最优化上机作业1

一维优化方法练习

实验目的及要求：

1. 编写程序实现进退法，利用进退法求解极值区间实例； 2. 编写程序实现0.618法，利用0.618法求解极值实例； 3. 编写程序实现牛顿法，来求解一维函数的局部极小值点。

实验原理：

在Matlab环境下，按照要求编写函数和程序，求解实例，直至取得正确的运行结果。 算法1：进退法

S1 给出x0R,h0>0, 令h:=h0,1,x1:x0,k:=0;

S2 令x4=x1+h, 置k:=k+1；

S3 若f(x4)S4 令x2=x1,x1=x4,f(x2)=f(x1),f(x1)=f(x4),令 h=2h，转S2； S5 若k=1,则转S6，否则转S7;

S6 令h=-h，x2=x4,f(x2)=f(x4)，转S2;

S7 令x3=x2,x2=x1,x1=x4，停止计算极小值点包含于[x1,x3]或[x3,x1].

算法2：0.618法

S1 选定区间[a1,b1]及精度0,计算试探点

a10.382*(b1a1) a10.618*(b1a1) 令 k=1;

S2 若b1a1,则停止计算。

否则，当f()f()时转S3；当f()f()时转S4； S3 令a1:,:,:a10.618*(b1a1), 转 S5; S4令b1:,:,:a10.382*(b1a1), 转 S5; S5 令k:=k+1，转S2.

第 1 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告 算法3：牛顿法

S1 给出x0R精度0,令k:=0; S2 若

f(xk)xk1xk, 停止，极小值点为xk；

f(xk)f(xk);

S3 令

S4 令k:=k+1, 转S2.

实验内容（方法和步骤）：

题目1 编写程序实现进退法。

利用Matlab编写函数 [xmin,xmax]=Brackeing(f,x0,h0).区间[xmin,xmax]包含函数f的一个局部极值点。

Brackeing.m文件

function [xmin,xmax] = Brackeing(f, x0, h0) h = h0; x1 = x0; k = 0; while 1 k = k + 1; x4 = x1 + h; if f(x4)x2 = x1; x1 = x4; h = 2*h; continue; elseif k==1

h = -h; x2 = x4;

第 2 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告 continue; else

x3 = x2; x2 = x1; x1 = x4; break; end end if x1xmin =x3; xmax = x1; end

题目2

利用进退法求解极值区间实例。取初始点x0=0，步长h0=0.1，用进退法求函数

f(t)(t21)2(t1)23的极值区间。

f.m文件 function y =f(t)

y = (t^2 - 1)^2 + (t - 1)^2 +2; end

shiyan1_2.m文件 clear

第 3 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告 x0 = 0; h0 = 0.1; f1 = @f;

[xmin, xmax] = Brackeing(f1, x0, h0)

题目3 编写程序实现0.618法。

利用Matlab编写函数 [x,miny]=MinHJ(f,a,b,eps).调用函数得到的x为函数f在区间[a,b]上的局部极小值点。

MinHJ.m文件

function [x, miny] = MinHJ(f, a, b, eps) h = b-a;

a0 = a + 0.382 * h; b0 = a + 0.618 * h; while ha0 = a + 0.382 * h; else

a = a0; h = b-a; a0 = b0;

b0 = a + 0.618 * h; end

第 4 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告 end x = a0; miny = h;

题目4 利用0.618法求解极值实例。

222f(t)(t1)(t1)3，t[10,10]. 利用0.618法求下面函数的极小值；

Shiyan1_4.m文件 clear

a = -10; b = 10; eps = 0.1; f1 = @f;

[x, miny] = MinHJ(f1, a, b, eps)

题目5 编写程序实现牛顿法。

利用Matlab编写函数 [x,minf]=Newton(f,x0,eps).其中f为目标函数，x0为初始点，eps为算法终止的精度。用牛顿法求解无约束优化问题minf(x)。

function [x, minf] = Newton(f, x0, eps) k = 0; x= x0; g = diff(f); h = diff(g);

gx = subs(g, findsym(g), x); while abs(gx)>eps

hx = subs(h, findsym(h), x); x = x - gx/hx; k = k + 1;

第 5 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告 gx = subs(g, findsym(g), x); end

x = vpa(x, 12);

minf = subs(f, findsym(f), x); minf = vpa(minf, 12); end

题目6

2f(t)tlnt5的任一极小值点。 取初始点x0=2，用牛顿法求函数

shiyan1_62.m文件

clear syms t;

f = t^2 - log(t) - 5; x0 = 2;eps = 1.0e-6;

[x, minf] = Newton(f, x0, eps)

实验结果与分析：

shiyan1_2.m运行结果：

Shiyan1_4.m运行结果：

第 6 页，共 7 页

中国矿业大学（北京）实验报告

shiyan1_62.m运行结果：

由于题目要求写函数[x,minf]=Newton(f,x0,eps).其中f为目标函数，Newton函数内部后续还要对f求微分，有点麻烦。经查阅，自变量为符号的函数可以作为参数传递给其他函数，并且不影响微分运算，但是如果用到f的函数值，必须再搭配subs函数，将f在某点的值计算出来复制给一个表示数字的变量。

成绩：

批阅教师签名： 年 月 日

第 7 页，共 7 页