(完整word版)高中数学必修五知识点总结

高中数学必修五知识点总结

解直角三角形。。。。.。。.。.。...。2

数列。。。...。。。.。。..。...。.。。.5

不等式...。

.。。..。。。。。。1

..。。。.11

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解三角形复习知识点

一、知识点总结

【正弦定理】

abc2R (R为三角形外接圆的半径)。 sinAsinBsinC2.正弦定理的一些变式:

cabiisinA,sinB,sinC；； iabcsinAsinBsinC2R2R2Rabc2R ；（4)iiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinCsinAsinBsinC1．正弦定理:

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1)已知两角和任意一边，求其他的两边及一角。

（2）已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解，两解，无解）

【余弦定理】

a2b2c22bccosA1．余弦定理： b2a2c22accosB

c2b2a22bacosCb2c2a2cosA2bc

a2c2b2

。 cosB

2ac

b2a2c2cosC

2ab

2.推论：

设a、b、c是C的角、、C的对边，则: ①若a2b2c2，则C90； ②若a2b2c2，则C90； ③若a2b2c2，则C90．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角。

2

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（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】

已知三角形的三边为a,b,c,

1.S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）

2222。设p1(abc)，S2p(pa)(pb)(pc)

【三角形中的常见结论】

（1）ABC(2) sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC,

sinABCABCcos，cossin;sin2A2sinAcosA， 2222(3)若ABCabcsinAsinBsinC

若sinAsinBsinCabcABC (大边对大角，小边对小角）

(4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于60，最小角小于等于60

（6） 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方。

钝角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值 （7）ABC中，A,B，C成等差数列的充要条件是B60。

(8） ABC为正三角形的充要条件是A,B，C成等差数列，且a，b,c成等比数列. 二、题型汇总

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题型1【判定三角形形状】

判断三角形的类型

（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式。

a2b2c2A是直角ABC是直角三角形（2）在ABC中，由余弦定理可知：a2b2c2A是钝角ABC是钝角三角形

a2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）

(3) 若sin2Asin2B，则A=B或AB2.

例1.在ABC中,c2bcosA，且(abc)(abc)3ab,试判断ABC形状。

题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A，B,C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

例2。在ABC中，a1，b3，A300,求的值

例3.在ABC中，内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c，已知c2，C （Ⅰ）若ABC的面积等于3，求a,b；

3．

(BA)2sin2A，求ABC的面积． (Ⅱ)若sinCsin

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题型3【证明等式成立】

证明等式成立的方法：（1）左右,（2）右左，（3)左右互相推。

例4。已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，求证：abcosCccosB。

题型4【解三角形在实际中的应用】

仰角 俯角 方向角 方位角 视角

例5．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°,则货轮到达C点时，与灯塔A少？

的距离是多

数列知识点

1。 等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数),ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy 前n项和Sna1annna21nn1d 2性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2)数列a2n1 ,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列,公差为n2d；（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad (4）若an，bn是等差数列,且前n项和分别为Sn，Tn，则

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amS2m1 bmT2m1(完整word版)高中数学必修五知识点总结

（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数)

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项，

an0即:当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

a0n1当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值.

an10(6)项数为偶数2n的等差数列an，

有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项)

S偶S奇nd,

S奇S偶an. an1（7）项数为奇数2n1的等差数列anS2n1(2n1)an(an为中间项)，

，

有

S奇S偶an，

S奇S偶n。 n12。 等比数列的定义与性质

定义：

an1q(q为常数，q0），ana1qn1。 an等比中项:x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.

na1(q1)前n项和：Sna11qn（要注意！）

(q1)1q性质：an是等比数列

（1)若mnpq,则am·anap·aq

（2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么?

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n1时,a1S1； n2时，anSnSn1。

3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 如:数列an，a1121211a……a2n5，求an 22nn22解 n1时,a1215，∴a114

①

111n2时，a12a2……n1an12n15 ②

22214(n1)1n1①—②得:nan2，∴an2，∴ann1

22(n2)［练习］数列an满足SnSn1an1，a14，求an

注意到an1Sn1Sn，代入得

Sn14又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n Sn；

53n2时，anSnSn1……3·4n1

（2）叠乘法

如：数列an中，a13，n1解

aann，求an n1aa1a2a312n13，∴n又a13，∴an·……n·……a1na1a2an123nn.

(3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0,求an,用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)

［练习]数列an中，a11，an3an1n2，求an（

n1an1n312）

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（4）等比型递推公式

ancan1d(c、d为常数，c0，c1，d0）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x 令(c1)xd，∴xddc1，∴anc1是首项为a1dc1，c为公比的等比数列 ∴adnc1adn1dn1d1c1·c，∴ana1c1cc1 (5）倒数法 如：aan11，a2n1a2，求an n由已知得：1a2111an，∴

11 n12an2anan1an2∴1a为等差数列，11，公差为1，∴11n1·11na2an1， 1n22∴a2nn1

( 附:

1)公式法、利用

anSS1(nnSn1(n2)、累加法、累乘法。构造等差或等比

an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法

)

4。 求数列前n项和的常用方法

（1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：nan是公差为d的等差数列，求1k1a kak1

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an1panq或

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解:由

n11111d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111∴…… aadaadaaaaaak1kk1k1k123n1k2n1111 da1an1［练习］求和：1111…… 12123123……n1an…………，Sn2

n1（2）错位相减法

若an为等差数列，bn为等比数列,求数列anbn（差比数列)前n项和，可由SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.

如:Sn12x3x24x3……nxn1

①

②

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn

①-②1xSn1xx2……xn1nxn

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 2（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则 21x1f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f 41x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

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11111∴原式f(1)f(2)f f(3)ff(4)f111322342(附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列｛an｝，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法.我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围,确定公式适用于这个数列之后,再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项,从而求出数列的前n项和.

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式.即若在数列{an·bn｝中,｛an｝成等差数列,{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an｝满足an+1=an+f（n)，其中f（n）是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1—an=f(n)，代入各项,得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。

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f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和,再将其合并. g。用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。

不等式知识点归纳

一、两实数大小的比较： ab0ab;ab0ab;ab0ab． 二、不等式的性质: ①abba;②ab,bcac；③abacbc； ④ab,c0acbc,ab,c0acbc;⑤ab,cdacbd； ⑥ab0,cd0acbd;⑦ab0anbnn,n1； ⑧ab0nanbn,n1． 三、基本不等式定理

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a2b21、整式形式：①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba,bR a0,b0；④

222ab2a2b2) ab（a0,b0）②a+b（2ba3、分式形式：+2（a、b同号）

ab114、倒数形式:a>0a+2 ；a<0a+-2

aa2、根式形式：①

22ab四、公式:ab112ab2a2b2 2五、极值定理:设x、y都为正数，则有

s2⑴若xys(和为定值），则当xy时，积xy取得最大值．

4⑵若xyp（积为定值）,则当xy时，和xy取得最小值2p． 六、解不等式

1、一元一次不等式： ax〉b（a0）的解：当a>0时，x>

bb;当a〈0时，x<； aa2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

判别式b24ac

0 0 0

二次函数yax2bxc

a0的图象

一元二次方程有两个相异实数有两个相等实数没有实数根

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ax2bxc0

根

根x1x2b 2aa0的根

x1,2b 2ax1x2

ax2bxc0

一元二次不等式的

xxx或xx12a0

ax2bxc0

bxx

2aR

解集

a0

xx1xx2

 

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数

二判：判断对应方程的根,三求:求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像写出不等式的解集

5、解分式不等式:

f(x)g(x)0f(x)f(x)〉0f（x)g（x)〉0 ; 0g(x)g(x)g(x)06、解高次不等式:(x—a1)(x—a2)…（x-an）>0

7、解含参数的不等式：解形如ax2+bx+c〉0的不等式时分类讨论的标准有：(1)讨论a与0的大小(2）讨论与0的大小（3）讨论两根的大小 七、一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称轴、函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次不等式组求解。

f(k)0b1、x1〈x2〈kk

2a0

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f(k)0b2、k 〈x12a0

3、x1〈k 〈x2f（k)〈0

f（k1)0f(k)024、k1k1bk22a

5、、x1f(k2)0

f（k1)06、k1f(k)03

八、线性规划问题 1、定义：

线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件． 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式．

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线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解:满足线性约束条件的解x,y． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解 2、区域判断

在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0． ①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方． ②若0,x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方． 在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．

①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线

xyC0下方的区域．

②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域;xyC0表示直线xyC0上方的区域．

3、解线性规划问题的一般步骤

第一步：在平面直角坐标系中做出可行域 第二步:在可行域内找出最优解所对应的点

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值

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