（3）4÷cos ＋isin .

44

4455

【解】（1）8cos 3π＋isin3π×4cos 6π＋isin6π

5544

＝32cos3π＋6π＋isin3π＋6π



1313cos π＋isin ＝32 66π

ππ

＝32cos ＋isin 

66

31＝32＋i

22＝163＋16i.

（2）3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝

3

[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] 26

＝2(cos 75°＋isin 75°) 66－26＋2＝2＋4i

4

71 / 206

6－236＋23＝8＋8i ＝

3－33＋34＋4i.

ππ

（3）4÷cos ＋isin 

44

ππ

＝4(cos 0＋isin 0)÷cos ＋isin 

44

ππ＝4cos－＋isin－ 44＝22－22i.

（1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减．

（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 3．复数三角形式乘、除运算的几何意义

在复平面内，把复数3－3i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转

向量对应的复数．

31【解】因为3－3i＝23－i

22

1111

＝23cos 6π＋isin 6π



1111ππ

所以23cos 6π＋isin 6π×cos ＋isin 

33

ππ1111

＝23cosπ＋＋isinπ＋

3366

1313cos π＋isin π ＝2366

ππ

＝23cos ＋isin 

66＝3＋3i，

1111ππcos π＋isin π＋isin－ 23×cos66－33

ππ1111

＝23cosπ－＋isinπ－

3366

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π

，求所得3

33

＝23cos 2π＋isin 2π

＝－23i.

ππ故把复数3－3i对应的向量按逆时针旋转3得到的复数为3＋3i，按顺时针旋转3得到的复数为－23i.

→，OZ→，然后把向量OZ→绕点

两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ121→

O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模→，OZ→表示的复数就是积zz

变为原来的r2倍，得到向量OZ12．四、课堂检测

1．复数1－3i的辐角的主值是( ) 5

A．3π 5

C．6π

2B．3π πD．3 55513

解析：选A．因为1－3i＝2－i＝2cos 3π＋isin 3π，所以1－3i辐角的主值为3

22π.

2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9

3．arg(－2i)＝________．

3答案：2π 4．计算：

（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)；

33

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷2cos 4π＋isin 4π.

解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.

73 / 206

33

（2）2(cos 300°＋isin 300°)÷2cos 4π＋isin 4π



5533

＝2cos 3π＋isin 3π÷2cos 4π＋isin 4π 

3355

＝2cos3π－4π＋isin3π－4π



1111

＝2cos 12π＋isin 12π

1＋33－1＝－2＋2i.

复数的四则运算

【第一课时】

复数的加、减运算及其几何意义 教学重难点 复数加法、减法的运算 则 教学目标 掌握复数代数形式的加法、减法运算法核心素养 数算 复数加法的几何意义 理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义 直观想象 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？ 2．复数的加、减法的几何意义是什么？ 二、新知探究

探究点1：

复数的加、减法运算

（1）计算：（5－6i）＋（－2－i）－（3＋4i）；

（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2． 解：（1）原式＝（5－2－3）＋（－6－1－4）i＝－11i． （2）因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，

所以（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，

3＋x＝5，x＝2，所以所以所以z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i2－y＝－6，y＝8，

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＝－1＋10i．

解决复数加、减运算的思路

两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）．

探究点2：

复数加、减法的几何意义

已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋

4i．

→表示的复数； （1）求AO

→表示的复数．

（2）求CA

→＝－OA→，

解：（1）因为AO

→

所以AO表示的复数为－（3＋2i），即－3－2i．

→＝OA→－OC→，

（2）因为CA

→表示的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i． 所以CA互动探究：

1．变问法：若本例条件不变，试求点B所对应的复数．

→＝OA→＋OC→，所以OB→表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i．所以点B

解：因为OB所对应的复数为1＋6i．

2．变问法：若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．

解：由题意知，点M为OB的中点，

1→＝1OB→，由互动探究1中知点B的坐标为（1，6）2，3，所以点则OM，得点M的坐标为

2

1

M对应的复数为2＋3i．

复数加、减法几何意义的应用技巧

（1）复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算．

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（2）复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． 三、课堂总结

1．复数加、减法的运算法则及加法运算律 （1）加、减法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，则z1＋z2＝（a＋c）＋（b＋d）i，z1－z2＝（a－c）＋（b－d）i．

（2）加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 ①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．

②结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）． 2．复数加、减法的几何意义

→，OZ→，如图所示，设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）对应的向量分别为OZ12

→，与z－z对应的向量是Z→

四边形OZZZ为平行四边形，则与z＋z对应的向量是OZZ．

1

2

1

2

1

2

21

四、课堂检测

1．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）的结果为（ ） A．5－3i C．7－8i

B．3＋5i D．7－2i

解析：选C．（6－3i）－（3i＋1）＋（2－2i）＝（6－1＋2）＋（－3－3－2）i＝7－8i． 2．已知复数z1＝（a2－2）－3ai，z2＝a＋（a2＋2）i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为____________．

a2－2＋a＝0，

解析：由z1＋z2＝a2－2＋a＋（a2－3a＋2）i是纯虚数，得2⇒a＝－2．

a－3a＋2≠0答案：－2

3．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－1＋2i． （1）求z1－z2；

（2）在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量．

解：（1）由复数减法的运算法则得z1－z2＝（－2＋i）－（－1＋2i）＝－1－i．

→．

（2）在复平面内作复数z－z所对应的向量，如图中OZ

1

2

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【第二课时】

复数的乘、除运算 教学重难点 复数的乘除运算 复数乘法的运算律 解方程 数的乘除运算 教学目标 掌握复数乘除运算的运算法则，能够进行复核心素养 数算 逻辑推理 数算 理解复数乘法的运算律 会在复数范围内解方程 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．复数的乘法和除法运算法则各是什么？ 2．复数乘法的运算律有哪些？ 3．如何在复数范围内求方程的解？ 二、新知探究

探究点1： 复数的乘法运算

13

（1）（1－i）－＋i（1＋i）＝（ ）

22A．1＋3i C．3＋i

B．－1＋3i D．－3＋i

2

（2）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则（a＋bi）＝（ ）

A．5－4i C．3－4i

B．5＋4i D．3＋4i

（3）把复数z的共轭复数记作－z，已知（1＋2i） －z＝4＋3i，求z．

13

解：（1）选B．（1－i）－＋i（1＋i）

2213

＝（1－i）（1＋i）－＋i

2213

＝（1－i2）－＋i

22

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13

＝2－＋i＝－1＋3i． 22

（2）选D．因为a－i与2＋bi互为共轭复数， 所以a＝2，b＝1，所以（a＋bi）2＝（2＋i）2＝3＋4i． （3）设z＝a＋bi（a，b∈R），则－z＝a－bi，

由已知得，（1＋2i）（a－bi）＝（a＋2b）＋（2a－b）i＝4＋3i，由复数相等的条件知，

{a＋2b＝4，2a－b＝3，解得a＝2，b＝1，

所以z＝2＋i．

复数乘法运算法则的应用

复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如（a＋bi）2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，（a＋bi）3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋（3a2b－b3）i．

探究点2： 复数的除法运算

计算：

（1＋2i）2＋3（1－i）（1）；

2＋i

（1－4i）（1＋i）＋2＋4i（2）．

3＋4i

（1＋2i）2＋3（1－i）－3＋4i＋3－3i

解：（1）＝

2＋i2＋i

i（2－i）12i

＝＝＝5＋5i．

52＋i

（1－4i）（1＋i）＋2＋4i5－3i＋2＋4i7＋i（2）＝＝

3＋4i3＋4i3＋4i

（7＋i）（3－4i）21－28i＋3i＋425－25i＝＝＝25＝1－i．

25（3＋4i）（3－4i）

复数除法运算法则的应用

复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．

探究点3： i的运算性质

（1）复数z＝

1－i

，则ω＝z2＋z4＋z6＋z8＋z10的值为（ ） 1＋i

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A．1 C．i

B．－1 D．－i

1＋i2 019

（2）等于________． 1－i

1－i22＝－1，所以ω＝－1＋1－1＋1－1＝－1． 解析：（1）z＝

1＋i

1＋i2 019（1＋i）（1＋i）2 0192i2 0192 019

（2）＝＝2＝i＝（i4）504·i3＝1504·（－i）＝

1－i（1－i）（1＋i）－i．

答案：（1）B （2）－i

（1）i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0（n∈N*）． （2）记住以下结果，可提高运算速度． ①（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i．

1－i1＋i②＝－i，＝i． 1＋i1－i1

③i＝－i． 探究点4：

在复数范围内解方程

在复数范围内解下列方程． （1）x2＋5＝0； （2）x2＋4x＋6＝0．

解：（1）因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为（5i）2＝（－5i）2＝－5， 所以x＝±5i，

所以方程x2＋5＝0的根为±5i． （2）法一：因为x2＋4x＋6＝0， 所以（x＋2）2＝－2，

因为（2i）2＝（－2i）2＝－2， 所以x＋2＝2i或x＋2＝－2i， 即x＝－2＋2i或x＝－2－2i，

所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i．

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法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根．

在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi（a，b∈R且b≠0）， 则（a＋bi）2＋4（a＋bi）＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0，

整理得（a2－b2＋4a＋6）＋（2ab＋4b）i＝0，

a2－b2＋4a＋6＝0，所以

2ab＋4b＝0，又因为b≠0，

a2－b2＋4a＋6＝0，所以

2a＋4＝0，解得a＝－2，b＝±2． 所以x＝－2±2i，

即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±2i．

在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法 （1）求根公式法

－b±b2－4ac

①当Δ≥0时，x＝．

2a

－b±－（b2－4ac）i

②当Δ<0时，x＝．

2a（2）利用复数相等的定义求解

设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），将此代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解． 三、课堂总结

1．复数乘法的运算法则和运算律 （1）复数乘法的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

则z1·z2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i． （2）复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 结合律 80 / 206

z1z2＝z2z1 （z1z2）z3＝z1（z2z3）

乘法对加法的分配律 2．复数除法的运算法则

z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（c＋di≠0）（a，b，c，d∈R）， z1a＋biac＋bdbc－ad则z＝＝＋i（c＋di≠0）．

c＋dic2＋d2c2＋d22■名师点拨

对复数除法的两点说明

（1）实数化：分子、分母同时乘以分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．

（2）代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 四、课堂检测

1．若复数（1＋bi）（2＋i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ ）

1

A．－2 B．－2

1C．2 D．2 解析：选D．因为（1＋bi）（2＋i）＝2－b＋（2b＋1）i是纯虚数，所以b＝2．

i

2．已知i为虚数单位，则复数的模等于（ ）

2－iA．5

3C．3

B．3

5D．5 i（2＋i）i（2＋i）i12

解析：选D．因为＝＝＝－55＋5i， 2－i（2－i）（2＋i）

i12125所以||＝|－5＋5i|＝（－5）2＋（5）2＝5，故选D．

2－i

2＋2i22 018

3．计算：（1）＋；

（1－i）21＋i（2）（4－i5）（6＋2i7）＋（7＋i11）（4－3i）．

2＋2i22 018

解：（1）＋

（1－i）21＋i2＋2i21 00911 009＝＋＝i（1＋i）＋i

－2i2i＝－1＋i＋（－i）1 009＝－1＋i－i＝－1． （2）原式＝（4－i）（6－2i）＋（7－i）（4－3i） ＝22－14i＋25－25i＝47－39i．

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基本立体图形

【第1课时】

棱柱、棱锥、棱台的结构特征 教学重难点 棱柱的结构特征 教学目标 理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别 核心素养 直观想象 棱锥、棱台的结构特理解棱锥、棱台的定义，知道棱征 应用几何体的平面展开图 锥、棱台的结构特征，并能识别 能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形 直观想象 直观想象 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．空间几何体的定义是什么？ 2．空间几何体分为哪几类？ 3．常见的多面体有哪些？

4．棱柱、棱锥、棱台有哪些结构特征？ 二、新知探究

棱柱的结构特征

例1：下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是__________．

【解析】①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形； ②错误，棱柱的底面可以是三角形； ③正确，由棱柱的定义易知；

④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以正确说法的序号是③④.

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【答案】③④ [规律方法]

棱柱结构特征的辨析技巧

（1）扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．

①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．

（2）举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．

棱锥、棱台的结构特征

例2：下列关于棱锥、棱台的说法：

①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形；

④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________．

【解析】①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台．

②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形． ③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形． ④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥． ⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥． 所以正确说法的序号为②③④. 【答案】②③④ [规律方法]

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判断棱锥、棱台形状的两种方法

（1）举反例法

结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． （2）直接法 定底面 看侧棱 棱锥 棱台 只有一个面是多边形，此面即为两个互相平行的面，即为底底面 相交于一点

面 延长后相交于一点 空间几何体的平面展开图

例3：（1）水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图（图中数字体的外表面上），若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体（ ）

A．1 C．快

B．9 D．乐

上面、下面、写在正方的下面是

（2）如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

【解】（1）选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．

（2）题图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱

的特点；题图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥的特点；题图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．

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[求解策略]

多面体展开图问题的解题策略

（1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．

（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推，同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图．

【课堂总结】

1．空间几何体的定义及分类

（1）定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．

（2）分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类． 2．空间几何体 类别 定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体 多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫旋转体 做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴 3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征 结构特征及分类 （1）有两个面（底面）互棱柱 结构特征 相平行 （2）其余各面都是四边形 （3）相邻两个四边形的公 85 / 206

图示 图形及记法

共边都互相平行 分类 续表 结构特棱锥 分类 征 结构特征及分类 （1）有一个面（底面）是多边形 （2）其余各面（侧面）都是有一个公共顶点的三角形 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱… 记作棱柱 ABCDEF­A′B′C′D′E′F′ 图形及记法 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥…… （1）上下底面互相平行，且是相似图形 结构特（2）各侧棱延长线相交于一点 （或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台） 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截分类 得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台…… 记作 棱台ABCD­A′B′C′D′ 记作 棱锥S­ABCD 棱台 征 [名师点拨]

（1）棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）．

（2）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

正棱柱（底面为正多边形）

直棱柱

一般的直棱柱棱柱



斜棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

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【课堂检测】

1．下面的几何体中是棱柱的有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

解析：选C.棱柱有三个特征：（1）有两个面相互平行．（2）其余各面是四边形．（3）侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.

2．下面图形中，为棱锥的是（ ）

A．①③ B．③④ C．①②④ D．①②

解析：选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.

3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为（ ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥

解析：选D.根据棱锥的定义可知该几何体是三棱锥．

4．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为__________cm.

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60

解析：因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为5＝12（cm）．

答案：12

5．画一个三棱台，再把它分成： （1）一个三棱柱和另一个多面体． （2）三个三棱锥，并用字母表示． 解：画三棱台一定要利用三棱锥．

（1）如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是B′C′C″B″BC. （2）如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C. 第2课时

圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征 教学重难点 教学目标 理解圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥、圆台、球的定义，知道这四种 的概念 几何体的结构特征，能够识别和区分这些几何体 简单组合体的结构特征 旋转体中的计算问题 了解简单组合体的概念和基本形式 会根据旋转体的几何体特征进行相关运算 直观想象 直观想象 核心素养 直观想象、数算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．常见的旋转体有哪些？是怎样形成的？

2．这些旋转体有哪些结构特征？它们之间有什么关系？ 3．这些旋转体的侧面展开图和轴截面分别是什么图形？ 二、新知探究

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圆柱、圆锥、圆台、球的概念 例1：（1）给出下列说法： ①圆柱的底面是圆面；

②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；

③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体． 其中说法正确的是________． （2）给出以下说法：

①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形． 其中正确说法的序号是________．

【解析】（1）①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确，圆台的母线延长相交于一点；④不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．

（2）根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆面；④正确．

【答案】（1）①②（2）①④ [规律方法]

（1）判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线． （2）简单旋转体的轴截面及其应用

①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．

简单组合体的结构特征

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例2：如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ）

【解析】该几何体自上而下由圆锥、圆台、圆台、圆柱组合而成，故应选A. 【答案】A

[变条件、变问法]若将本例选项B中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

解：①是直角三角形，旋转后形成圆锥；②是直角梯形，旋转后形成圆台；③是矩形，旋转后形成圆柱，所以旋转后形成的几何体如图所示．通过观察可知，该几何体是由一个圆锥、一个圆台和一个圆柱自上而下拼接而成的．

[求解策略]

不规则平面图形旋转形成几何体的

结构特征的分析策略

（1）分割：首先要对原平面图形适当分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆（半圆或四分之一圆）等基本图形．

（2）定形：然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．

旋转体中的计算问题

例3：如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求的母线长．

【解】设圆台的母线长为l cm，

由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设

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截得圆台圆台O′O

截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm，4r cm.过轴如图所示，

则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.

SA′O′A′3r1所以＝，所以＝＝.

SAOA3＋l4r4解得l＝9，即圆台O′O的母线长为9 cm. [规律方法]

解决旋转体中计算问题的方法

SO作截面，

用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质（与底面全等或相似），同时结合旋转体中的轴截面（经过旋转轴的截面）的几何性质，利用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程（组）而解得．

[注意]在研究与截面有关的问题时，要注意截面与物体的相对位置的变化．由于相对位置的改变，截面的形状也会随之发生变化．

【课堂总结】

1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征 （1）圆柱的结构特征 定义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆柱的轴 图示及相关概念 （2）圆锥的结构特征 定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 图示及相关概念 （3）圆台的结构特征

91 / 206

底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 柱体：圆柱和棱柱统称为柱体 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：圆锥和棱锥统称为锥体

定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 轴：圆锥的轴 图示及相关概念 （4）球的结构特征 定义 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面和截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：圆台和棱台统称为台体 以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径 图示及相关概念 [名师点拨]

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面．

（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝R2－d2.

2．简单组合体 （1）概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． （2）两种构成形式 ①由简单几何体拼接而成；

②由简单几何体截去或挖去一部分而成．

【课堂检测】

1．如图所示的图形中有（ ）

A．圆柱、圆锥、圆台和球 C．球、圆柱和圆台

B．圆柱、球和圆锥 D．棱柱、棱锥、圆锥和球

92 / 206

解析：选B.根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）是圆锥，（4）不是圆台，故应选B.

2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，则这个几何体不可能是（ ） A．圆锥 C．球 答案：D

3．下列说法中正确的是________．

①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．

解析：①错误，连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行，所以①不正确．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．

答案：②

4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高h为________cm.

3

解析：h＝20cos 30°＝20×2＝103（cm）． 答案：103

5．如图所示，将等腰梯形ABCD绕其底边所在直线旋转一周，可得到怎样的空间几何体？该几何体有什么特点？

解：若将等腰梯形ABCD绕其下底BC所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以AD为母线，BC所在的直线为轴的圆柱和两个分别以AB，CD为母线的圆锥组成的几何体，如图（1）所示．

若将等腰梯形ABCD绕其上底AD所在的直线旋转一周，所得几何体可以看作是以BC为母线，AD所在的直线为轴的圆柱中两底分别挖去以AB，CD为母线的两个圆锥得到的几何体，如图（2）所示．

B．圆柱 D．棱柱

简单几何体的表面积与体积

【第一课时】

93 / 206

【教学目标】

1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积

2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系

【教学重难点】

1．柱、锥、台的表面积 2．锥体、台体的表面积的求法

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？ 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？ 4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？

5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？ 二、新知探究

柱、锥、台的表面积

例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ） A.2倍 B．3 倍 C．2 倍 D．5 倍

（2）已知正方体的 8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（ ）

A．1∶2 B．1∶3 C．2∶2 D．3∶6

（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为 84π，则该圆台较小底面的半径为（ ）

94 / 206

A．7 B．6 C．5 D．3

【解析】（1）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则由题意可知，l＝2r，于是 S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.

（2）棱锥 B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为 1，

3

则 B′C＝2，S△B′AC＝2.

3

三棱锥的表面积 S锥＝4×2＝23，

又正方体的表面积 S正＝6. 因此 S锥∶S正＝23∶6＝1∶3.

（3）设圆台较小底面的半径为 r，则另一底面的半径为 3r.由 S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得 r＝7.

【答案】（1）C （2）B （3）A [规律方法]

空间几何体表面积的求法技巧

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和． （2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．

（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

柱、锥、台的体积

例2：如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥A­A1BD的体积及高．

95 / 206

1

【解】（1）V三棱锥A1­ABD＝3S△ABD·A1A 111＝3×2·AB·AD·A1A＝6a3. 故剩余部分的体积

15

V＝V正方体－V三棱锥A1­ABD＝a3－6a3＝6a3. 1

（2）V三棱锥A­A1BD＝V三棱锥A1­ABD＝6a3. 设三棱锥A­A1BD的高为h，

1

则V三棱锥A­A1BD＝3·S△A1BD·h 1133

＝3×2×2（2a）2h＝6a2h，

31

故6a2h＝6a3，

3

解得h＝3a. [规律方法]

求几何体体积的常用方法

（1）公式法：直接代入公式求解．

（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．

组合体的表面积和体积

例3：如图在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．

【解】设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S. 则 R＝OC＝2，AC＝4，

96 / 206

AO＝42－22＝23. 如图所示，

易知△AEB∽△AOC，

AEEB3r所以AO＝OC，即＝，所以 r＝1，

232S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π. 所以 S＝S底＋S侧＝2π＋23π ＝（2＋23）π.

1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比．

解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r＝1，高 h＝3，所以圆柱的体积 V1＝πr2h＝π×12×3＝3π.

183

圆锥的体积 V2＝3π×22×23＝3π. 所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.

2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．

解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r＝1，下底面半径 R＝2，高 h＝3，母线 l＝2，所以圆台的表面积 S＝π（r2＋R2＋r·l＋Rl）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.

1173

圆台的体积 V＝3π（r2＋rR＋R2）h＝3π（12＋2＋22）×3＝3π.

3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h”，试求圆柱侧面积的最大值． 解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r， 则 R＝OC＝2，AC＝4， AO＝42－22＝23.

如图所示易知△AEB∽△AOC，

AEEB所以AO＝OC， 23－hr即＝2，

23所以 h＝23－3r，

S圆柱侧＝2πrh＝2πr（23－3r） ＝－23πr2＋43πr，

所以当 r＝1，h＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为 23π. [规律方法]

97 / 206

求组合体的表面积与体积的步骤

（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． （2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．

（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．

【课堂总结】

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．

2．棱柱、棱锥、棱台的体积

11（1）V棱柱＝Sh；（2）V棱锥＝3Sh；V棱台＝3h（S′＋SS′＋S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．

3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 名称 图形 底面积：S底＝πr2 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 体积：V＝πr2l 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝πrl 圆锥 表面积：S＝πrl＋πr2 1体积：V＝3πr2h 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝πl（r＋r′） 圆台 表面积： S＝π（r′2＋r2＋r′l＋rl） 体积： 1V＝3πh（r′2＋r′r＋r2） [名师点拨]

98 / 206

公式

1．柱体、锥体、台体的体积

（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

1

（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝3Sh.

1

（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝3(S′＋SS′＋S)h. 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系

r′＝rr′＝0

S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π（r′＋r）l――→S圆锥侧＝πrl. 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系

11S′＝SS′＝0

V柱体＝Sh――→V台体＝3（S′＋S′S＋S）h――→V锥体＝3Sh.

【课堂检测】

1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ） A．22 C．10

B．20 D．11

解析：选A.所求长方体的表面积S＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22. 2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（ ） 279A.4 B.4 27393C.4 D.4

1393

解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V＝3×4×32×3＝4.故选D. 3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．

解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x，5x，则中截面半径为4x，设上台体的母线长为l，

则下台体的母线长也为l，上台体侧面积S1＝π（3x＋4x）l＝7πxl，下台体侧面积S2＝π（4x＋5x）l＝9πxl，所以S1∶S2＝7∶9.

答案：7∶9 4.如图，三棱台ABC

A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1

A1B1C1的体积之比．

ABC，

三棱锥BA1B1C，三棱锥C

解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

11

所以VA1ABC＝3S△ABC·h＝3Sh，

14

VCA1B1C1＝3S△A1B1C1·h＝3Sh.

99 / 206

17

又V台＝3h（S＋4S＋2S）＝3Sh， 所以VBA1B1C＝V台－VA17Sh4Sh2

＝3Sh－3－3＝3Sh， 所以体积比为1∶2∶4.

ABC－VC

A1B1C1

【第二课时】 【教学目标】

1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积 2．能解决与球有关的组合体的计算问题

【教学重难点】

1．球的表面积与体积 2．与球有关的组合体

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．球的表面积公式是什么？ 2．球的体积公式什么？ 二、新知探究

球的表面积与体积

32π

例1：（1）已知球的体积是3，则此球的表面积是（ ） A．12π 16πC.3

B．16π πD.3

（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若

28π

该几何体的体积是3，则它的表面积是（ ）

A．17π

B．18π

100 / 206

C．20π D．28π

【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得

432π

V＝3πR3＝3，解得R＝2. 所以球的表面积S＝4πR2＝16π.

1

（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉8后剩下的几何体， 设球的半径为r， 7428故8×3πr3＝3π，

73

所以r＝2，表面积S＝×4πr2＋πr2＝17π，选A.

84【答案】（1）B（2）A [归纳反思]

球的体积与表面积的求法及注意事项

（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．

球的截面问题

例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（ ）

500π866π3A.3 cm B.3 cm3 1 372π2 048πC.3 cm3 D.3 cm3

【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），

11

BM＝2AB＝2×8＝4（cm）． 设球的半径为R cm，则 R2＝OM2＋MB2 ＝（R－2）2＋42，

所以R＝5，

4500

所以V球＝3π×53＝3π （cm3）．

101 / 206

【答案】A [规律方法]

球的截面问题的解题技巧

（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转中圆的问题．

（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.

与球有关的切、接问题 角度一球的外切正方体问题

例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ） 4π2πA.3 B.3

3ππC.2 D.6 【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的

44π

棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是3×π×13＝3.

【答案】A

角度二球的内接长方体问题

例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．

【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝12＋22＋32＝14， 所以球的表面积 S＝4πR2＝14π. 【答案】14π

角度三球的内接正四面体问题

例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝2x，由题意 2R＝3x＝32a6×2＝2a，

322

所以 S球＝4πR＝2πa.

角度四球的内接圆锥问题

例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体

102 / 206

化为平面

的距离d构

积和此球体积的比值为________．

【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r，则球心到该圆锥

r3rr22

底面的距离是2，于是圆锥的底面半径为 r－2＝2，



3r高为2.

143r23r33

×＝πr，球体积为πr3，所以该圆锥的体积为 3×π×该圆锥的

3228

338πr9

体积和此球体积的比值为4＝32.

33πr

3

②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为32.

93

【答案】32或32

角度五球的内接直棱柱问题

例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A．πa2 11

C.πa2 3

7B.3πa2 D．5πa2

【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a．如

2331

图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝3×2a＝3a，OP＝2a，

2127723所以球的半径 R＝ OA 满足R＝a＋2a＝12a2，故 S球＝4πR2＝3πa2. 3

【答案】B [规律方法]

（1）正方体的内切球

a

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r1＝，过在一个

2平面上的四个切点作截面如图（1）．

（2）长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，

1

则球的半径为 r2＝2 a2＋b2＋c2，如图（2）．

103 / 206

（3）正四面体的外接球

6

正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R＝2a.

【课堂总结】

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2． 2．球的体积

43

设球的半径为R，则球的体积V＝3πR． [名师点拨]

对球的体积和表面积的几点认识

（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．

（2）由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．

（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍．

【课堂检测】

1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ） A．36π，144π C．144π，36π

B．36π，36π D．144π，144π

4

解析：选 B．球的半径为 3，表面积 S＝4π·32＝36π，体积 V＝3π·33＝36π.

2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ）

6ππA.6 B.2 2π3πC.2 D.2π

a2πV1a322

解析：选 A．设正方体棱长为 a，球半径为 R，由 6a＝4πR 得R＝3，所以V2＝43

3πR

104 / 206

3＝4π



6π2π3＝

6. 3

3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为（ ）

A．1 C．3

B．2 D．4

4π4πR3＋r3＝12π，R＝2，33解析：选 A．设两球的半径分别为 R，（rR>r），则由题意得解得

r＝1.2πR＋2πr＝6π，故 R－r＝1.

4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．

4

解析：设球 O 的半径为 r，则3πr3＝23， 36

解得 r＝π. 36

答案：π

5．已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．

解：设截面圆心为O′，球心为 O，连接 O′A，OA，OO′， 设球的半径为 R.

2323

因为O′A＝3×2×2＝3.

在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2，

21

223＋R2， 所以 R＝

344

所以 R＝3，

所以 S球＝4πR2＝9π.

空间点、直线、平面之间的位置关系

【第一课时】 【教学目标】

1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面

2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系

105 / 206

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用

【教学重难点】

1．平面的概念

2．点、线、面的位置关系 3．三个基本事实及推论

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？

3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？ 二、基础知识

1．平面

（1）平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．

（2）平面的画法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．

（3）平面的表示方法

我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．

名师点拨：

（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量． （2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的． 2．点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．

106 / 206

文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l 名师点拨

符号语言 A∈l A∉l A∈α A∉α l⊂α l⊄α l∩m＝A l∩α＝A α∩β＝l 图形语言 从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

3．平面的性质 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平 面α使A，B，C∈α A∈l，B∈l，且A ∈α，B∈α⇒ l⊂α 基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 如果一条直线上的基本 事实2 两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 107 / 206

如果两个不重合的基本 事实3 平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 名师点拨

在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

4．平面性质的三个推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图（1）． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图（2）． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．

三、合作探究

图形、文字、符号语言的相互转化

例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．

平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.

（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示． α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.

【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．

（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．

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[规律方法]

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

点、线共面问题

例2：证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 【解】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 证明：法一：（纳入平面法）

因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，所以B∈l2. 又因为l2⊂α，

所以B∈α.同理可证C∈α. 又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α. 所以直线l1，l2，l3在同一平面内． 法二：（辅助平面法）

因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α. 因为l2∩l3＝B，

所以l2，l3确定一个平面β. 因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α. 因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． 所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． [规律方法]

证明点、线共面的常用方法

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

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三点共线、三线共点问题

例3：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．

【证明】连接EF，D1C，A1B， 因为E为AB的中点，

1

F为AA1的中点，所以EF∥═2A1B. 又因为A1B∥═D1C，

1

所以EF∥═2D1C，

所以E，F，D1，C四点共面， 可设D1F∩CE＝P.

又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD， 所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点． 又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA， 所以据基本事实3可得P∈DA， 即CE，D1F，DA三线交于一点．

[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：点D、A、M三点共线．

证明：因为D1F∩CE＝M，

且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA， 同理M∈平面BCDA， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，

所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线． [规律方法]

AB、AA1的

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【课堂检测】

1．能确定一个平面的条件是（ ） A．空间三个点 C．无数个点

B．一个点和一条直线 D．两条相交直线

解析：选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．

2．经过同一条直线上的3个点的平面（ ） A．有且只有一个 C．有无数个

B．有且只有3个 D．不存在

解析：选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：课本中每一页都过共线的三点． 3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ） A．l⊂α C．l∩α＝M

B．l⊄α D．l∩α＝N

解析：选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α. 4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（ ） A．没有其他公共点 C．仅有两个公共点

B．仅有这一个公共点 D．有无数个公共点

解析：选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．

5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形． 解：直线l在平面α 内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．

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【第二课时】 【教学目标】

1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义

2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

【教学重难点】

1．空间两直线的位置关系 2．直线与平面的位置关系 3．平面与平面的位置关系

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．空间两直线有哪几种位置关系？ 2．直线与平面的位置关系有哪几种？ 3．平面与平面的位置关系有哪几种？

4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？ 5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？ 二、基础知识

1．空间中直线与直线的位置关系 （1）异面直线

①定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ②画法：（通常用平面衬托）

（2）空间两条直线的位置关系

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线

平行直线：在同一平面内，没有公共点； 



异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

名师点拨

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（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

2．空间中直线与平面的位置关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外 直线a与平 面α相交 有且只有 一个公共点 a∩α＝A 直线a与 平面α平行 没有公共点 a∥α 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 名师点拨

无数个公共点 a⊂α 一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

3．空间中平面与平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 名师点拨

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行． （2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

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两个平面平行 没有公共点 α∥β 两个平面相交 有无数个公共点（在一条直线上） α∩β＝l

三、合作探究

空间两直线位置关系的判定

例1：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是________； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是________； ④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】①平行②异面③相交④异面 [规律方法]

（1）判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．

（2）判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； ②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B与l是异面直线（如图）．

直线与平面的位置关系 例2：下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α； ②若直线a在平面α外，则a∥α； ③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数为（ ）

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线的位置

和这个平面内不经∈α，l⊂α，B∉l⇒AB

A．1 C．3

B．2 D．4

【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1. 【答案】A [归纳反思]

判断直线与平面的位置关系应注意的问题

（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

平面与平面的位置关系

例3：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）

A．平行 C．平行或相交

B．相交 D．以上都不对

【解析】如图，可能会出现以下两种情况：

【答案】C

1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

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解：如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．

2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．

由图知，平面α与平面β可能平行或相交．

3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．

[规律方法]

（1）平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点； ②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点． （2）常见的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行； ②长方体的六个面中，三组相对面平行．

点、线、面位置关系图形的画法

例4：如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

（1）过点G及AC. （2）过三点E，F，D1.

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【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

[规律方法]

直线与平面位置关系的图形的画法

（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

【课堂检测】

1．不平行的两条直线的位置关系是（ ） A．相交 C．平行

B．异面 D．相交或异面

解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面． 2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（ ） A．l∥α C．l与α相交

B．l⊂α

D．以上都有可能

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解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故

选C.

3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（ ） A．平行 C．相交 解析：选D.如图：

B．异面 D．平行或异面

4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（ ）

A．平行

C．相交或直线在平面内

B．直线在平面内 D．平行或直线在平面内

解析：选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．

5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________． 答案：异面

6．下列命题正确的是________．（填序号） ①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交． 解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：①

空间直线、平面的垂直

【第一课时】 【教学目标】

1．会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角

2．理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性 3．掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题

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【教学重难点】

1．异面直线所成的角 2．直线与平面垂直的定义 3．直线与平面垂直的判定定理

【核心素养】

1．直观想象、逻辑推理、数算 2．直观想象

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？ 二、基础知识

1．异面直线所成的角

（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

（2）垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．

（3）范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°． [名师点拨]

当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°．所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°．注意与异面直线所成的角的范围的区别．

2．直线与平面垂直 定义 记法 有关 概念

一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 l⊥α 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足 119 / 206

图示 及画法 四边形的一边垂直 名师点拨

（1）直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．

（2）注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”． 3．直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 图形 语言 符号 语言 名师点拨

判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直． 三、合作探究

异面直线所成的角

如图，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心．

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行

求：（1）BE与CG所成的角； （2）FO与BD所成的角． 【解】（1）如图，因为CG∥BF．

所以∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CG所成的角， 又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为

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45°．

（2）连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．

所以HF∥BD，所以∠HFO（或其补角）为异面直线FO与BD所成的角． 连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF， 所以△AFH为等边三角形， 又知O为AH的中点，

所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°．

1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．

解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥∥AB，

所以∠BAF（或其补角）为异面直线OP与CD所成的角，由是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°．

2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39．2°，求AM和BN所成的角．

解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF∥═CG，因为是BF，CG的中点，所以BM∥═NG，所以四边形BNGM是平行四BN∥MG，所以∠AGM（或其补角）是异面直线AG和BN所成的（或其补角）是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，

M，N分别边形，所以角，∠AMG所以∠于△ABFAF，又CD

AGM＝∠MAG＝39．2°，所以∠AMG＝101．6°，所以AM和BN所成的角为78．4°．

[规律方法]

求异面直线所成的角的步骤

（1）找出（或作出）适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．

（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．

（3）结论——设由（2）所求得的角的大小为θ．若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．

[提醒]求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°．

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直线与平面垂直的定义

（1）直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能（） A．平行 C．异面

．相交 ．垂直

（2）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（） A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 【解析】（1）因为直线l⊥平面α，所以l与α相交． 又因为m⊂α，所以l与m相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m． 故l与m不可能平行．

（2）对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．

【答案】（1）A（2）B [规律方法]

对线面垂直定义的理解

（1）直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．

（2）由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b．

直线与平面垂直的判定

如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥

AF⊥PC于点F．

（1）求证：PC⊥平面AEF；

（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．

【证明】（1）因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．

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PB于点E，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC．又AE⊥PB，PB∩BC＝B， 所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， 所以AE⊥PC．

又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A， 所以PC⊥平面AEF．

（2）由（1）知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF， 所以PC⊥AG，

同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C， 所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD， 所以AG⊥PD．

1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH．

证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC， 又PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA， 因为PA∩AC＝A，

所以BD⊥平面PAC，又FH⊂平面PAC， 所以BD⊥FH．

2．[变条件]若本例中PA＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG． 证明：因为PA⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥PA， 又因为ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA∩AD＝A， 所以DC⊥平面PAD，又AG⊂平面PAD， 所以AG⊥DC，

因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，又DC∩PD＝D， 所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，

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又因为PC⊥AF，AG∩AF＝A， 所以PC⊥平面AFG．

3．[变条件]本例中的条件“AE⊥PB于点E，AF⊥PC于“E，F分别是AB，PC的中点，PA＝AD”，其他条件不变，面PCD．

证明：取PD的中点G，连接AG，FG． 因为G，F分别是PD，PC的中点，

11∥所以GF∥CD，又AE═2═2CD，所以GF∥═AE， 所以四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF． 因为PA＝AD，G是PD的中点， 所以AG⊥PD，所以EF⊥PD， 易知CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD， 所以CD⊥AG，所以EF⊥CD．

因为PD∩CD＝D，所以EF⊥平面PCD．

（1）线线垂直和线面垂直的相互转化

点F”，改为求证：EF⊥平

（2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义． ②线面垂直的判定定理．

③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面． [提醒]要证明两条直线垂直（无论它们是异面还是共面），通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．

【课堂检测】

1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是（） A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交 C．a⊥b

D．a与b不一定垂直

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解析：选C．过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c．因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c．因为b∥c，所以a⊥b．当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（）

A．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1

B．平面A1DB1 D．平面A1DB

解析：选B．因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1． 3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线（） A．相交且垂直 C．相交不垂直

B．不相交也不垂直 D．不相交但垂直

则它们共形矛盾，所＝AD＝故AC⊥

解析：选D．如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为ABDC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，BD．

4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．

解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°．

答案：60°

【第二课时】 【教学目标】

1．了解直线和平面所成的角的含义，并知道其求法

2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题

【教学重难点】

1．直线与平面所成的角 2．直线与平面垂直的性质

125 / 206

【核心素养】

1．直观想象、逻辑推理、数算 2．直观想象、逻辑推理

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．直线与平面所成的角的定义是什么？ 2．直线与平面所成的角的范围是什么？ 3．直线与平面垂直的性质定理的内容是什么？ 4．如何求直线到平面的距离？ 5．如何求两个平行平面间的距离？ 二、基础知识

1．直线与平面所成的角

（1）定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂

不与这个平A

叫做斜

足O和斜足A

的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

（2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°．

（3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°． 名师点拨

把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．

2．直线与平面垂直的性质定理 文字语言 符号语言 图形语言 作用

垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥α⇒a∥b b⊥α ①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线 126 / 206

名师点拨

（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．

（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．

3．线面距与面面距

（1）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

（2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 三、合作探究

直线与平面所成的角

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，求直线BE与平面ABB1A1所成的

角的正弦值．

【解】取AA1的中点M，连接EM，BM．

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．

又在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1内的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，

22＋22＋12＝3．

EM2

于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，

BE3则EM＝AD＝2，BE＝

2

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为3． [规律方法]

127 / 206

线面垂直的性质定理的应用

如图，已知正方体A1C． （1）求证：A1C⊥B1D1；

（2）M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，求证：MN∥A1C．

【证明】（1）如图，连接A1C1．

因为CC1⊥平面A1B1C1D1， B1D1⊂平面A1B1C1D1， 所以CC1⊥B1D1．

因为四边形A1B1C1D1是正方形， 所以A1C1⊥B1D1． 又因为CC1∩A1C1＝C1， 所以B1D1⊥平面A1C1C．

又因为A1C⊂平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C． （2）如图，连接B1A，AD1． 因为B1C1∥═AD， 所以四边形ADC1B1为平行四边形， 所以C1D∥AB1，

因为MN⊥C1D，所以MN⊥AB1． 又因为MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1， 所以MN⊥平面AB1D1．

128 / 206

MN⊥C1D，

由（1）知A1C⊥B1D1． 同理可得A1C⊥AB1． 又因为AB1∩B1D1＝B1， 所以A1C⊥平面AB1D1． 所以A1C∥MN． [规律方法]

（1）若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．

（2）直线与平面垂直的其他性质

①如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直； ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； ③若l⊥α于A，AP⊥l，则AP⊂α； ④垂直于同一条直线的两个平面平行；

⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．

求点到平面的距离

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA

ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；

3

（2）设AP＝1，AD＝3，三棱锥P­ABD的体积V＝4，面PBC的距离．

【解】（1）证明：如图，设BD与AC的交点为O，因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点． 又点E为PD的中点，所以EO∥PB．

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．

13

（2）V＝6AP·AB·AD＝6AB．

33

由V＝4，可得AB＝2． 作AH⊥PB于点H．

由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC，即AH的长就是点A到平面

129 / 206

⊥平面

求A到平

连接EO．

PBC的距离．

13AP·AB313

因为PB＝AP2＋AB2＝2，所以AH＝PB＝13，

313

所以点A到平面PBC的距离为13． [规律方法]

从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等换法转换求解．

【课堂检测】

1．若斜线段AB是它在平面α影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为（） A．60° C．30°

B．45° D．90°

所示，∠1

＝2，所以

解析：选A．斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图

OB

ABO即是斜线段与平面所成的角．又AB＝2BO，所以cos∠ABO＝AB∠ABO＝60°．

2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中不正确的是（） A．PB⊥BC C．PD⊥BD

B．PD⊥CD D．PA⊥BD

解析：选C．PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确；

PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BC

⇒

ABCD为矩形⇒AB⊥BC

BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB．

故A正确；同理B正确；C不正确．

3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，直线AB和B1C1都垂直的直线有（）

A．1条 C．3条

B．2条 D．无数条

则过M且与

解析：选A．显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB．又AB∥C1D1，则l⊥C1D1．

又B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1．

同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1．又l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1

130 / 206

一条满足条件．

4．如图，已知AD⊥AB，AD⊥AC，AE⊥BC交BC于点E，点，AF＝AG，EF＝EG．

求证：BC∥FG． 证明：连接DE． 因为AD⊥AB，AD⊥AC， 所以AD⊥平面ABC． 又BC⊂平面ABC，

所以AD⊥BC．又AE⊥BC， 所以BC⊥平面ADE．

因为AF＝AG，D为FG的中点， 所以AD⊥FG．

同理ED⊥FG．又AD∩ED＝D， 所以FG⊥平面ADE． 所以BC∥FG．

D是FG的中

【第三课时】 【学习目标】

1．理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小 2．理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理

3．理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题

【学习重难点】

1．二面角

2．平面与平面垂直的判定定理 3．平面与平面垂直的性质定理

【核心素养】

1．直观想象、数算 2．直观想象、数算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

131 / 206

1．二面角的定义是什么？ 2．如何表示二面角？

3．二面角的平面角的定义是什么？ 4．二面角的范围是什么？ 5．面面垂直是怎样定义的？

6．面面垂直的判定定理的内容是什么？ 7．面面垂直的性质定理的内容是什么？ 二、基础知识

1．二面角

（1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．

（2）图形和记法 图形：

记作：二面角α­AB­β或二面角α­l­β或二面角P­AB­Q或二面角P­l­Q． 2．二面角的平面角

（1）定义：在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

（2）图形、符号及范围 图形：

符号：

α∩β＝l，O∈l



OA⊂α，OB⊂β⇒∠AOB是二面角的平面角． OA⊥l，OB⊥l

范围：0°≤∠AOB≤180°．

（3）规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

名师点拨

（1）二面角的大小与垂足O在l上的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的

132 / 206

大小是相等的．

（2）构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．这三个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直．

3．平面与平面垂直

（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．

（2）判定定理 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 名师点拨

定理的关键词是“过另一个平面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个平面的垂线．

4．平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥β⇒α⊥β l⊂α符号语言 α⊥β α∩β＝l a⊂α a⊥l⇒a⊥β  图形语言 作用 名师点拨

①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线 对面面垂直的性质定理的理解

（1）定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． （2）已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直． 三、合作探究

133 / 206

二面角的概念及其大小的计算

（1）在正方体ABCD­A1B1C1D1中，截面A1BD与底面

锐二面角A1­BD­A的正切值为（）

3A．2

C．2

2B．2 D．3

ABCD所成

（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（）

A．相等 C．相等或互补

B．互补 D．不确定

【解析】（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD的中点，因为A1D＝A1B，所以在△A1BD中，A1O⊥BD．

又因为在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA为二面角A1­BD­A的平面角．

21

设AA1＝1，则AO＝2．所以tan∠A1OA＝＝2．

22（2）反例：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1的中点，二面角D­AA1­E与二面角B1­AB­C的两个半平面就是应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补．

【答案】（1）C（2）D

（1）求二面角大小的步骤

CD，分别对

简称为“一作二证三求”． （2）作出二面角的平面角的方法

方法一：（定义法）在二面角的棱上找一个特殊点，在两个

134 / 206

半平面内分

别作垂直于棱的射线．

如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．

方法二：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的补角．

如图所示，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．

方法三：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．

如图所示，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．

[提醒]二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常需要选择特殊点作平面角的顶点．

平面与平面垂直的判定

角度一利用定义证明平面与平面垂直

如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝

a．求证：平面ABD⊥平面BCD．

【证明】因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形， 所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD在△ABD中，AB＝a，

12BE＝2BD＝2a， 所以AE＝

2

AB2－BE2＝2a．

⊥CE． CD＝AC＝

可根据角的两的垂线，过垂平面角或其

2

同理CE＝2a，在△AEC中，

2

AE＝CE＝2a，AC＝a． 由于AC2＝AE2＋CE2，

所以AE⊥CE，∠AEC是二面角A­BD­C的平面角，又因为∠AEC＝90°， 所以二面角A­BD­C为直二面角， 所以平面ABD⊥平面BCD．

角度二利用判定定理证明平面与平面垂直

如图，在四棱锥P­ABCD中，若PA⊥平面ABCD且四

是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD．

135 / 206

边形ABCD

【证明】因为PA⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD， 所以BD⊥PA．

因为四边形ABCD是菱形， 所以BD⊥AC． 又PA∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC． 又因为BD⊂平面PBD， 所以平面PAC⊥平面PBD． [规律方法]

证明平面与平面垂直的两种常用方法

（1）利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是： ①找出两相交平面的平面角； ②证明这个平面角是直角；

③根据定义，这两个相交平面互相垂直．

（2）利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：

面面垂直的性质定理的应用

已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，

⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．

【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，

平面PAC

因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC， 所以AD⊥平面PBC，

136 / 206

又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC． 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC， 因为AD∩PA＝A， 所以BC⊥平面PAC，

又AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC． [反思归纳]

利用面面垂直的性质定理应注意的问题

若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直．应用面面垂直的性质定理，应注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．

垂直关系的综合问题

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，

＝2BD，M是EA的中点，求证：

（1）DE＝DA；

（2）平面BDM⊥平面ECA； （3）平面DEA⊥平面ECA．

【证明】（1）如图，取EC的中点F，连接DF． 因为EC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以EC⊥BC． 同理可得BD⊥AB，

易知DF∥BC，所以DF⊥EC． 在Rt△EFD和Rt△DBA中，

1

因为EF＝EC，EC＝2BD，

2所以EF＝BD． 又FD＝BC＝AB，

所以Rt△EFD≌Rt△DBA，故DE＝DA． （2）取CA的中点N，连接MN，BN，

1

则MN∥EC，且MN＝2EC．

137 / 206

且CE＝CA

1

因为EC∥BD，BD＝2EC， 所以MN綊BD，

所以N点在平面BDM内． 因为EC⊥平面ABC， 所以EC⊥BN．

又CA⊥BN，EC∩CA＝C，所以BN⊥平面ECA． 因为BN在平面MNBD内， 所以平面MNBD⊥平面ECA， 即平面BDM⊥平面ECA．

（3）由（2）易知DM∥BN，BN⊥平面ECA， 所以DM⊥平面ECA． 又DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA． [规律方法]

垂直关系的转化

在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

【课堂检测】

1．给出以下四个命题，其中真命题的个数是（）

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直． A．4 C．2

B．3 D．1

解析：选B．①②④正确．①线面平行的性质定理；②线面垂直的判定定理；③这两条直线可能相交或平行或异面；④面面垂直的判定定理．

138 / 206

2．在下列关于直线m，l和平面α，β的说法中， 正确的是（） A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α C．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α D．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α

解析：选B．A项中l与α可以平行或斜交，A项错． B项中，l⊥β且α∥β，所以l⊥α正确． C项中，l可在α内，C项错． D项中，l可在α内，D项错．

3．在三棱锥P­ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P­AB­C的大小为Ｗ．

解析：取AB的中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥所以∠PMC就是二面角P­AB­C的平面角．在△PAB中，PM22－（3）2＝1，同理MC＝PC＝1，则△PMC是等边三角形，PMC＝60°．

答案：60°

4．已知平面α，β和直线m，l，则下列说法： ①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β； ②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β； ③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；

④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β． 其中正确的说法序号为Ｗ．

解析：对于说法①缺少了条件：l⊂α；说法②缺少了条件：α⊥β；说法③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；说法④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．

答案：④

5．如图，四边形ABCD，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD．求证：AB⊥DE．

139 / 206

AB， ＝所

以

∠

证明：在△ABD中，因为AB＝2，AD＝4，BD＝23， 所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD． 又因为平面EBD⊥平面ABD，

平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD， 所以AB⊥平面EBD．

因为DE⊂平面EBD，所以AB⊥DE．

空间直线、平面的平行

【第一课时】

直线与直线平行

【教学目标】

1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题 2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题

【教学重难点】

1．基本事实4 2．等角定理

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．基本事实4的内容是什么？ 2．定理的内容是什么？ 二、基础知识

1．基本事实4

（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号

a∥b

⇒a∥c. 表示：

b∥c

140 / 206

2．等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 名师点拨

定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补． 三、新知探究

基本事实4的应用

例1：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．

【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1. 因为E是AA1的中点，所以EQ∥═A1D1. 因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥═B1C1， 所以EQ∥═B1C1，

所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E∥═C1Q. 又Q，F分别是D1D，C1C的中点， 所以QD∥═C1F， 所以四边形DQC1F为平行四边形， 所以C1Q∥═FD. 又B1E∥═C1Q，所以B1E∥═FD， 故四边形B1EDF为平行四边形．

[规律方法]

证明空间中两条直线平行的方法

（1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明．

141 / 206

（2）利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.

定理的应用

例2：如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，

OA1OB1OC1

别是OA，OB，OC上的点，且OA＝OB＝OC.

求证：△A1B1C1∽△ABC.

OA1OB1

【证明】在△OAB中，因为OA＝OB，所以A1B1∥AB. 同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.

所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC. 所以△A1B1C1∽△ABC. [规律方法]

运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．

【课堂检测】

1.如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD的中点，N中点，求证：CM∥A1N.

1

证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝2A1D1.的中点，B1C1∥═A1D1，

所以C1N∥═PA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1N∥C1P. 又由PM∥═DD1∥═CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.

2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.

又N为B1C1是B1C1的B1，C1分

证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a， 同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′. 又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，

142 / 206

所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.

【第二课时】

直线与平面平行

【教学目标】

1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系

2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题

【教学重难点】

1．直线与平面平行的判定 2．直线与平面平行的性质

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．直线与平面平行的判定定理是什么？ 2．直线与平面平行的性质定理是什么？ 二、基础知识

1．直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 符号语言 图形语言 名师点拨

用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： （1）直线a在平面α外，即a⊄α. （2）直线b在平面α内，即b⊂α. （3）两直线a，b平行，即a∥b. 2．直线与平面平行的性质定理

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文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 符号语言 图形语言 名师点拨

（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个： ①直线a与平面α平行，即a∥α； ②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b； ③直线a在平面β内，即a⊂β. 以上三个条件缺一不可． （2）定理的作用： ①线面平行⇒线线平行； ②画一条直线与已知直线平行．

（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想． 三、合作探究

直线与平面平行的判定

例1：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知

又AB∥═A1B1∥═D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， 所以EF∥平面AD1G. [规律方法]

应用判定定理证明线面平行的步骤

EF∥BC1. BC，CC1，

144 / 206

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④成比例线段法．

[提醒]线面平行判定定理应用的误区

（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”． （2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．

线面平行性质定理的应用

例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.

【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以点O是AC的中点． 又因为点M是PC的中点， 所以AP∥OM.

又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以AP∥平面BDM.

因为平面PAHG∩平面BDM＝GH， AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH. [规律方法]

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【课堂检测】

1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（ ） A．b与α内的一条直线不相交 B．b与α内的两条直线不相交 C．b与α内的无数条直线不相交 D．b与α内的所有直线不相交

解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α. 2．给出下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行； ②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行； ③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行． 其中正确命题的个数为（ ） A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．

3．三棱台ABC­A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（ ） A．相交 C．在平面内

B．平行 D．不确定

解析：选B.在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.

4．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．

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又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.

因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

【第三课时】

平面与平面平行

【教学目标】

1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系

2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题

【教学重难点】

1．平面与平面平行的判定 2．平面与平面平行的性质 一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．面面平行的判定定理是什么？ 2．面面平行的性质定理是什么？ 二、基础知识

1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 符号语言 图形语言 名师点拨

（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少

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的．

（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 符号语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 名师点拨

（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可．

（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

（3）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面． 三、合作探究

平面与平面平行的判定

例1：如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1. （1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥FBD.

【证明】（1）因为B1B∥═DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C， B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.

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平面

同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D，

所以平面A1BD∥平面B1D1C. （2）由BD∥B1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G， 连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G，

所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG.

易得GF∥AD，又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF， 所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， 所以平面EB1D1∥平面FBD.

1

[变条件]把本例（2）的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝4A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?

1

解：当F满足CF＝4CC1时，两平面平行，下面给出

在D1D上取点M，

1

且DM＝4DD1， 连接AM，FM， 则AE∥═D1M，

从而四边形AMD1E是平行四边形． 所以D1E∥AM. 同理，FM∥═CD，

又因为AB∥═CD，所以FM∥═AB，

从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.

149 / 206

证明：

即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD， D1E⊄平面FBD，

所以D1E∥平面FBD. 又B1B∥═D1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD， 又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD， 从而B1D1∥平面FBD， 又D1E∩B1D1＝D1，

所以平面EB1D1∥平面FBD. [规律方法]

证明面面平行的方法

（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．

（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

面面平行性质定理的应用

例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.

【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的接MP，PN，BE，ED，BD，AC.

因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.

则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，DE.

又P，N分别为AE，CD的中点，

所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α. 又M，P分别为AB，AE的中点， 所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α. 所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，

150 / 206

中点P，连

所以AC∥

所以平面MPN∥α.

又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.

1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，AMCN

且MB＝ND，其他不变．

证明：MN∥平面α.

证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图． 因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，

CNAP

连接MP，BE，于是ND＝PE.

AMCNAMAP

又因为MB＝ND，所以MB＝PE，所以MP∥BE.

而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α. 又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α. 又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.

2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，

ABDE

F，求证：＝.

BCEF

证明：连接AF交平面β于点M.

连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β， 所以ME∥AD.

DEAM所以EF＝MF. 同理，BM∥CF，

ABAM所以BC＝MF， ABDE即BC＝EF. [规律方法]

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

AC，所以AC∥ED，

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[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．

平行关系的综合问题 例3：在正方体ABCD

A1B1C1D1中，如图．

（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；

（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD证明：A1E＝EF＝FC.

【解】（1）证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥═B1C1， 所以四边形AB1C1D是平行四边形， 所以AB1∥C1D.

又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD. 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD.

又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD. （2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1于点E.

又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所是A1C与平面AB1D1的交点；

连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：

因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，

平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中点， 所以E是A1F的中点，即A1E＝EF； 同理可证OF∥AE， 所以F是CE的中点，

即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. [规律方法]

解决平行关系的综合问题的方法

152 / 206

的交点E，F，并

与A1C交

以点E就

（1）在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

【课堂检测】

1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ） A．平面α内有一条直线与平面β平行 B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行 D．平面α与平面β不相交

解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.

2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S等于（ ）

A．2∶25 C．2∶5

B．4∶25 D．4∶5

面ABC，α分

△A′B′C′

∶S△ABC

解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB， 所以AB∥A′B′， 同理B′C′∥BC，

易得△ABC∽△A′B′C′，

A′B′2PA′24

S△A′B′C′∶S△ABC＝AB＝PA＝25.



3．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．

解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

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因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1， 所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN， 且MN∥CD1， 所以N为AB的中点，

所以该截面为等腰梯形MNCD1， 因为正方体的棱长为2，

易知，MN＝2，CD1＝22，MD1＝5，

2232

所以等腰梯形MNCD1的高MH＝（5）－＝2.

2

1329

所以截面面积为2（2＋22）×2＝2.

9答案：2

2

4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CDAC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形行四边形．

证明：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC， 平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH， 因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD， 平面ABD∩平面α＝FG， 所以AB∥FG，所以EH∥FG， 同理由CD∥平面α可证EF∥GH， 所以四边形EFGH是平行四边形．

∥平面α，EFGH是平

立体图形的直观图

教学重难点 平面图形的直观图 简单几何体的直观图 直观图的还原与计

教学目标 会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图 会根据斜二测画法规则进行相关运 154 / 206

核心素养 直观想象 直观想象 直观想象、数算

算 算 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．画简单几何体的直观图的步骤是什么？

2．水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法有哪些规则？ 3．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤是什么？ 二、新知探究

画水平放置的平面图形的直观图

例1：画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．

【解】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．

（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′1

＝2OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.

（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.

[归纳反思]

画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意事项

（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上或边与坐标轴平行，以便于画图．

（2）画图时要注意原图和直观图中线段的长度的关系是否发生变化．

画简单几何体的直观图

例2：已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．

【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

155 / 206

（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．

（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．

（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图（如图②）．

[规律方法]

画空间图形的直观图的原则

（1）用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段．

（2）平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来1的. 2

直观图的还原与计算

例3：如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥

2

C1D1，A1B1＝3C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．

【解】如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.

在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，便得到了原图形（如图）．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.

2＋3

所以面积为S＝2×2＝5.

156 / 206

[规律方法]

（1）直观图的还原技巧

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

（2）直观图与原图面积之间的关系

2

若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝4S或S＝22S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．

【课堂总结】

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使xOy＝45（或135°），它们确定的平面表示水平面．

（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

2．空间几何体直观图的画法

（1）与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴． （2）直观图中平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面．

（3）已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． （4）成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. [名师点拨]

（1）画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

（2）用斜二测画法画直观图要掌握水平长不变，垂线长减半，直角画45°（或135°）．

【课堂检测】

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（ ） A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行

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D．原来共点的仍共点 答案：B

2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）

解析：选C.由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C.

3．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，则梯形OABC的面积为（ ）

A．2S B.2S C．22S D.3S

解析：选C.法一：设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h，C′B′＝CB，O′A′＝OA.过C′作C′D′⊥O′A′于点D′（图略），

2

则C′D′＝2h.由题意知 12C′D′（C′B′＋O′A′）＝S，即24h（C′B′＋O′A′）＝S.

又原直角梯形面积为

14S

S′＝2·2h（CB＋OA）＝h（C′B′＋O′A′）＝＝22S.

2所以梯形OABC的面积为22S.故选C.

2

法二：由S直观图＝S原图，

44S

可得S梯形OABC＝＝22S，故选C.

2

4．若把一个高为10cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成（ ） A．平行于z′轴且大小为10cm B．平行于z′轴且大小为5cm C．与z′轴成45°且大小为10cm D．与z′轴成45°且大小为5cm

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解析：选A.平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．

5．画一个正四棱锥（底面为正方形，侧面为全等的等腰三角形）的直观图（尺寸自定）． 解：步骤：

（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. （2）画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD. （3）画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于已知正四棱锥的高．

（4）画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去辅助线（坐标轴），得到正四棱锥S­ABCD的直观图，如图②所示．

随机抽样

【教学目标】

1．理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念 2．理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法 3．理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题

【教学重难点】

1．抽样调查 2．简单随机抽样 3．分层随机抽样

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2．什么叫简单随机抽样？

3．最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

159 / 206

4．抽签法是如何操作的？ 5．随机数法是如何操作的？ 6．什么叫分层随机抽样？ 7．分层随机抽样适用于什么情况？

8．分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9．获取数据的途径有哪些？ 二、基础知识

1．全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ．

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ．

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ．

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ． （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ．

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据． 2．简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样． （4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本． （5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法． 名师点拨

160 / 206

（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的．

（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性． 3．总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数

－Y1＋Y2＋…＋YN①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y＝N1N＝Ni∑Yi为总体均值，又称总体平均数． ＝1②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其

－1k中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y＝Ni∑fiYi＝1Ｗ．

（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称－y＝y1＋y2＋…＋yn1n＝ni∑yi为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，我们常用样本平均＝1n－－

数y去估计总体平均数Y．

4．分层随机抽样 （1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ．

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

5．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均

－X1＋X2＋…＋XM1Mx1＋x2＋…＋xm1m－

数和样本平均数分别为X＝＝Mi∑Xi，x＝＝mi∑xi． ＝1＝1Mm－Y1＋Y2＋…＋YN1N－

②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y＝＝∑Y，y＝iNNi＝1 161 / 206

y1＋y2＋…＋yn1n＝ni∑yi． ＝1n∑X＋∑Y∑x＋∑yi＝1ii＝1i－i＝1ii＝1i－

③总体平均数和样本平均数分别为W＝，w＝Ｗ．

M＋Nm＋n－－

（2）由于用第1层的样本平均数x可以估计第1层的总体平均数X，用第2层的样本平

－－－M×x＋N×yM－N－均数－y可以估计第2层的总体平均数Y．因此我们可以用＝x＋y估

M＋NM＋NM＋N计总体平均数－W． mnm＋nM－N－m－（3）在比例分配的分层随机抽样中，M＝N＝，可得x＋y＝x＋

M＋NM＋NM＋Nm＋nn－－

y＝w．因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数－w估计总体m＋n平均数－W．

6．获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据 三、合作探究

总体、样本等概念辨析题

例1：为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（ ）

A．1 000名运动员是总体 B．每个运动员是个体 C．抽取的100名运动员是样本 D．样本量是100

【解析】根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100．故答案为D．

【答案】D [规律方法]

此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位．

简单随机抽样的概念

162 / 206

M

N

mn

例2：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ （1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；

（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作． 【解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．

[规律方法]

要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．

抽签法及随机数法的应用

例3：某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．

【解】（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50． 第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签． 第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀． 第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码． 对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生． （2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．

第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．

第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数． 对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生． [规律方法]

（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：

①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号．（例如该题中50名同学，

163 / 206

可以直接利用学号）

②号签要求大小、形状完全相同． ③号签要搅拌均匀．

④抽取号签时要逐一、不放回抽取．

（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数．

分层随机抽样中的有关计算

例4：（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ．

（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 泥塑 剪纸 高一年级 高二年级 高三年级 a x b y c z 3

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的5，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

【解析】（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90．则样本

32

中的老年职工人数为90×160＝18．

3

（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的5，

2

故“剪纸”社团的人数占总人数的5，

2

所以“剪纸”社团的人数为800×5＝320；

y33

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝10，

x＋y＋z2＋3＋53

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×10＝96．

501

由题意知，抽样比为800＝16，

1 / 206

1

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×16＝6． 3

法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的5， 2

故“剪纸”社团的人数占总人数的5，

2

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×5＝20． y33

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

x＋y＋z2＋3＋510

3

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×10＝6． 【答案】（1）18（2）6 [规律方法]

分层随机抽样中有关计算的方法

该层样本量n该层抽取的个体数

（1）抽样比＝＝．

总样本量N该层的个体数

（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．

样本平均数的求法

例5：（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．

6＋3×7＋4×8＋9＋10

＝7．8．

10

10×5＋8×650＋4849

（2）合在一起后的样本均值为＝18＝9．

10＋8【解】（1）甲在本次游戏中的平均成绩为[规律方法]

在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均

mx＋ny

值为y，则样本的平均值为．

m＋n

【课堂检测】

1．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（ ）

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A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些 B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些 D．每个个体被抽中的可能性无法确定

解析：选B．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关． 2．若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）

A．120名学生 B．1 200名学生 C．120名学生的成绩 D．1 200名学生的成绩

解析：选C．本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本．

3．（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（ ）

A．20 C．30

B．25

D．35

350

解析：选D．高一年级抽取的人数为1 000×100＝35．故选D．

4．在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165．试估计该中学所有学生的平均身高是多少？

20×170＋15×1655 87566解：＝35＝1677．即该中学所有学生的平均身高为1677．

20＋15第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．

统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析

【教学重难点】 数据分析。 【教学目标】 针对实际统计案例进行调查分析。 166 / 206

【核心素养】 数学应用。

【教学过程】

一、背景导入

近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患.目前，国际上常用身体质量指数（Body Mass Index，缩写BMT）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是

中国成人的BMI数值标准为：BMI<18.5为偏瘦；18.5≤BMI<23.9为正常；24≤BMI<27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖。 二、数据调查

为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了90名男员工、50名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值如下：

三、合作探究

根据上面的数据，写一份该公司员工肥胖情况的统计分析报告.要求： 1．选择合适的图表展示数据；

2．比较男、女员工在肥胖状况上的差异； 3．分析公司员工胖瘦程度的整体情况； 4．提出控制体重的建议.

167 / 206

四、教师指导

统计分析报告的主要组成部分

1．标题 2．前言

简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况。 3．主体

展示数据分析的全过程：首先要明确所关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值、方差等，用于比较男、女员工在肥胖状况上的差异；通过样本估计总体的统计规律，分析公司员工胖瘦程度的整体情况.

4．结尾

对主体部分的内容进行概括，结合控制体重的一般方法（可以查阅有关文献），提出控制公司员工体重的建议.

用样本估计总体

【第一课时】 【教学目标】

1．会画一组数据的频率分布表、频率分布直方图.

2．会用频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等对总体进行估计. 3．掌握求n个数据的第p百分位数的方法.

【教学重难点】

1．频率分布表、频率分布直方图. 2．用样本估计总体. 3．总体百分位数的估计.

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？

168 / 206

2．频率分布直方图有哪些特征？ 3．如何求n个数据的第p百分位数？ 二、基础知识

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

2．百分位数

（1）定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

（2）计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤： 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 三、合作探究

1．频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图的绘制 角度一：频率分布表、频率分布直方图的绘制

为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下： 57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，，46，54，48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图． 【解】以4为组距，列表如下：

169 / 206

分组 [41.5，45.5) [45.5，49.5) [49.5，53.5) [53.5，57.5) [57.5，61.5) [61.5，65.5) [65.5，69.5) 频率累计 频数 2 7 8 16 5 4 2 频率 0.045 5 0.159 1 0.181 8 0.363 6 0.113 6 0.090 9 0.045 5 频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系： 极差极差①若为整数，则＝组数；

组距组距

极差极差②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．

组距组距

（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．

角度二：频率分布直方图的应用

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12．

170 / 206

（1）第二小组的频率是多少？样本量是多少？

（2）若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ （3）样本中不达标的学生人数是多少？ （4）第三组的频数是多少？

【解】（1）频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小

4

组的频率为＝0.08．

2＋4＋17＋15＋9＋3

又因为第二小组的频率＝

第二小组的频数

，

样本量

第二小组的频数12

所以样本容量＝＝＝150.

第二小组的频率0.08（2）由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为

17＋15＋9＋3

×100%＝88%.

2＋4＋17＋15＋9＋3

（3）由（1）（2）知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12． 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)．

17

（4）第三小组的频率为＝0.34．

2＋4＋17＋15＋9＋3又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51．

频率分布直方图的应用中的计算问题 频率

（1）小长方形的面积＝组距×＝频率；

组距（2）各小长方形的面积之和等于1；

频数频数（3）＝频率，此关系式的变形为＝样本量，样本量×频率＝频数．

样本量频率2．条形统计图

171 / 206

为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题： （1）求抽取的学生数；

（2）若该校有3 000名学生，估计喜欢收听易中天《品三国》的学生人数；

（3）估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比． 【解】（1）从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人； 喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人； 喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人； 喜欢收听易中天《品三国》的男生有人，女生有42人； 喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．

所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋＋42＋6＋45＝300(人)．

（2）喜欢收听易中天《品三国》的男生有人，女生有42人，共有106人，占所抽取

106

总人数的比例为300，

106

由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听易中天《品三国》的学生有300×3 000＝1 060(人)．

45

（3）该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为300×100%＝15%.

（1）绘制条形统计图时，第一步确定坐标系中横轴和纵轴上坐标的意义，第二步确定横轴上各部分的间距及位置，第三步根据统计结果绘制条形图．

实际问题中，我们需根据需要进行分组，横轴上的分组越细，对数据的刻画(描述)就越精

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确．

（2）在条形统计图中，各个矩形图的宽度没有严格要求，但高度必须以数据为准，它直观反映了各部分在总体中所占比重的大小．

3．折线统计图

小明同学因发热而住院，下图是根据护士为他测量的体温所绘制的体温折线图．

根据图中的信息，回答以下问题：

（1）护士每隔几小时给小明测量一次体温？

（2）近三天来，小明的最高体温、最低体温分别是多少？ （3）从体温看，小明的病情是在恶化还是在好转？

（4）如果连续36小时体温不超过37.2摄氏度的话，可认为基本康复，那么小明最快什么出院？

【解】（1）根据横轴表示的意义，可知护士每隔6小时给小明测量一次体温．

（2）从折线统计图中的最高点和最低点对应的纵轴意义，可知最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度．

（3）从图中可知小明的体温已经下降，并趋于稳定，因此病情在好转．

（4）9月8日18时小明的体温是37摄氏度．其后的体温未超过37.2摄氏度，自9月8日18时起计算，连续36小时后对应的时间为9月10日凌晨6时．因此小明最快可以在9月10凌晨6时出院．

（1）绘制折线统计图时，第一步，确定直角坐标系中横、纵坐标表示的意义；第二步，确定一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点；第三步，用直线段顺次连接即可．

（2）在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度．

4．扇形统计图

下图是A，B两所学校艺术节期间收到的各类艺术作品的情况的统计图： （1）从图中能否看出哪所学校收到的水粉画作品数量多？为什么？

173 / 206

（2）已知A学校收到的剪纸作品比B学校的多20件，收到的书法作品比B学校的少100件，请问这两所学校收到艺术作品的总数分别是多少件？

【解】（1）不能．因为两所学校收到艺术作品的总数不知道．

（2）设A学校收到艺术作品的总数为x件，B学校收到艺术作品的总数为y件，则10%x－5%y＝20，x＝500，解得即A学校收到艺术作品的总数为500件，B学校收到艺术50%y－40%x＝100，y＝600，作品的总数为600件．

（1）绘制扇形统计图时，第一步计算各部分所占百分比以及对应圆心角的度数；第二步在圆中按照上述圆心角画出各个扇形并恰当标注．

（2）扇形统计图表示总体的各部分之间的百分比关系，但不同总量下的扇形统计图，其不同的百分比不可以作为比较的依据．

5．百分位数的计算

现有甲、乙两组数据如下表所示． 序号 甲组 乙组 1 1 0 2 2 0 3 2 0 4 2 0 5 2 1 6 3 1 7 3 2 8 3 3 9 5 4 10 5 5 11 6 6 12 6 6 13 8 7 14 8 7 15 9 10 16 10 14 17 10 14 18 12 14 19 13 14 20 13 15 试求甲、乙两组数的25%分位数与75%分位数．

【解】因为数据个数为20，而且20×25%＝5，20×75%＝15．

x5＋x62＋3

因此，甲组数的25%分位数为2＝2＝2.5；

x15＋x169＋10

甲组数的75%分位数为2＝2＝9.5．

x5＋x61＋1x15＋x1610＋14

乙组数的25%分位数为2＝2＝1，乙组的75%分位数为2＝2＝12．

求百分位数时，一定要将数据按照从小到大的顺序排列．

【课堂检测】

174 / 206

1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )

解析：选D．用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是条形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．

2．观察新生儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为( )

A．0.1 C．0.3

B．0.2 D．0.4

解析：选C．由题图可得，新生儿体重在[2 700，3 000)g的频率为0.001×300＝0.3，故选C．

3．观察下图所示的统计图，下列结论正确的是( )

A．甲校女生比乙校女生多 B．乙校男生比甲校男生少 C．乙校女生比甲校男生少 D．甲、乙两校女生人数无法比较

解析：选D．图中数据只是百分比，甲、乙两个学校的学生总数不知道，因此男生与女生的具体人数也无法得知．

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【第二课时】 【教学目标】

1．理解样本数据标众数、中位数、平均数的意义和作用，学会计算数据的众数、中位数、平均数.

2．理解样本数据方差、标准差的意义和作用，学会计算数据的方差、标准差.

【教学重难点】

会用样本的基本数字特征来估计总体的基本数字特征．

【教学过程】

一、基础知识

1．众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数．

（2）中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中

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间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．

1

（3）平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么x＝n(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．

思考：平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ 答案：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大．

2．方差、标准差

标准差、方差的概念及计算公式

（1）标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

1

s＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2].

（2）标准差的平方s2叫做方差．

1

s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2](xn是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数)．

（3）标准差(或方差)越小，数据越稳定在平均数附近．s＝0时，每一组样本数据均为x. 二、合作探究

1.众数、中位数、平均数的计算

（1）某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )

A．85,85,85 C．87,85,85

B．87,85,86 D．87,85,90

（2）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( ) A．2,5 C．5,8

答案（1）C （2）C

177 / 206

B．5,5 D．8,8

100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75

解析（1）平均数为＝87，众数为85，中位数为85．

10（2）结合茎叶图上的原始数据，根据中位数和平均数的概念列出方程进行求解． 由于甲组数据的中位数为15＝10＋x，所以x＝5．又乙组数据的平均数为9＋15＋10＋y＋18＋24

＝16.8，所以y＝8，所以x，y的值分别为5,8．

5

【教师小结】平均数、众数、中位数的计算方法：

平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．

2．标准差、方差的计算及应用

甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5．

（1）分别计算以上两组数据的平均数； （2）分别求出两组数据的方差；

（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？

解（1）x甲＝

1

×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)， 10

1

x乙＝10×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．

12

（2）由方差公式s2＝n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，得s2甲＝3，s乙＝1.2． （3）x甲＝x乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．

2又s2甲＞s乙说明甲战士射击情况波动比乙大．

因此，乙战士比甲战士射击情况稳定，从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛． 【教师小结】

（1）方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．

（2）样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．

（3）当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数据分布情况，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的．

178 / 206

三、课堂总结

1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．

3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性，用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案.

【课堂检测】

1．某市2017年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图：

则这组数据的中位数是( ) A．19 C．21.5 答案 B

解析 由茎叶图知，平均气温在20℃以下的有5个月，在20℃以上的也有5个月，恰好是20℃的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选B．

2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( ) A．中位数可以准确地反映出总体的情况 B．平均数可以准确地反映出总体的情况 C．众数可以准确地反映出总体的情况

D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况 答案 D

3．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88．若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得的数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )

A．众数 C．中位数 答案 D

4．某校开展“爱我母校，爱我家乡”摄影比赛，七位评委为甲，乙两名选手的作品打出的分数的茎叶图如图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，

179 / 206

B．20 D．23

B．平均数 D．标准差

甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有( )

A．a1>a2 B．a2>a1 C．a1＝a2

D．a1，a2的大小与m的值有关 答案 B

解析 由茎叶图知，

1＋5＋5＋4＋5

a1＝80＋＝84，

5

4＋4＋6＋4＋7

a2＝80＋＝85，故选B．

5

5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．

答案 16

解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8， 可知数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝16．

频率与概率

教学重难点 教学目标 在具体情境中，了解随机事件发频率与概率 生的不确定性和频率的 稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别 概率的意释实例 随机模拟 会用概率的意释生活中的实例 会用随机模拟的方法估计概率 直观想象、数学建模 数学建模 数学抽象、数算 核心素养 【教学过程】

一、问题导入

180 / 206

预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是频率的稳定性？ 2．频率与概率之间有什么关系？ 3．随机模拟的步骤是什么？ 二、基础知识

频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（A）．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）．

名师点拨

频率与概率的区别与联系 名称 区别 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数频率 的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同 概率 三、合作探究

由频率估计随机事件的概率

例1：（1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5） 2 ；[15.5，19.5） 4 ；[19.5，23.5） 9； [23.5，27.5） 18 ；[27.5，31.5） 11 ；[31.5，35.5） 12； [35.5，39.5） 7 ；[39.5，43.5] 3.

根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5，43.5]内的概率约是（ ）

11A.6 B.3 12C.2 D.3 （2）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：

181 / 206

联系 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 （2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率 是一个[0，1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变

分组 [500， 900） 48 [900， 1 100） 121 [1 100， 1 300） 208 [1 300， 1 500） 223 [1 500， 1 700） 193 [1 700， 1 900） 165 [1 900， ＋∞） 42 频数 频率 ①将各组的频率填入表中；

②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．

【解】（1）选B.由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，

221

故所求概率约为66＝3.

（2）①频率依次是0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042. ②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，

600

所以样本中寿命不足1 500小时的频率是1 000＝0.6. 即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6. [规律方法]

随机事件概率的理解及求法

（1）理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率．当次数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率．

nAm

（2）求法：通过公式fn（A）＝n＝n计算出频率，再由频率估算概率．

概率的含义

例2：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么，前9个病人都没有治愈，第10个病人就一定能治愈吗？

【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，有10%的病人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的可能性是10%，前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.

[规律方法]

对概率的正确理解

（1）概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能

182 / 206

性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例．

（2）任何事件的概率都是区间[0，1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性，概率越接近于1，表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近于0，表明事件发生的可能性就越小．

（3）小概率（概率接近于0）事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率（概率接近于1）事件经常发生，但不代表一定发生．

（4）必然事件M的概率为1，即P（M）＝1；不可能事件N的概率为0，即P（N）＝0.

游戏的公平性

例3：某校高二年级（1）（2）班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目．（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？

【解】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：

和 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 6 7 8 9 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的

6161

也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1＝＝，（2）班代表获胜的概率P2＝＝，即122122P1＝P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的．

[变条件]在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜．游戏规则公平吗？为什么？

4182

解：不公平．因为出现奇数的概率为12＝3，而出现偶数的概率为12＝3.

183 / 206

[反思归纳]

游戏公平性的标准及判断方法

（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的．

（2）具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较．

随机模拟法估计概率

例4：池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：

9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 70 2692 8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 35 9635 2379 1805 90 0735 40 6298 8054 9720 5695 1574 8008 3216 70 5080 6772 12 7920 31 0343 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（ ）

32A. B. 452117C.40 D.40 【解析】在40组四位随机数中，0～5的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰

162

有三天下雨的概率的估计值为40＝5.

【答案】B [规律方法]

应用随机数估计概率的步骤

（1）明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． （2）产生随机数．

（3）统计试验次数N及所求事件包含的次数n.

n

（4）计算N便可． 【课堂检测】

1．抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（ ） A．正面向上的概率为0.48

184 / 206

B．反面向上的概率是0.48 C．正面向上的频率为0.48 D．反面向上的频率是0.48

解析：选C.因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48.

2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 频数 [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） 2 3 4 5 4 [60，70] 2 则样本数据落在区间[10，40）上的频率为（ ） A．0.35 C．0.55

B．0.45 D．0.65

9

解析：选B.在区间[10，40）的频数为2＋3＋4＝9，所以频率为20＝0.45.

3．某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是（ ） A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨 B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨 C．明天本地降雨的机会是80% D．以上说法均不正确

解析：选C.选项A，B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.

4．通过模拟试验，产生了20组随机数： 6830301370557430774044227884 2604334609526807970657745725 657659299768607191386754

如果恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，则表示恰有三次击中目标，则四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（ ）

A．25% C．35%

B．30% D．40%

解析：选A.表示三次击中目标分别是3013，2604，5725，6576，6754，共5组数，而随

5

机数总共20组，所以所求的概率近似为20＝25%.

5．玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向如图所示的靶

185 / 206

中．若射中区域所标的数字大于3，则玲玲先走第一步，否则倩倩先走第一步．这个游戏规则________（填“公平”或“不公平”）．

解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域只有3个，所

53

以玲玲先走的概率是8，倩倩先走的概率是8，所以不公平．

答案：不公平

事件的相互性

【教学重难点】 相互事件的概念 【教学目标】 理解相互事件的概念及意义 能记住相互事件概率的乘法公式； 【核心素养】 数学抽象 相互事件同时发生的概念 能综合运用互斥事件的概率加法公式 及事件的乘法公式解题 数算、数学建模 【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．事件的相互性的定义是什么？ 2．相互事件有哪些性质？

3．相互事件与互斥事件有什么区别？ 二、基础知识

1．相互的概念

设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互． 2．相互的性质

186 / 206

－－－－

若事件A与B相互，那么A与B，A与B，A与B也都相互． ■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互． （2）事件A，B相互的充要条件是P(AB)＝P（A）·P（B）． 三、合作探究

1．相互事件的判断

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既

有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的性：

（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩．

【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，

1它有4个基本事件，由等可能性知概率都为4. 这时A＝{(男，女)，(女，男)}， B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB＝{(男，女)，(女，男)}，

131

于是P（A）＝2，P（B）＝4，P(AB)＝2. 由此可知P(AB)≠P（A）P（B）， 所以事件A，B不相互．

（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．

1

由等可能性知这8个基本事件的概率均为8，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．

63413

于是P（A）＝8＝4，P（B）＝8＝2，P(AB)＝8，

3

显然有P(AB)＝8＝P（A）P（B）成立．

从而事件A与B是相互的．

判断两个事件是否相互的两种方法

187 / 206

（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互事件；

（2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否，若上式成立，则事件A，B相互，这是定量判断.

2．相互事件同时发生的概率

王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概

率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率； （2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．

【解】 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件． 则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9， －－－

所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1．

（1）由题意得A，B，C之间互相，所以恰好有两列正点到达的概率为 －－－P1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝

－－－P(A)P（B）P（C）＋P（A）P(B)P（C）＋P（A）P（B）P(C) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398． （2）三列火车至少有一列正点到达的概率为 －－－－－－

P2＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．

1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率． 解：恰有一列火车正点到达的概率为

－－－－－－－－－－－－

P3＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P（A）P(B)P(C)＋P(A)P（B）P(C)＋P(A)P(B)P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．

2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)． 解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）

＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．

188 / 206

与相互事件有关的概率问题的求解策略

明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．

一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），那么： （1）A，B中至少有一个发生为事件A＋B． （2）A，B都发生为事件AB． －－（3）A，B都不发生为事件AB.

－－

（4）A，B恰有一个发生为事件AB＋A B．

－－－－

（5）A，B中至多有一个发生为事件AB＋AB＋A B. 它们之间的概率关系如表所示： P(A＋B) P(AB) P(A B) 3．相互事件的综合应用

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标

准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过

1111

两小时还车的概率分别为4，2，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为2，4，两人租车时间都不会超过四小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．

11

【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为4，4. 1111115记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝4×2＋2×4＋4×4＝16.所以甲、5乙两人所付租车费用相同的概率为16.

1111115

（2）P(ξ＝4)＝4×4＋2×4＋2×4＝16， 11113

P(ξ＝6)＝4×4＋2×4＝16.

1 / 206

A，B互斥 P（A）＋P（B） 0 1－[P（A）＋P（B）] A，B相互 －－1－P(A)P(B) P（A）P（B） －－P(A)P(B)

概率问题中的数学思想

（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P（A）＋P(－A)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．

（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互事件)．

（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解． 四、课堂检测

1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )

4A．9 2C．3

2B．9 1D．3

42

解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为6＝3，右边圆盘指针落在奇数区域的概2224

率也为3，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为3×3＝9.

－－12

2．已知A，B是相互事件，且P（A）＝2，P（B）＝3，则P(AB)＝________；P(A －

B)＝________．

12

解析：因为P（A）＝2，P（B）＝3. －1－1

所以P(A)＝2，P(B)＝3.

－－111－－－－111

所以P(A B)＝P（A）P(B)＝2×3＝6，P(A B)＝P(A)P(B)＝2×3＝6. 11答案：6 6

190 / 206

3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话．

解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3． －－

（1）第3次才接通电话可表示为A1A2 A3， －－9811

于是所求概率为P(A1A2A3)＝10×9×8＝10.

－－－

（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A1 A2＋A1A2A3， －－－

于是所求概率为P(A1＋A1A2＋A1A2A3) －－－

＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1A2A3) 1919813＝10＋10×9＋10×9×8＝10.

随机事件与概率

【第一课时】 【教学目标】

1．理解随机试验的概念及特点

2．理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间

3．理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性质 4．理解事件5种关系并会判断

【教学重难点】

1．随机试验 2．样本空间 3．随机事件

4．事件的关系和运算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．随机试验的概念是什么？它有哪些特点？

191 / 206

2．样本点和样本空间的概念是什么？ 3．事件的分类有哪些？ 4．事件的关系有哪些？ 二、基础知识

1．随机试验

（1）定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验． （2）特点：①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2．样本点和样本空间

（1）定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．

（2）表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

3．事件的分类

（1）随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．

（2）必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．

（3）不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件．

名师点拨

必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况． 4．事件的关系或运算的含义及符号表示 事件的关系或运算 包含 并事件（和事件） 交事件（积事件）

含义 A发生导致B发生 A与B至少一个发生 A与B同时发生 192 / 206

符号表示 A⊆B A∪B或A＋B A∩B或AB

互斥（互不相容） 互为对立 名师点拨

A与B不能同时发生 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅ A∩B＝∅，A∪B＝Ω （1）如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A 且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.

（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C（或A＋B＋C）发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A，B，C同时发生． 三、合作探究

事件类型的判断

例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． （1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军． （2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯． （3）若x∈R，则x2＋1≥1.

（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.

【解】由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；（3）中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件．

[规律方法]

判断事件类型的思路

要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

样本点与样本空间

例2：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为（x，y）．

193 / 206

（1）写出这个试验的样本空间； （2）求这个试验的样本点的总数；

（3）“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？ （4）“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？

【解】（1）Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}．

（2）样本点的总数为16.

（3）“x＋y＝5”包含以下4个样本点：（1，4），（2，3），（3，2），（1，4）；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4）．

（4）“xy＝4”包含以下3个样本点：（1，4），（2，2），（4，1）；“x＝y”包含以下4个样本点：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）．

[规律方法]

确定样本空间的方法

（1）必须明确事件发生的条件；

（2）根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

事件的运算

例3：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

求：（1）事件D与A、B是什么样的运算关系？ （2）事件C与A的交事件是什么事件？

【解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.

（2）对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.

194 / 206

[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A⊆C，B⊆C，E⊆C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.

[规律方法]

（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

（2）利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

互斥事件与对立事件的判定

例4：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．

（1）恰有1名男生与恰有2名男生； （2）至少有1名男生与全是男生； （3）至少有1名男生与全是女生； （4）至少有1名男生与至少有1名女生．

【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

[规律方法]

（1）包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

195 / 206

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． （2）判断事件是否互斥的两个步骤 第一步，确定每个事件包含的结果；

第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．

（3）判断事件是否对立的两个步骤 第一步，判断是互斥事件；

第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．

【课堂检测】

1．下列事件：

①如果a>b，那么a－b>0；

②任取一实数a（a>0且a≠1），函数y＝logax是增函数； ③某人射击一次，命中靶心；

④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球． 其中是随机事件的为（ ） A．①② C．①④

B．③④ D．②③

解析：选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝logax单调递增，02．（2019·四川省攀枝花市教学质量监测）从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（ ）

A．3件都是正品 C．至少有1件次品

B．3件都是次品 D．至少有1件正品

解析：选D.从10件正品， 2件次品，从中任意抽取3件， A：3件都是正品是随机事件， B：3件都是次品不可能事件， C：至少有1件次品是随机事件，

D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D.

3．（2019·广西钦州市期末考试）抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A的对立事件是（ ）

196 / 206

A．至多抽到2件次品 C．至少抽到2件正品

B．至多抽到2件正品 D．至多抽到1件次品

解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.

4．写出下列试验的样本空间：

（1）甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果（包括平局）________； （2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________． 解析：（1）对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

（2）从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．

答案：（1）Ω＝{胜，平，负}（2）Ω＝{0，1，2，3，4}

【第二课时】 【教学目标】

1．了解基本事件的特点 2．理解古典概型的定义

3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题

【教学重难点】

1．基本事件 2．古典概型的定义 3．古典概型的概率公式

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．古典概型的定义是什么？ 2．古典概型有哪些特征？ 3．古典概型的计算公式是什么？ 二、基础知识

1．古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （1）有限性：样本空间的样本点只有有限个； （2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

197 / 206

名师点拨 古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型： ①样本点个数有限，但非等可能． ②样本点个数无限，但等可能． ③样本点个数无限，也不等可能． 2．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

kn（A）

P（A）＝n＝.

n（Ω）

其中，n（A）和n（Ω）分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 三、合作探究

样本点的列举

例1：一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球． （1）共有多少个样本点？

（2）“2个都是白球”包含几个样本点？ 【解】（1）法一：采用列举法．

分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个（其中（1，2）表示摸到1号，2号球）．

法二：采用列表法．

设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：

a b c d e

a （b，a） （c，a） （d，a） （e，a） b （a，b） （c，b） （d，b） （e，b） c （a，c） （b，c） （d，c） （e，c） d （a，d） （b，d） （c，d） （e，d） e （a，e） （b，e） （c，e） （d，e） 198 / 206

由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到（b，a）与（a，b）是相同的事件，故共有10个样本点．

（2）法一中“2个都是白球”包括（1，2），（1，3），（2，3），共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括（a，b），（b，c），（a，c），共3个样本点．

[规律方法]

样本点的三种列举方法

（1）直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题． （2）列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．

（3）树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

古典概型的概率计算

例2：（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） 43A.5 B.5 21C.5 D.5

（2）（2018·高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】（1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4

42

种，故所求概率P＝10＝5.

（2）记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共

3

3种情况，故所求概率为10.

3

【答案】（1）C（2）10

[规律方法]

199 / 206

求古典概型概率的步骤

（1）判断是否为古典概型． （2）算出样本点的总数n.

（3）算出事件A中包含的样本点个数m.

m

（4）算出事件A的概率，即P（A）＝n.

在运用公式计算时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．

数学建模——古典概型的实际应用

例3：已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

【解】（1）由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

（2）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．

（ii）由（1）设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G），共5种．所以事件M发生的概率P

5

（M）＝21.

[规律方法]

如何建立概率模型（古典概型）

（1）在建立概率模型（古典概型）时，把什么看作一个样本点（即一个试验结果）是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需

200 / 206

要（建立概率模型的主观原因）建立满足我们要求的概率模型．

（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．

（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．

【课堂检测】

1．下列是古典概型的是（ ）

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小． ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率． ③近三天中有一天降雨的概率．

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． A．①②③④ C．②③④

B．①②④ D．①③④

解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．

2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各个小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）

1111A. B. C. D. 3456

解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以（A，B）表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则一共有如下情形：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典

1

概型概率公式，得P＝3.

3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为（ ） 2133A.5B.5 C.10 D.5 解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，

3

丁，戊），（丙，丁，戊），而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为10.

4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．

解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，

41

1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为16＝4.

201 / 206

1答案：4

5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：

（1）2只球都是红球的概率； （2）2只球同色的概率；

（3）“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？

解：记两只白球分别为a1，a2；两只红球分别为b1，b2；两只黄球分别为c1，c2. 从中随机取2只球的所有结果为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）共15种结果．

（1）2只球都是红球为（b1，b2）共1种，

1

故2只球都是红球的概率P＝15.

（2）2只球同色的有：（a1，a2），（b1，b2），（c1，c2），共3种，

31

故2只球同色的概率P＝15＝5.

（3）恰有一只是白球的有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），

8

（a2，c1），（a2，c2），共8种，其概率P＝；

15

1

2只球都是白球的有：（a1，a2），1种，故概率P＝15，

所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．

【第三课时】 【教学目标】

1．理解并识记概率的性质

2．会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问题

【教学重难点】

1．概率的性质 2．概率性质的应用

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题： 1．概率的性质有哪些？

202 / 206

2．如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）与P（A），P（B）有什么关系？ 3．如果事件A与事件B为对立事件，则P（A）与P（B）有什么关系？ 二、基础知识

概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A） ＋P（B）；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P（B）；

性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B），由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P（A）≤1.

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有 P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）． 三、合作探究

互斥事件与对立事件概率公式的应用

例1：一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率．

【解】设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P（A）＝0.24，P（B）＝0.28，P（C）＝0.19，P（D）＝0.16，P（E）＝0.13.

（1）P（射中10环或9环）＝P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.

（2）事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P（至少射中7环）＝1－P（E）＝1－0.13＝0.87.

所以至少射中7环的概率为0.87.

[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．

解：事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个

203 / 206

事件，则P（射中环数小于8环）＝P（D∪E）＝P（D）＋P（E）＝0.16＋0.13＝0.29.

[规律方法]

互斥事件、对立事件概率的求解方法

（1）互斥事件的概率的加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．

（2）对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．

（3）当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．

[注意]有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P（i∑Ai）＝i∑P＝1＝1（Ai）．

互斥、对立事件与古典概型的综合应用

例2：某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：

n

n

（1）该队员只属于一支球队的概率； （2）该队员最多属于两支球队的概率．

【解】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A，B，C.由图知3支球队共有球员20名．

534

则P（A）＝20，P（B）＝20，P（C）＝20.

（1）令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D. 则D＝A＋B＋C，因为事件A，B，C两两互斥，

所以P（D）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C） 5343＝20＋20＋20＝5.

（2）令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E，则－E为“抽取一名队员，

29

该队员属于3支球队”，所以P（E）＝1－P（－E）＝1－20＝10.

[规律方法]

求复杂事件的概率常见的两种方法

204 / 206

（1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；

（2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率．

【课堂检测】

1．若A与B为互斥事件，则（ ） A．P（A）＋P（B）<1 B．P（A）＋P（B）>1 C．P（A）＋P（B）＝1 D．P（A）＋P（B）≤1

解析：选D.若A与B为互斥事件，则P（A）＋P（B）≤1.故选D.

11

2．甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是2，乙获胜的概率是3，则甲获胜的概率是（ ） 15A.2 B.6 12C.6 D.3 111

解析：选C.因为甲胜的概率就是乙不胜，故甲胜的概率为1－2＋3＝6.故选C.

3．（2019·黑龙江省齐齐哈尔市第八中学月考）从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200，300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．

解析：设重量超过300克的概率为P，因为重量小于200克的概率为0.2, 重量在[200，300]内的概率为0.5，所以0.2＋0.5＋P＝1，所以P＝1－0.2－0.5＝0.3.

答案：0.3

4．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

（1）取出1球是红球或黑球的概率； （2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．

解：记事件A1＝{任取1球为红球}；A2＝{任取1球为黑球}；

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A3＝{任取1球为白球}；A4＝{任取1球为绿球}，则P（A1）＝12，P（A2）＝12，P（A3）21＝12，P（A4）＝12.

根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．

法一：（1）由互斥事件概率公式，得取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝P（A1）

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＋P（A2）＝12＋12＝4.

（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1＋A2＋A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P

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（A3）＝12＋12＋12＝12.

法二：（1）取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P（A1＋A2）＝1－P（A3＋A4）＝1－P

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（A3）－P（A4）＝1－12－12＝12＝4.

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（2）A1＋A2＋A3的对立事件为A4，所以P（A1＋A2＋A3）＝1－P（A4）＝1－12＝12.

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