第六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数
【要点梳理】 一．任意角
(1)角的概念的推广：按旋转方向不同分为 、 和 . (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成 ． (3)弧度制
①1弧度的角： 叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝ ，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的r的大小 ，仅与 . ④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： ， 扇形面积公式：S扇形＝ ＝ . 二．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r (r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切
分别是：sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ， 它们都是以角为 ，以比值为 的函数．
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是： . 三．三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的 .由三角函数的定义知，点P的坐标为 ，即 ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝ .我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的 、 、 . 一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
π
(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合β|β ＝2＋kπ，k∈Z；终边落
kπ
β＝，k∈Z. 在坐标轴上的角的集合可以表示为β2
lr
三个注意
(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
1
(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 【典型例题】
题型一 求与已知角终边相同的角
例1 （1）已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；
(2) 已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．
变式训练1 和60°角终边相同的角的集合是 ( )
π
A.α|α＝k·360°＋，k∈Z B．{α|α＝2kπ＋60°，k∈Z}
3
π
C．{α|α＝2k·360°＋60°，k∈Z} D．{α|α＝2kπ＋，k∈Z}
3题型二 弧度制应用
例2 已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
题型三 三角函数的定义
例3 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
变式训练2 若角θ的终边与函数y＝－2x的图象重合，求θ的正弦、余弦、正切值．
题型四 三角函数值的符号及判定
例4 (1)如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．
sincos θ(2)若θ是第二象限角,试判断的符号是什么？
cossin 2θ
2
变式训练3 (1)若sin α·tan α>0，α是第______象限角．
(2)若θ在第四象限，试判断sin(cos θ)·cos(sin θ)的符号．
题型五 三角函数线及其应用
例5 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合： (1)sin α≥
变式训练4 求下列函数的定义域：y＝ 2cos x－1；
31； (2)cos α≤－. 22
【课后练习】
5
1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________．
132
2．若4π<α<6π且α与－π终边相同，则α＝________.
3
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 4．若α＝k·180°＋45° (k∈Z)，则α在( ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
5．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 6．下列命题正确的是( )
A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角 C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角 7．若角α和角β的终边关于x轴对称，则角α可以用角β表示为( )
A．2kπ＋β (k∈Z) B．2kπ－β (k∈Z) C．kπ＋β (k∈Z) D．kπ－β (k∈Z)
8．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等；②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
3
2
③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝
－xx2＋y2
. 其中正确的命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4
9．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为( )
5
1133A．－ B. C．－ D.
2222
10．已知α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m) (m>0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α等于________．
11．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，5)，且cos α＝
2
m，则sin α的值为________． 4
3π3π12．若β的终边所在直线经过点Pcos ，sin ，则sin β＝________，tan β＝________. 4413．函数y＝sin x＋－cos x的定义域是______________．
14．若角的分别分別经过下列各点，根据三角函数的定义，则角的六个三角函数值是： (1) 3,4 sin_____；cos_____；tan_____； (2) 12,5 sin_____；cos_____；tan_____； (3) 7,24 sin_____；cos_____；tan_____； (4) 1,3 sin_____；cos_____；tan_____；
tan15．已知
13，求sin和cos的值。
16．扇形AOB的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
2
4
