数学与哲学

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数学与哲学

刘建亚

（）山东大学数学科学学院　２５０１００

　　编者按　刘建亚是我国著名的数论专家，山东大学数学学院院长．普林斯顿大学沙纳克教授评

论：“在中国的研究者中，他是唯一能将经典解析数论和当代自守形式成功结合的人”．刘建亚教授经常对学生讲：“一生中一个人只要认认真真地干好一件事就足够了，可以用１０年、２０年的时间去想”这件事．这件能让刘建亚“就是数学．１０年、２０年去想的事”

刘建亚教授对中国传统文化，特别是书法有着精深的造诣，他的字堪称一流．本刊全文刊登刘建，以飨读者．亚教授的公众报告“数学与哲学”　　我为什么选择这个题目呢，并不是因为我真懂哲学，恰恰因为不懂哲学，待会儿我会给出理由．哲学，谈起来比较随意一些，数学不可以．演讲里面的观点，很多是我个人的体会．要谈数学和哲学，只能在哲学层面上谈，不能在数学层面上谈．今天我所谈的话题如果诸位谁有不同意，我会非常高兴．因为哲学就是这么一回事，大家都同意说明我什么都没说，很多人不同意才表明演讲成功了．

演讲分为四个部分：科学与哲学；数学作为科学；数学文化人；哲学指导．１　科学与哲学１．１　什么是哲学

哲学这个词是从希腊过来的，在希腊语里，本意是热爱智慧．所以有人问什么是哲学，我这个演讲回答不了这个问题．因为哲学家本身对这个问题看法不一样，所以我也别再引起进一步的混乱了．

哲学的研究对象是什么呢？研究一般的基本问题，这些问题是关于物质与存在，关于知识，关于价值，关于推理，关于头脑，关于语言．但也不是所有的哲学家都这么看：比如说有的哲学家认为哲学就只剩下语言学可研究了，因为语言学之外的问题都是语言学派生出来的问题．哲学研究的方法跟其他学问的研究方法有点不一样，哲学采取批判性的一般系统性的方法，基于逻辑

推理或基于可靠的合情推理．１．２　什么是科学

与哲学不太一样，科学可以找到一个字典式的定义．科学家关于自己的这门学问大体上是研究成功的，有一个相对一致的看法：科学就是这么一项事业，他是基于对知识的一种重组，一种可以检测的一种解释（ｉｎｔｈｅｆｏｒｍｏｆｔｅｓｔａｂｌｅｅｘ　　　　　－），科学强调的是可证伪性（），ｔｅｓｔａｂｌｅｌａｎａｔｉｏｎｓｐ

而且还可以对自然界发生的事情进行预测．（）ｒｅｄｉｃｔｉｏｎｓａｂｏｕｔｔｈｅｎａｔｕｒａｌｗｏｒｌｄ　　　　ｐ

１．３　科学与哲学的区别

哲学没有字典式的定义．所以要想知道哲学是什么，唯一的办法就是自己研究哲学，除此以外没有其他．关于哲学的研究领域和研究方法都有非常不同的理解，甚至都引起很多论战．哲学说好听叫思辨，实际上和做了个梦差不多．

科学并不悬，研究的是我们知道的事，可以猜想．

从图来看，科学是在某个范围之内讨论已经知道的事情．哲学则是站在这个黄色的边上往外看，试图看见科学不知道的事．

所以我理解科学和哲学是有分工的，没有分工会导致很大的混乱．

科学有范围，在范围里面做是有边界的．哲学则取决于个人，不同的人可以做出不同的哲学．很难说有两个数学，有两个物理．

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数学通报　　　　　　　　２０１２年　第５１卷　第５期

哲学好像挺玄，但是实际上任何人都不可能

学地位非常像艺术．各位请看，人文艺术，人文社科艺术就在这一行里边，经济学非常接近社会，在接近社会科学这一层，历史有人认为是社会科学，有人认为是形而上学．但是没有人认为艺术是社会科学，所以艺术跟哲学也不算社会科学，所以数学就很像艺术这一类，数学实际上有很多艺术行为．

数学有什么特点呢？数学是在公理体系上逻辑生长出来的．公理体系就好像是个地基，满足相容性、完备性和性．一旦这个公理体系选定之后，这个大厦就逻辑地往上增长．有一个问题，这公理体系是怎么来的？这大概是数学跟现实世界从开始唯一的联系．公理体系来自于个人与自然的观察，或者是来自于个人的体会．公理体系产生了之后，人跟自然就不大接触了．

逃避哲学，哲学与你同在．即使你想逃避哲学，哲学也会跟着你．为什么呢？我认为哲学的起源：人最终都会死．试想，人是（大家可以不同意）人不死，我们就不需要追求真理，也不需要追求规律．因为犯了错也不用改，从任何一个时刻往将来看都是无穷大的．

人为什么要寻求规律呢？最根本的原因是人的生命是有限的．原来人们认为宇宙是无限的，但现在看来不是很对，但无论如何宇宙感知起来还是非常吃力．所以用一个有限的生命去了解这样一个世界，就需要规律．在相似的前提之下应该有相似的结果．否则完全不可预测，就永远无法了解这个未知的世界．

所以需要规律，需要探求真理，需要知道怎么样做才可以探求真理，人生才有意义．人的生命是有限的，到死的那一刻前面做的一切，就是人生的意义．所有这一切的根源就是人要死．所以假如真有上帝的话，上帝永远不死，很难说他会对哲学感兴趣．

但是哲学不能解决一切，哲学不解决来世的问题，解决不了，哲学也不解决灵魂的问题，也不解决幸福的问题，并不是说哲学家都很幸福，相反哲学家都是很不幸福．

在探求真理的方法中，数学方法是比较可靠的．

２　数学作为科学

什么是数学？数学是一门科学，数学的地位是什么样的呢？

我把这个形式画到这里了，越往上越抽象，数学的地位基本上是这样，越往下看，化学生物依赖于实验，跟世界比较紧密，物理比化学生物稍微抽象一点，天文比物理抽象一点．

数学跟哲学比较抽象，可以算作是形而上对此，不同的哲学家有不同的观点）形而上学．（

学就是关于形而上的这么一种学问，是抽象的学问．

数本身是自然界没有的，自然界有三个人三张桌子，但是没有三．而人们都知道三是什么，这就是抽象．所以数学从一开始就不是具体的，就是形而上学．

天文物理化学生物，是研究自然世界的．数

因为欧式几何的第五公设人们想证明也证明不了，后来发现第五公设的否定会产生不同的几何学．请大家看这个，这是在迪拜盖的三个离奇的塔，但是能够说明咱们三种几何学．三种几何学最基本的公理体系有一点不一样，也就是说地基不一样，地基一旦定好之后，大厦就会逻辑的生长．有三个不同的公理体系就有三个不同的大厦，大厦的内部没有矛盾，都是协调的，但是大厦之间的结构是不一样的．

三种几何各有各的用处：欧氏几何适用日常生活，罗氏几何适合宇宙空间或原子核世界，黎曼几何适合地球表面航海．

数学跟哲学有什么区别呢？从研究方法看有很大的不一样，哲学的研究方法就是臆测、思辨，可以有各种各样的来源．在文化大期间，我上小学、初中．到结束的时候，我的

２０１２年　第５１卷　第５期　　　　　　　　数学通报初中就差不多结束了．那个时候，我看了很多批判文章．实际上，那些文章在哲学上辩论是不可能的．大批量文章可以写的很长，可以写２０页，但是方法就一个：你的观点是这样的，我的观点是那样的，我是对的，你跟我不一样，所以你不对．

数学的研究方法是逻辑研究．和自然科学不一样，数学也做试验，也做归纳，完了要补一个逻辑演绎证明的这样一个步骤．而自然科学，比如物理化学做完试验就归纳，归纳完了就完了，没有什么逻辑证明，一般是没有．

举个例子，比如说哥德猜想．哥德自己做了很多试验，偶数拿过来算算，一直算到算不动，他相信这个偶数大了就能写成素数之和，试验完了就猜想，这就是哥德猜想．但在数学当中，只要是猜想就不算结束，还得证明．从猜想到证明这一步是最大的，证明完了之后才叫定理．所以哥德猜想不能叫定理，只是一个猜想，到现在也没有证完．

自然科学也做试验，做完试验就提一个猜想，这个猜想不用证明，基本上这个猜想就可以叫做定律．验证这个定律是不是对的，部分是作者的事，部分是全世界人民的事情．所以所有的定律永远处在被检验的状态，因为没有逻辑证明．所有的定律也有可能是错的，所以这个定律就是猜想．

去体检的时候，照完透视，会拿到一个检验报告单，某某Ｘ光报告单上面会盖个戳．假如没什么毛病，上面会写上心肺未见异常．大夫没说你心肺正常，这就是说他没有看出来你有什么毛病，就是说到现在为止没看出来有什么毛病．定律，就跟你那个心肺未见异常一样，永远处在被检验的过程当中，这就是定律和定理最大的区别．定律就是猜想．

然而试验是非常危险的．有人认为如果老做试验总得到同一个结果，自己就相信了．但在逻辑上仍然处于被检验的地位．下边这个例子就说明，试验是有危险的．这个例子很简单，我说物理学家相信所有的奇数都是素数，为什么？你先看三，第一个奇数是三，再看五，五也是，再看七，七也是，下一个看九，一看九不是，九不是怎么办，那就先不看九，看后面的，一看十一，

３

十一也是，十三也是，回过头来再看九没准儿我们做试验做错了，因此做了六回试验有一回是出错的，有五回得到我们预料的结果，因此所有的奇数都是素数．听起来很荒诞，但是所谓的自然科学就是这么研究的．有的试验很容易，扔钢镚，一天可以扔一万回，只要你有力气就可以．但是有的试验做一回要很长时间，不一定能够做五回．所以试验是很有讲究的．

这个例子说到了自然科学家的痛处．有一次我跟几个物理学家和化学家出差，在飞机上就聊起这事，说起学科差别，我没憋住把这俩笑话给他们讲了．讲完了之后，一个永远是温文尔雅的物理学家听了顿时勃然大怒，在飞机上就跟我吵了起来．后来我一想，这个例子是伤了物理学家的心，看来是点到了物理学家的痛处，点到了实验科学的痛处．所以试验是有危险的，试验总结出来的定律永远处在被检验的地位，所以刚才我说的哥德猜想就是哥德定律，什么都不算．在奇数的情形，所有不小于７的奇数都是３个素数之和，这件事已经被证明了，基本上说来，这就是这三位数学家做的伟大的工作，这是，，和ＶＨａｒｄＬｉｔｔｌｅｗｏｏｄｉｎｏｒａｄｏｖ．ｙｇ

哥德猜想有一个关于偶数的猜想，一个关于奇数的猜想，奇数的猜想已经变成定理了，偶数猜想还是定律，还不是定理．所以这是数学和自然科学的一个差别．

数学跟人文社科之间有什么差别呢？从学术体系上说，数学的公理是明确的，就是假设什么不假设什么，都说的很明白，方法是公认的．因此在数学领域人人平等，别管是岁数大岁数小，大家的地位是平等的，数学这门学问最容易大家平等．但人文或者社科有很多特点，首先是公理不明确的，假设什么不假设什么通常都没有明说．可能是学科的原因吧，那本来就说不明．方法很灵活，为了证明别人不对，可以引用他二舅说的一句话都可以．你要是想把这个学说应用于

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数学通报　　　　　　　　２０１２年　第５１卷　第５期

来看，时间和空间都是有限的．

先说宇，宇有限．空间里面所存在的基本粒子总数，都是可以算出来的，整个宇宙空间所存在的基本粒子总数，其中包括质子、中子，以及中微子和没有静止质量的光子不超过１０的８０次方．

再说宙，宙有限：宇宙的年龄＜１５０亿年．

也就是说从大爆炸算起到现在也就１５０亿年．

为了说明这门关于无穷大的学问有强大的思想力，我给大家举一个有趣的例子．大家知道伽利略是个非常了不得的物理学家，我们看这个最伟大的物理学家做了些什么？他不是在体育操场扔铅球吗？这事他确实干过，而且还不是扔了一回，扔了很多回．伽利略已经注意到，如果平投铅球，力度越大，铅球的落地点就离塔根越远．伽利略做的另一个著名的实验是自由落体实验．

物理试验的缺点是，少了点数学强大的思想力．牛顿从这个试验出发考虑，如果平投的力量足够大的话，这个球围着地球转圈就回不来了，因为地球是圆的．这是牛顿率先发现的，不是伽利略．

社会的话，就很容易出现谁官大谁有理．从学术体系上说，数学在一个体系内是自洽的，所以矛盾的结论至少有一个错误，当然有可能两个都是错的．因此数学家之间一般来说是互相欣赏的，你可以不喜欢某个数学家，但是你不能肆意诋毁他的数学，他的数学只有对与不对，你不能说你不喜欢他的数学．你不喜欢他的数学，他的数学也是对的．所以数学家之间很少相互攻击．

在人文社科领域，本身就是不自洽的，矛盾的结论可以共生，甚至于自己跟自己都可以有矛盾，这是允许的．在人文社科领域，经常有商榷，经常争鸣．数学中很少见谁和谁商榷，两个矛盾的结论至少有一个不对．有一句比较难听的话，是一位著名的哲学家说的：我是靠着对手身上的污垢过日子的．在当代，在黑格尔以后，如果你想成为一个大的哲学家，你不批判黑格尔是成功不了的．整天歌颂黑格尔是没有任何希望的，所以一定要争鸣一定要商榷，争鸣商榷成就了一批大哲学家．

在数学界，如果整天要骂高斯可能就比较麻烦．这有两段对话，可以某种程度上反映这件事．大家知道，拉格朗日和拉普拉斯是两大数学家，也是两个天体力学家，两人都写过关于天体天体力力学方面的著作．拉格朗日的著作叫做《，拉普拉斯的著作叫做《，都是宇宙体系论》学》

名著．拿破仑是两人的好朋友．这个皇帝曾经问过两个人同一句话：在你关于宇宙体系的书中，怎么竟然没有提到上帝？这问题很有意思．拉格朗日说，引入这个假设，我们会得出许多更有趣的结论．拉普拉斯就说的更直接：我不需要这个假设．

３　数学文化人

数学文化人是什么样的，很难说．数学对人有什么影响呢？第一，数学有强大的思想力；第二，数学使人周密；第三，数学使人；第四，数学使人不器．３．１　数学有强大的思想力

要说数学给人以强大的思想力，简单的原因是只有数学能够处理无穷．为什么处理无穷显示强大的思想力呢？因为宇宙是有限的．

《说文解字》说，上下四方曰宇，古往今来谓宙．即宇＝空间，宙＝时间．用天体力学的观点

牛顿是把伽利略的观察推到了极致，推到了极限，因此牛顿是个伟大的数学家．这个例子我认为可以体现数学强大的思想力．３．２　数学使人周密

培根在《论说文集》中写道：

读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞使人善辩，凡有所学，皆成性格．３．３　数学使人

数学确实是使人的一门学问，如果你认为真有一个上帝的话，无论他是自然的精神还是

２０１２年　第５１卷　第５期　　　　　　　　数学通报一个人格化的上帝，数学本质上是数学家跟上帝之间的对话．

做数学研究的人是非常孤独的．很热闹，跟唱戏似的人做不了数学研究．数学就是康德所说的那种仰望星空．所以数学是使人的．作为副产品，数学家总是处在社会的边缘．数学学问决定了我们不属于社会的中心，不能改变社会，也不能带来财富．所以诸位同学要认识到，学习数学虽然有很多好处，也有很多不好的地方，做数学你是当不成政治家和商人的．但是不做数学，凭着数学素养你可以打天下，没问题．３．４　数学使人不器

为什么这么说呢？因为数学是思想，是一股强大的思想力．它不是工具，或者说不只是工具．

孔子在《论语》里说到，君子不器．意思是说，君子不是一个简单的瓶子，不单单用来装水；也不会就像一个螺丝钉一样，拧到哪里就在哪里闪闪发光．君子应该在很多方面，都有领悟，有作为，而且是有思想的．意思是说，真正有能力的人不会去做具体的事情，知识分子的最高使命是价值的承担者．

君子不器，也有缺点，就是专业不太明朗．比如问，孔子的专业是什么？射箭的？弹琴的？老师？好像都不太贴切．

数学就是门不器之学．

４　哲学的指导

哲学的指导的地点是在科学未及的地方进行臆测．

站在这黄线上往外看，可以随意想象，这很安全，后来改变主意，自己跟自己矛盾这都无所谓．

对于内部，对于科学已经有的定论本身别臆测，别指导．当然对这个定论之间的关系仍然可以臆测，没有关系．

科学家和哲学家打架，哲学家就没有赢过．举个例子，大家都知道Ｚｅｎｏ悖论：Ａｃｈｉｌｌｅｓ跑得再快，也追不上乌龟．实际上这件事要是用初中高中数学的语言很容易说清楚，为什么呢？Ａｃｈｉｌｌｅｓ的速度假如是乌龟的１０倍，当Ａｃｈｉｌｌｅｓ

／跑到乌龟的位置的时候，乌龟就又往前跑了１／１０了，Ａｃｈｉｌｌｅｓ跑了１１０的时候，乌龟又跑了

５

／／／１１００了，就这样，因为１＋１１０＋１１００＋…都

加起来，Ｚｅｎｏ不知道这个等于多少，所以你看这个过程永远也就终止不了．但是现在我们知道，这个无穷级数加起来不等于无穷，Ｚｅｎｏ不知道这个等于多少，很多哲学家也不知道等于多少，觉得这个题很难．我们知道，等于九分之十．也就是说，时间很快就过去，过去之后，Ａｃｈｉｌｌｅｓ就超过乌龟了．所以科学有定论的地方，哲学就别指导了，否则添乱．

黑格尔是伟大的哲学家，他也不是永远都英明．我讲一个他丢人的故事，当时已经知道太阳系有七颗行星的时候，很多人都在找第八第九颗，包括高斯．黑格尔写了一篇文章说，你们这帮家伙都特愚蠢，不要试图找第八颗行星了，因为只要稍稍留意一下哲学就立刻会明白，太阳系只能有７颗行星，不能多也不能少．

好几百年人也没明白他的说法．因为哲学是个人的学问，人跟人的哲学不一样．就是你的哲学只能指导你，你别拿你的哲学指导你儿子，你儿子可能勃然大怒，你别拿你的哲学指导你邻居．我们为什么不喜欢美国人，就是因为美国人老拿自己的哲学指导我们，指导的我们十亿人都不高兴．所以哲学的指导一定要记住，被指导的对象是你自己，你别拿你的哲学去指导别人，当然别人拿别人的哲学指导你，你有权勃然大怒，指导的范围是科学之外，科学有定论的事哲学就别指导了，越指导越乱．

我给大家报告一下另眼看数学，就是别的学问家是怎么评价数学的．

罗素说，为了建立一个健康的哲学，应该抛弃形而上学，当一个好的数学家．（Ｔｏｒｅａｔｅ　ｃ　ａｈｅａｌｔｈｈｉｌｏｓｏｈｏｕｙｐｙ　ｐ　ｙｓｈｏｕｌｄｅｎｏｕｎｃｅｅｔａ　ｒ　ｍ－ｈｓｉｃｓｕｔｅｏｏｄ　ｂ　ｂ　ａ　ｇｐｙ

）他所说的形而上学的意义跟我ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｉａｎ．刚才说的不太一样，指的是哲学基本上可靠的内容，就是来自于数学，这是他的原话．天文学说数学是唯一好的形而上学，抽象的学问当中只有数学是好的，其他的全是臆测、胡说．

（下转第１１页）

２０１２年　第５１卷　第５期　　　　　　　　数学通报

’ｆ），ｓｔｕｄｅｎｔｓｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅａｓｏｎｉｎ．ＩｎＬ．Ｓｔｒｅｅｆｌａｎｄ（Ｅｄ．　　ｇ，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ９ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９８５．　　　　　　ｇ１８４１３～４

，Ｌ，＆Ｖ，Ｓ．Ｃ５　Ｌｉｎｃｈｅｖｓｋｉｎｎｅｒａｎｏｎｉｃａｌｒｅｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓｏｆ　　ｙｐ

ｆｒａｃｔｉｏｎｓａｓｃｏｎｉｔｉｖｅｏｂｓｔａｃｌｅｓｉｎｅｌｅｍｅｎｔａｒｔｅａｃｈｅｒｓ．ＩｎＧ．　　　　　　ｇｙ　，，＆Ｍ．Ａ），Ｊ．Ｒｏａｌｓｋｉｒｔｉｕｅ（Ｅｄｓ．ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｓＶｅｒｎａｕｄｇｇｇｇ，ｏｆｔｈｅ１３ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９８９，２４２～２４９　　　　　，，＆Ｈ，Ｒ．Ｃ６　ＶｉｎｎｅｒＳ．ｅｒｓｈｋｏｗｉｔｚｏｎｃｅｔｉｍａｅｓａｎｄｃｏｍ－　　　ｐｇ

ｍｏｎｃｏｎｉｔｉｖｅｉｎｔｈｅｄｅｖｅｌｏｍｅｎｔｏｆｓｏｍｅｓｉｍｌｅａｔｈｓｅｏ　　　　　　　　　－ｇｐｐｐｇ），ｍｅｔｒｉｃａｌｃｏｎｃｅｔｓ．ＩｎＲ．Ｋａｒｌｕｓ（Ｅｄ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ　　　　ｐｐｇ，４ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９８０．１７７～１８４　　　

，）：ｒｏｃｅｄｕｒａｌ７　ＨｉｅｂｅｒｔＪ．（Ｅｄ．．Ｃｏｎｃｅｔｕａｌａｎｄｋｎｏｗｌｅｄｅ　　　ｐｐｇ

，Ｎ，ＵＴｈｅｃａｓｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．ＨｉｌｌｓｄａｌｅＪＳＡ：Ｌａｗｒｅｎｃｅ　　　Ｅｒｌｂａｕｍ．１９８６

，Ｍ．Ａ．Ｐ’ｋｉｍｏｎｒｏｓｅｃｔｉｖｅｅｌｅｍｅｎｔａｒｔｅａｃｈｅｒｓｎｏｗｌｅｄｅ８　Ｓ　ｐｙｇ　

，Ｐ．Ｃ，＆Ｔ．Ｎ．Ｍｄｉｖｉｓｉｏｎ．ＩｎＧ．Ｂｏｏｋｅｒｏｂｂｅｎｄｉｃｕｔｉｏｆ　　（），ＰＥｄｓ．ｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ１４ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒ　　　　　　－ｇ，ｅｎｃｅ１９９０．３１３～３２０

，：ＫｈｕｌｍａｎＬ．Ｓ．Ｔｈｏｓｅｗｈｏｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｎｏｗｌｅｄｅ９　Ｓｒｏｗｔｈ　　　ｇｇ

，（），ｔｅａｃｈｉｎ．ＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＲｅｓｅａｒｃｈｅｒ１９８６．１５２４～１４ｉｎ　　ｇ，Ｆ．Ｔ：Ａｒａｃｔｉｃａｌ１０　Ｅｌｂａｚｅａｃｈｅｒｔｈｉｎｋｉｎｓｔｕｄｏｆｋｎｏｗｌ　　　　－ｇｙｐ　

，ＵＫ：ｅｄｅ．ＬｏｎｄｏｎＣｒｏｏｍ　Ｈｅｌｍ．１９８３ｇ

，Ｊ１１　Ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌｏｎｔｅ．Ｐ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｅｒｓ’ｐｋｎｏｗｌ　　－），ｅｄｅ．ＩｎＪ．Ｐ．Ｐｏｎｔｅ＆Ｊ．Ｆ．Ｍａｔｏｓ（Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓ　　ｇｇ，ｏｆｔｈｅ１８ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９９４．１９５～２１０　　　　　，Ｏ．Ｔ：Ａ’ｐｒｏｂｌｅｍｅｒ１２　Ｃｈａｍａｎｅａｃｈｉｎｓｏｌｖｉｎｔｅａｃｈｅｒｓ　　－ｐｐｇｇ　

），ｓｅｃｔｉｖｅ．ＩｎＪ．Ｐ．Ｐｏｎｔｅ＆Ｊ．Ｆ．Ｍａｔｏｓ（Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓ　　ｐｇ，ｏｆｔｈｅ１８ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９９４．１６８７５　　　　　～１，，＆Ｍ，’ｖｅｎＲ．ａｒｋｏｖｉｔｓＺ．Ｔｅａｃｈｅｒｓｋｎｏｗｌ１３　Ｅｅｄａｏｉｃａｌ　－ｐｇｇ

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１１

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，Ｍ．Ｅ１５　Ｓｃｈｏｍｍｅｒｘｌａｉｎｉｎｔｈｅｅｉｓｔｅｍｏｌｏｉｃａｌｂｅｌｉｅｆｓｓ　　　－ｐｇｐｇｙ　

ｔｅｍ：Ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｔｈｅｅｍｂｅｄｄｅｄｓｓｔｅｍｉｃｍｏｄｅｌａｎｄｃｏｏｒｄｉ　　　　　－ｇｙ　，２ｎａｔｅｄｒｅｓｅａｒｃｈａｒｏａｃｈ．ＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＰｓｃｈｏｌｏｉｓｔ００４．　　　ｐｐｙｇ（）３９１

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ｄｏｎ，ＵＫ：ＦａｌｍｅｒＰｒｅｓｓ．１９９１　

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：’ｔｏｒｓＴｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｎｔｅａｃｈｅｒｓｂｅｌｉｅｆｓ．ＩｎＬ．Ｐｕｉ＆Ａ．　　　　　ｇ　），Ｇｕｔｉｅｒｒｅｚ（Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ２０ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎ　　　　　－ｇ，ａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ１９９６．３６３～３７０　

，Ｔ．Ｄ１８　Ｗｏｏｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅｓｉｎｔｅａｃｈｉｎｆｏｒｃｏｎｃｅｔｕａｌｕｎｄｅｒ　　　　－ｇｐ　

ｓｔａｎｄｉｎｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．ＩｎＡ．Ｏｌｉｖｉｅｒ＆Ｋ．Ｎｅｗｓｔｅａｄ　　　ｇ　（），Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ２２ｎｄＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒ　　　　　　－ｇ，ｅｎｃｅ１９９８．１９３～２００

，Ｓ．，＆Ｄ，Ｂ．Ｐ１９　Ｇｒｏｖｅｓｏｉｒｏｒｅｓｓｉｖｅｄｉｓｃｏｕｒｓｅｉｎｍａｔｈｅ　　　－ｇｇ

？ｍａｔｉｃｓｃｌａｓｓｅｓＴｈｅｔａｓｋｏｆｔｈｅｔｅａｃｈｅｒ．ＩｎＭ．Ｊ．Ｈｏｉｎｅｓ　　　　　　），＆Ａ．Ｂ．Ｆｕｌｅｓｔａｄ（Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ２８ｔｈＰＭＥ　　　　ｇｇ，ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅ２００４．４９５～５０２　

，Ｊ，ｃｄｌｅｒ．Ｐａｒｔｉｃｉａｔｏｒｉｎｕｉｒｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｖｅ２０　Ａｅｄａｏｐｙｑｙｐｇｇｙ　　

ｃｏｍｅｔｅｎｃｅａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｋｎｏｗｌｅｄｅｉｎａｍｕｌｔｉｌｉｎｕａｌ　　　　　　ｐｇｇｉｎｅｔｔｅ．Ｉｎｅｉｒａａｒｒａｈｅｒｃｌａｓｓｒｏｏｍ：Ａ　ｖ　Ｌ．Ｍ　＆Ｄ．Ｃｇ（），Ｅｄｓ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ１９ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒ　　　　　　－ｇ，ｅｎｃｅ１９９５．２０８～２１５

，Ｅ．Ｃ２１　ＷｅｎｅｒｏｍｍｕｎｉｔｉｅｓｏｆＹｏｒｋ，ＵＳＡ：ｒａｃｔｉｃｅ．Ｎｅｗ　　　ｇｐ

ＣａｍｂｒｉｄｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔＰｒｅｓｓ．１９９８　ｇｙ　

，Ｂ．Ｓａｗｏｒｓｋｉｏｍｅｉｍｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆａｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｉｓｔ２２　Ｊｈｉｌｏｓｏ　　　　　－ｐｐ

ｆｏｒｔｈｅｔｅａｃｈｅｒｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．ＩｎＦ．Ｆｕｒｉｎｈｅｔｔｉｈ　　　　　ｇｐｙ　（），Ｅｄ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｓｏｆｔｈｅ１５ｔｈＰＭＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒ　　　　　　－ｇ，ｅｎｃｅ１９９１．２１３～２２０

（上接第５页）

我们看爱因斯坦，我取了爱因斯坦的两段话，第一段话是这么说的，数学归根结底只是人类思想于自然的创作，……但是这种创作为什么这么令人尊重的

切合于实际呢？这是他作为物理学家一直在问的问题，他还有一句很有名的话，我非常欣赏：只要是数学的定律不涉及自然，就是确切的，只要他是确切性的时候，他就不说自然．意思是，把数学跟现实事件贴合的时候，贴合不了那么好，

所以最后出现了不确定情况．这是他作为物理学家一个很深刻的体会．

达尔文说，任何发现在形式上都是数学，因为离开了数学我们没有其他的向导，我们没有其他的导引，只有数学才是这种新发现的导引．

这是几位著名的科学家在他们科学研究当

中对数学的理解和评论．我就汇报到这，谢谢大家！