第３３卷第３期 四川兵工学报 ２０１２年３月 【信息科学与控制工程】 基于ＬＴＩ离散系统的卷积和解法 柴黎，姚秀芳 （装备学院光电装备系，北京１０１４１６） 摘要：结合实例讨论了求解卷积和的４种方法：解析法、图解法、不进位乘法和利用性质求解法。首先论述了每种方法的原 理，然后通过实例说明了具体的求解过程，最后列表归纳了各种计算方法的特点，可对进一步开展线性系统的分析和研究提 供计算经验和基础。 关键词：ＬＴＩ离散系统；卷积和；信号与系统 中图分类号．．ＴＮ９１１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—０７０７（２０１２）０３—００９３—０３ 线性系统分析的中心问题是系统输入与输出的关系。对于 式（２）称为序列，（ｋ）和ｈ（ｋ）的卷积和，即 离散时不变线性系统，输入与输出的关系用输入对系统单位冲 激响应的离散卷积和来表征，因此离散卷积和计算在线性系统 （ ）＝∑ｆ（ｉ）ｈ（ｋ— ）＝ ）％ （ ） （３） 的分析中占有非常重要的地位。 式（３）表明，ＬＴＩ系统对于任意激励的零状态响应是激励ｆ（ｋ）与 目前求解两序列卷积和的常用方法有解析法、图解法、不进 系统单位序列响应ｈ（ｋ）的卷积和。那么，定义在区间 位乘法和利用性质求解等４种方法，这些方法分别适用于不同 （一 ，＋ ）上的２个序列 （ｋ）和 （ｋ）的卷积和为 的序列并存在各自的优缺点。 ，（ ）：ｆｌ（ ） （ ）＝∑７１（ ） （ 一 ） （４） １ 解析法 例１计算卷积＿厂（ｋ）＝ａｋ６（ｋ） ｓ（ｋ）。 解： 在ＬＴＩ离散系统中，离散信号本身是一个序列，把激励信号 ，（ ）＝ ａｉ３（ ）ｓ（ 一 ）＝（ ａｉ）ｓ（ ） 等ｓ（ ） 分解为单位序列，如果系统的单位序列响应为已知，那么求得每 这种利用定义求解卷积的方法称为解析法 ］。 个单位序列单独作用于系统的响应，把这些响应相加就可得到 系统对于该激励信号的零状态响应，这个相加过程表现为求卷 积和的过程…。任意离散时间序列－厂（ｋ）可以表示为 ２卷积和的图解法 ，（ｋ）＝…＋＿厂（一２）６（ｋ＋２）＋ 一１）６（ｋ＋１）十 在用式（４）计算卷积和时，正确选取参变量ｋ的适用区域以 ０）６（ｋ）＋＿厂（１）６（ｋ一１）＋…＋ 及确定相应的求和上限、下限是十分关键的步骤，这可借助于作 ｆ（ｉ）８（ｋ— ）＋．．一∑ ）６（ 一 ） （１） 图的方法解决 。 用作图法计算序Ｎｆｌ（ｋ）与 （ｋ）的卷积和的步骤如下。 如果系统的单位序列响应为ｈ（ ），那么，由线性系统的齐 次性和时不变系统的移位不变性可知，系统对Ｉ厂（ｉ）６（ｋ—ｉ）的响 步骤１换元，ｋ换为ｉ，得 （ｉ） （ｉ）； 步骤２ 反转平移，由 （ｉ）反转，得 （一ｉ），右移ｋ， 应为－厂（ｉ）ｈ（ 一ｉ）。根据系统的零状态线性性质，式（１）的序列 ，（ｋ）作用于系统所引起的零状态响应 （ｋ）应为 得 （ｋ—ｉ）； 步骤３求乘积 （ｉ）Ａ（ｋ—ｉ）； （ ）＝…＋，（一２）ｈ（ｋ＋２）＋＿厂（一１）ｈ（ｋ＋１）＋ 步骤４ ｉ从一 到＋。。对乘积项求和。 ，（０）ｈ（ｋ）＋＿厂（１）ｈ（ 一１）＋…十 例２ （ｋ）与 （ｋ）如图１所示，已知，（ｋ）＝ （ｋ） （ｋ）， ｆ（ｉ）ｈ（ｋ— ）＋．．一∑ｆ（ｉ）ｈ（ｋ—ｉ） （２） 求＿厂（２）＝？。 收稿日期：２０１２—０１—１１ 作者简介：柴黎（１９８２一），女，硕士，讲师，主要从事信号与信息处理研究。 ９４ 四川兵工学报 ｈｔｔｐ：／／ｓｃｂｇ．ｊｏｌｌｒｓｅｒｖ．ｃｏｒｎ／ 解：＿厂（２）＝∑ （ ） （２一 ）。 步骤１换元； 步骤２ ｆ２（ｉ）反转，得 （一ｉ），右移２，得 （２一ｉ）； 步骤３求 （ｉ） （２一 ）； 步骤４求和，得＿厂（２）＝４．５，如图１所示。 （支） １．５ ：， ＿● 一１． ¨ １ 一２ ．１ ０ ｌ ２ ３ （＆） ．１ Ｏ １ ２ ３ 图１卷积求解过程 ３不进位乘法求卷积和 图解法的优点是整个计算过程通过绘图的方式展现出来， 思路清晰，但计算过程非常麻烦，且易出错。不进位乘法是在图 解法的基础上发展而来的，不需要画图，但其原理与图解法一 样，需逐点计算，最后相加得出结果。使用此方法需要概念及思 路非常清楚，将卷积和的计算转换成简单的代数运算，既简单又 不容易出错，在短短几分钟之内就可得出结果，可大大提高运算 速度和准确性 。 ，（ ）＝∑ （ ） （ 一 ）… （一１） （ ＋１）＋ （ｏ）Ｌ（ｋ）＋ （１） （ｋ一１）＋ （２） （ｋ一２）＋…＋ （ ） （ｋ—ｉ）＋… （５） －厂（ｋ）＝所有两序列序号之和为ｋ的那些样本乘积之和。 如ｋ＝２时， ＿厂（２）＝一 （一１） （３）＋ （０） （２）＋ （１） （１）＋ （２）Ａ（０）＋… 例３ （ ）＝｛０，３，４，０，６，０｛ Ｔ ｋ＝０ （ｋ）＝｛０，２，１，５，０｝ ｔ ｋ＝１ 求 （ｋ） （ｋ）。 解： 步骤１将 （ｋ） （ｋ）分别列写在第１行与第２行； 步骤２将 （３）与 （０） （１） （２） （３）分别相乘，得 到输出序列１５，２Ｏ，０，３０，写在第３行； 步骤３将 （２）与 （０） （１） （２）， （３）分别相乘，得 到输出序列３，４，０，６，写在第４行； 步骤４将 （１）与 （０） （１） （２） （３）分别相乘，得 到输出序列６，８，０，１２，写在第５行； 步骤５将第３至第５行中各列求和，得到 （ｋ） （ｋ）。 解： ３ ４ ０ ６ ｋ＝３一 × ２ １ ５ ＝３＋一 １ ５ ２Ｏ ０ ３０ ３ ４ ０ ６ ＋６ ８ Ｏ １２ ６ ｌ１ １９ ３２ ６ ３０．－－ ｋ＝－３＋３＝６ ｌ厂（ｋ）＝｛．－－０，６，１１，１９，３２，６，３０，０，…｝ ｔ ｋ＝１ 可以看出，利用此方法计算离散卷积和时，不用反复平移反 折序列，也不用作图，计算过程简捷，计算速度快，准确性高，因 此特别适于手工计算；此外，该计算过程也直观体现了离散卷积 和的物理意义。 ４利用性质求解 １）移位性质 若 （ｋ） （ｋ）－－ｆ（ｋ），则 （ｋ—ｋ。） （ｋ—ｋ：）－－ｆ（ｋ—ｋ 一ｋ ） ２）与２个基本序列的卷积 一 ，（ｋ） ６（ｋ）＝ ｋ） ，（ｋ） ６（ｋ—ｋ。）＝ ｋ—ｋ。） ｋ 厂ｌ（ ） ｓ（ ）＝∑厂（ ） ∞ ｓ（ｋ）￥ｓ（ｋ）＝（ｋ＋１）ｓ（ｋ） 例４ ｓ（ｋ～１） ６（ｋ＋２）＝ｓ（ｋ＋１） ｓ（ｋ一１） ｓ（ｋ＋２）＝（ｋ十２）ｓ（ｋ＋１） （０．５） ８（ｋ一２）￥ｓ（ｋ）＝０．５［１一（０．５） ］ｓ（ｋ一２） ５ ４种方法比较 通过实例讨论了解析法、图解法、不进位乘法和利用性质求 解等４种方法的原理，下面列表比较每种方法的优缺点以及各 柴黎，等：基于ＬＴＩ离散系统的卷积和解法 自适用的序列。 表１卷积和解法比较 ９５ 中具有重要意义。通过对卷积和的各种计算方法和特点的归 纳，可使我们对卷积计算有一个更清楚的认识。使用者可以根 据实际需要灵活运用。本文所做的工作也为进一步深入开展线 性系统的分析和研究提供了计算经验和基础。 参考文献： ［１］ 吴大正．信号与线性系统分析［Ｍ］．北京：高等教育出版 社。２００５． ［２］ 郑君里，应启珩，杨为理．信号与系统［Ｍ］．２版．北京：高 等教育出版社，２０００． ［３］ 唐向宏，岳恒立，郑雪峰．ＭＡＴＬＡＢ及在电子信息类课程中 的应用［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００６． ［４］ 程玲．信号与系统分析中卷积积分的几种解法［Ｊ］．气象教 育与科技，２００１（４）：２３—２４． ［５］ 吴楚，李京清，王雪明，等．信号与系统课程辅导［Ｍ］．北 ６结束语 卷积运算在信号与系统理论、控制理论和动态电路的分析 京：清华大学出版社，２００４． 一 （责任编辑鲁进） （上接第９２页） ［６］ 张彤，卢雯雯，肖南峰．基于ＢＰ网络的人脸朝向识别方法 ［Ｊ］．重庆－＂－Ｘ．Ｙ－大学学报：自然科学版，２０１０（６）：６１—６５． ［７］ 郭丽，石航飞，陈志锦，等．ＢＰ神经网络在双伺服同步运动 ３结束语 弹药库房安全性是一个复杂的多因素、多变量、多层次的问 系统中的应用［Ｊ］．兵工自动化，２０１１（１）：４４—４６． ［８］ 高桂清，施旭鑫，李治，等．基于ＢＰ神经网络的导弹作战方 案评估方法［Ｊ］．四川兵工学报，２０１１（１１）：６—９． 题，用模糊神经网络方法对其进行评价，具有运算速度快，容错 能力强，自学能力强等特点，同时也兼有处理不确定同题的能 ［９］ 王学智，刘罕杰，孙正民．基于ＢＰ神经网络的装备维修人 员保障能力评估［Ｊ］．四川兵工学报，２０１０（４）：４—６． ［１０］杨纶标，高英仪．模糊数学原理及应用［Ｍ］．广州：华南理工 大学出版社，２００５． ［１１］飞思科技产品研发中心．神经网络理论与ＭＡＴＬＡＢ７实现 ［Ｍ］．北京：电子工业出版社，２００５． ［１２］孙群，刘国璧，程伟．基于模糊神经网络的刘翔ｌｌ０ｍ栏成绩 预测［Ｊ］．重庆科技学院学报：自然科学版，２０１１（２）：１３５ —力，而且有成熟的Ｍａｔｌａｂ神经网络工具箱作为软件支持比较容 易实现。理论分析与算例的结果表明，该评价方法是可行的和 有效的。可为弹药库房的安全管理提供一定的参考依据。 参考文献： ［１］ 范志和，朱华兵，严平，等．弹药技术处理与安全技术［ｚ］．武 汉：海军工程学院，１９９８． １３８． ［２］ 孟令勇，王凤英．弹药库房模糊数学安全评价方法研究［Ｊ］． 机械管理开发，２００５（４）：１１—１２． ［３］ Ｗｉｌｌｉａｍｓｏｎ Ｏ Ｅ．Ｍａｒｋｅｔ ａｎｄ Ｈｉｅｒｒｃｈｉａｅｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｔｈｅ Ｆｒｅｅ Ｐｒｅｓｓ，１９７５． ［１３］黄勤，龚海清，刘金亨，等．基于改进的遗传神经网络入侵检 测系统［Ｊ］．重庆理工大学学报：自然科学版，２０１０（５）：８３ —８６． ［１４］郭兰平，俞建宁，张建刚，等．改进ＲＢＦ神经网络在城市公交 车速时间序列预测中的应用［Ｊ］．重庆理工大学学报：自然 科学版，２０１０（１２）：印一６６． ［４］ 郑恒，汪佩兰．模糊神经网络在火工品生产系统安全评价中 的应用［Ｊ］．安全与环境学报，２００４，４（增刊）：１５９—１６２． ［５］ 张彤，肖南峰．基于ＢＰ网络的数字识别方法［Ｊ］．重庆理工 大学学报：自然科学版，２ｏｌｏ（３）：４３—４７． （责任编辑刘舸）
