一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合𝑈={0,1，2，3}，𝐴={0,1，3}，𝐵={1,2}，则𝐴∩(∁𝑈𝐵)=( )
A. {0,3}
2. 给出下列命题：
B. {1,3} C. {1} D. {0}
①存在每个面都是直角三角形的四面体；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ③棱台的侧棱延长后交于一点；
④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑘𝑥−2在[5,+∞)上是单调函数，则k的取值范围是( )
A. (−∞,5]
C. (−∞,5]∪[10,+∞)
4. 今有一组实验数据如下：
x y 1.99 1.5 3.0 4.04 B. [10,+∞) D. ⌀
4.0 7.5 12 5.1 6.12 18.01 分别用下列函数模型来拟合变量y与x的相关关系，其中拟合效果最好的是( )
−1 A. 𝑦=𝑥2
2
𝑥 B. 𝑦=log 1
2
C. 𝑦=log2𝑥
D. 𝑦=2𝑥−2
𝑦≥𝑥
5. 设不等式组{𝑦≥−𝑥表示的平面区域为A，不等式𝑦≥𝑎𝑥2+𝑏(𝑏<0,b为常数)表示的平面区域
𝑦≤1
为B，𝑃(𝑥,𝑦)为平面上任意一点，p：点𝑃(𝑥,𝑦)在区域A内，q：点𝑃(𝑥,𝑦)在区域B内，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A. 0≤𝑎<1−𝑏 B. 0<𝑎≤1−𝑏 C. 0≤𝑎≤1−𝑏 D. 𝑎≤1−𝑏
6. 某校开设5门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选1门或2门课学习，甲、乙、丙三位
同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( )
A. 330种 B. 420种 C. 510种 D. 600种
7. (𝑥−√𝑥)8的二项展开式中，𝑥2的系数是( )
1A. 70 B. −70 C. 28 D. −28
8. 已知随机变量𝑋～𝑁(0,𝜎2)，若𝑃(0<𝑋<1)=0.4，则𝑃(|𝑋|>1)的值为( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6
9. 一个袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取
一个球，共取2次，则取得两个球的编号和小于15的概率为( )
A. B. C. D.
10. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个白球的概率是( )
A. 10
1
B. 10
3
C. 5
的一边，则点
3
D. 10
为直径在其内部作
9
11. 如图所示，以边长为1的正方形
一半圆。若在正方形中任取一点为( )
恰好取自半圆部分的概率
A. B. C. D.
12. 为调查学生身高的情况，随机抽测了高三两个班120名学生的身高(单位：𝑐𝑚)，所得数据均在
区间[140,190]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的120名学生中，身高位于区间[160,180)上的人数为( )
A. 70 B. 71 C. 72 D. 73
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
30个初中生、50个高中生组成的总体中，13. 对由20个小学生、按分层抽样抽取容量为n的样本．如
果在被抽取的样本中有9名初中生，则在这次抽样中每个个体被抽到的概率为______ ． 14. 已知(3𝑥2−√𝑥)𝑛的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是______ ． 15. 如图，小明和小丁做游戏，分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为奇数时，小
明得2分，当所转到的数字之积为偶数时，小丁得1分，这个游戏公平吗？______ ．
1
16. 已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取𝑖(𝑖=1,2)个
球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数𝜉𝑖(𝑖=1,2)，则𝐸(𝜉1)+𝐸(𝜉2)的值为______ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑐𝑜𝑠𝑥．
(1)当𝑎=2时，求函数𝑓(𝑥)的极值点； (2)若𝑓(𝑥)在区间(−
18. (1)求使得(3𝑥+𝑥√𝑥)𝑛(𝑛∈𝑁∗)的展开式中含有常数项的最小的n为？
(2)对于(1)中求得的n，从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派n人组成一个抗震救灾医疗小组，求骨科，脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数？(用数字作答)
13𝜋3𝜋2
1
,
√2
)4𝑎∈(𝑁,𝑀)内有且仅有个零点的充要条件为，求证：． 𝑀−𝑁<2
8
19. 高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数
学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将我市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下： 选考物理、化学、生物的科目数 人数 1 5 2 25 3 20 (Ⅰ)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； (Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．
20. 某城市新开一大型楼盘，由于该楼盘位于城市的黄金地段，预售场面异常火爆，故该楼盘开发
商采永房屋竞价策略，完价的基本规则是：①所有参与竞价的的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期房屋配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2019年10月份的房屋竞拍，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参完价的人数(如表)
月份 月份编号t 竞拍人数𝑦(万人) 1 2019.05 2 0.5 2019.06 3 0.6 1 2019.07 4 2019.08 5 1.4 2019.09 1.7 (1)由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数𝑦(万人)与月份编号t之间的相关关系．
^，并预测2019年10月份(月份编号(2)请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：^𝑦=^𝑏𝑡+𝑎为6)参与竞拍的人数；
(2)某市场调研机构对200位拟参加2019年10月份房屋竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表： 报价区间(万元/𝑚) 2[1,2) 20 60 [2,3) 60 −[3,4) 30 [4,5) 20 [5,6) 10 [6,7) 频数 (𝑖)求这200位竞拍人员报价X的平均值𝑥和样本方差𝑠2(同一区间的报价用该价格区间的中点值代替)；
(𝑖𝑖)假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，且𝜇与𝜎2可分別出(𝑖)中所求的样本平均数𝑥及𝑠2估计．若2019年10月份计划发放房源数量为3174，请你合测(需说明理由)竞拍的最低成交价
−−∑𝑥2^𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦，̂𝑥^^参考公式及数据：回归方程，其中；②∑5①̂𝑎=𝑦−𝑏𝑦=𝑏𝑥+𝑎𝑏=∑−𝑖=1𝑡𝑖=55，𝑛22
𝑖=1𝑥𝑖
−
̂
−−
−𝑛𝑥
∑5则𝑃(𝜇−𝜎<𝑍<𝜇+𝜎)=③若随机变量Z服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，√1.7≈1.3；𝑖𝑡𝑖𝑦𝑖=18.8，
0.6826，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑍<𝜇+2𝜎)=0.9544，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑍<𝜇+3𝜎)=0.9974
𝑥
−
21. 袋中有2个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出1个
白球为止．求取球次数X的概率分布列．
22. 公车私用、超编配车等现象一直饱受诟病，省机关事务管理局认真贯彻落实党、有
关公务用车配备使用管理办法，积极推进公务用车制度改革．某机关单位有车牌尾号为2的汽车A和尾号为6的汽车B，两车分属于两个业务部门．为配合用车制度对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A车日出车频率0.6，B车日出车频率0.5，该地区汽车限行规定如下： 车尾号 0和5 1和6 2和7 3和8 4和9 限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A，B两车出车情况相互． (1)求该单位在星期一恰好出车一台的概率；
(2)设X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X的分布列及其数学期望𝐸(𝑋)．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：∵集合𝑈={0,1，2，3}，𝐴={0,1，3}，𝐵={1,2}， ∴∁𝑈𝐵={0,3}， ∴𝐴∩(∁𝑈𝐵)={0,3}． 故选：A．
先求出∁𝑈𝐵，由此能求出𝐴∩(∁𝑈𝐵)．
本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.答案：C
解析：解：对于①，存在每个面都是直角三角形的四面体，如四面体𝐵1𝐴𝐵𝐷，故①正确；
对于②，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直， 比如正方体点的三个相邻平面，故②正确；
对于③，由棱台的定义可得棱台的侧棱延长后交于一点，故③正确； 对于④，用一个平行于底面的平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分是棱台，故④错误． 故选：C．
由正方体中四面体𝐵1𝐴𝐵𝐷，可判断①；由线面垂直推导面面垂直可判断②； 运用棱台的定义可判断③④．
本题考查棱锥、棱台的定义和空间线面垂直于面面垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．
3.答案：A
解析：解：函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑘𝑥−2的图象开口朝上，且以直线𝑥=𝑘为对称轴， 若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑘𝑥−2在[5,+∞)上是单调函数， 则𝑘∈(−∞,5]， 故选：A．
函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑘𝑥−2的图象开口朝上，且以直线𝑥=𝑘为对称轴，结合已知中函数的单调性，可
得k的取值范围．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
4.答案：A
解析：解：由已知中的数据可得：变量y与x存在正相关关系，故排除B； 而且随着x的增大，y的加速增长， 故排除CD， 故选：A．
由已知中的数据分析变量y与x的变化规律，结合给定四个函数的图象和性质，可得答案． 本题考查的知识点是变量间的相关关系，函数的图象和性质，难度中档．
5.答案：D
𝑦≥𝑥
解析：解：画出由不等式组{𝑦≥−𝑥表示的平面区域A，
𝑦≤1又p是q的充分不必要条件，即点𝑃(𝑥,𝑦)在区域A内则必在平面区域B内，
由于不等式𝑦≥𝑎𝑥2+𝑏(𝑏<0,b为常数)表示的平面区域B表示抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏的阴影部分，根据图形得，只须点𝐵(1,1)在𝑦≥𝑎𝑥2+𝑏表示的区域内即可，即1≥𝑎×12+𝑏 所以𝑎≤1−𝑏． 故选D．
𝑦≥𝑥
先画出由不等式组{𝑦≥−𝑥表示的平面区域A；再由p是q的充分不必要条件，知点𝑃(𝑥,𝑦)在区域A
𝑦≤1内则必在平面区域B内，而反之不成立，则可求出a的取值范围．
本题考查充要条件，求解的关键是正确理解充分不必要条件的含义，并能根据其含义对所给的条件进行正确转化．
6.答案：A
解析：解：由题意，若都选1门，有𝐴35=60种；
122若有1人选2门，则有𝐶3𝐶5𝐴3=180种， 222若有2人选2门，则有𝐶3𝐶5𝐶3=90种，
故共有60+180+90=330种， 故选：A．
分类讨论，利用排列组合知识，即可得出结论．
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查排列组合知识的运用，属于中档题．
7.答案：A
𝑟解析：解：根据二项式定理，(𝑥−√𝑥)8的通项为𝑇𝑟+1=𝐶8⋅(−1)𝑟⋅𝑥8−2𝑟，
13
当8−2𝑟=2时，即𝑟=4时，可得𝑇5=70𝑥2． 即𝑥2项的系数为70， 故选：A．
利用二项展开式的通项公式求出第𝑟+1项，令x的指数为2求出展开式中𝑥2项的系数． 本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．
3
8.答案：B
解析：解：由随机变量𝑋～𝑁(0,𝜎2)，可得正态分布曲线的对称轴为𝑥=0， 又𝑃(0<𝑋<1)=0.4，
∴𝑃(|𝑋|>1)=1−2𝑃(0<𝑋<1)=1−2×0.4=0.2． 故选：B．
由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由𝑃(0<𝑋<1)=0.4，结合正态分布曲线的对称性求𝑃(|𝑋|>1)的值．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量𝜇和𝜎的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
9.答案：D
解析：两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7,8)，(8,7)，(8,8)，则两球编号之和不小于15的概率为.因此，两个球的编号和小于15的概率为1−=．
10.答案：B
解析：解：从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，
3
基本事件总数𝑛=𝐶5=10，
21所取的3个球中至少有2个白球包含的基本事件个数𝑚=𝐶2𝐶3=3，
则所取的3个球中至少有2个白球的概率是𝑝=故选：B．
𝑚𝑛
=10．
3
321基本事件总数𝑛=𝐶5=10，所取的3个球中至少有2个白球包含的基本事件个数𝑚=𝐶2𝐶3=3，由
此能求出所取的3个球中至少有2个白球的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.答案：C
解析：试题分析：阴影的面积为
，正方形
的面积为
，则点
恰好取自半
圆部分的概率为考点：几何概型的概率
。故选C。
点评：求几何概型的概率，就是求出事件占总的比例。此类题目是基础题。
12.答案：C
解析：解：根据频率分布直方图，得； 学生的身高位于区间[160,180)上的频率为 (0.040+0.020)×10=0.6， ∴对应的人数为 120×0.6=72． 故选：C．
根据频率分布直方图，利用频率=
频数样本容量
，求出对应的频数即可．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．
13.答案：10
解析：解：根据分层抽样的规则，如果在被抽取的样本中有9名初中生，则按2：3：5的比例，小学生有6名，高中生15名，则𝑛=30， ∴在这次抽样中每个个体被抽到的概率为10． 故答案为：10．
根据分层抽样的规则，求出n，即可求出在这次抽样中每个个体被抽到的概率． 本题考查分层抽样，考查每个个体被抽到的概率，比较基础．
3
3
3
14.答案：−24
解析：解：(3𝑥2−√𝑥)𝑛的展开式中，令𝑥=1可得各项系数之和为(3−1)𝑛=256，求得𝑛=8，
7则(3𝑥2−√𝑥)𝑛=(3𝑥2−√𝑥)8的展开式中第7项是𝑇7=𝐶8⋅3⋅(−1)7⋅𝑥−6=−24𝑥−6，
1117
17
1故展开式中第7项的系数是−24， 故答案为：−24．
令𝑥=1可得各项系数之和，再根据各项系数之和为256，求得n的值，再根据二项式展开式的通项公式，求得展开式中第7项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
15.答案：公平
解析：解：根据题意分析可得：共6种情况；为奇数的2种，为偶数的4种．故𝑃(奇数)=3𝑃(偶数)=3∵3×2=3×1∴这个游戏对双方是公平的．
2
1
2
1
故答案为：公平．游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．此题考查
的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.答案：7
解析：解：甲盒中含有红球的个数𝜉1的取值为1，2，
3
则𝑃(𝜉1=1)=𝐶41=7，𝑃(𝜉1=2)=𝐶1=7．
7
7
23
𝐶1
4
𝐶1
3
则𝐸(𝜉1)=1×7+2×7=
43107
；
甲盒中含有红球的个数𝜉2的取值为1，2，3， 则𝑃(𝜉2=1)=𝐶42=7，𝑃(𝜉2=2)=
7
𝐶2
2
1𝐶1𝐶342𝐶7
=，𝑃(𝜉2=3)=3=．
7𝐶27
7
4
𝐶2
1
则𝐸(𝜉2)=1×7+2×7+3×7=∴𝐸(𝜉1)+𝐸(𝜉2)=故答案为：7．
23
107
241137
．
+
137
=
237
．
分别求出𝐸(𝜉1)与𝐸(𝜉2)的值，作和得答案．
本题考查离散型随机变量的期望及其求法，是中档题．
17.答案：解：(1)∵𝑎=2，
∴𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑐𝑜𝑠𝑥，
21
1
∴𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑓′′(𝑥)=1+𝑐𝑜𝑠𝑥≥0， ∴𝑦=𝑓′(𝑥)在R上单调递增， 又𝑓′(0)=0，
∴当𝑥∈(−∞,0)时，𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，当𝑥∈(0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增， ∴𝑥=0是函数𝑓(𝑥)的极小值点，无极大值点； (2)证明：当𝑥=0时，𝑓(𝑥)≠0，故𝑓(𝑥)=0等价于𝑎=令ℎ(𝑥)=
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥2𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥2，𝑥∈(−
3𝜋2
,0)∪(0,
3𝜋2
)，
，则ℎ′(𝑥)=
−𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥−2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥4
=−
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥3
，
𝜋
①当𝑥∈(0,2)时，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减，当𝑥→0时，ℎ(𝑥)→+∞，ℎ(2)=0， ②当𝑥∈(2,𝜋)时，令𝜑(𝑥)=𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥，则𝜑′(𝑥)=𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥<0，𝜑(𝑥)单调递减，
𝜋
又𝜑(2)=
𝜋𝜋2𝜋
>0,𝜑(𝜋)=−2<0，故存在𝑥0∈(,𝜋)，使得𝜑(𝑥0)=0，
2
𝜋
𝜑(𝑥)>0，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减，𝜑(𝑥)<0，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)且当𝑥∈(2,𝑥0)时，当𝑥∈(𝑥0,𝜋)时，单调递增； ③当𝑥∈(𝜋,
3𝜋2
)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增；
3𝜋2
综上𝑦=ℎ(𝑥)在(0,𝑥0)单调递减，在(𝑥0,
)单调递增，
3𝜋2
由于𝑦=ℎ(𝑥)为偶函数，只需函数𝑦=ℎ(𝑥)与𝑦=𝑎在(0,∵ℎ(0)→+∞，ℎ(2)=0，ℎ(𝑥0)<0,ℎ(2)=0， ∴𝑀=ℎ()=0,𝑁=ℎ(𝑥0)，
23𝜋
𝜋
3𝜋
)上有两个交点，
以下估计𝑁=ℎ(𝑥0)的范围： ∵𝜑(4)=
3𝜋
√22
×(4−2)>0，𝜑(6)=12−√3<0， )，
2，−√<𝑐𝑜𝑠𝑥0<−√,𝑥0>()2>
2
2
4
323𝜋
8116
3𝜋5𝜋5𝜋
∴𝑥0∈(4,又ℎ(𝑥0)=∴𝑁+
√28
3𝜋5𝜋
6
𝑐𝑜𝑠𝑥0𝑥0
>5，
=
𝑐𝑜𝑠𝑥0𝑥0
+
√28
=
28𝑐𝑜𝑠𝑥0+√2𝑥0
28𝑥0
>
8×(−
√3)+√2×5228𝑥0
>0，
∴𝑁>−
√2， 8
√2，结论得证． 8
∴𝑀−𝑁=−𝑁<
(1)将𝑎=2代入，𝑓′′(𝑥)=1+𝑐𝑜𝑠𝑥≥0，解析：可得𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，则𝑦=𝑓′(𝑥)在R上单调递增，又𝑓′(0)=0，则易得函数𝑓(𝑥)的单调性情况，进而求得极值点； (2)依题意，𝑓(𝑥)=0等价于𝑎=单调递减，在(𝑥0,
3𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥21
，𝑥∈(−
3𝜋2
,0)∪(0,
3𝜋
)，令ℎ(𝑥)=
2
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑥2，求导可知ℎ(𝑥)在(0,𝑥0)
3𝜋2
)单调递增，而𝑦=ℎ(𝑥)为偶函数，故只需函数𝑦=ℎ(𝑥)与𝑦=𝑎在(0,2
)上有两
2个交点，由𝑀=ℎ(2)=0,𝑁=ℎ(𝑥0)，接下来估计𝑁=ℎ(𝑥0)的范围，可得𝑁>−√，由此即可得证．
8
3𝜋
本题考查函数的单调性，导数及其应用，不等式等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于较难题目．
𝑟18.答案：解：(1)由于(3𝑥+𝑥√𝑥)𝑛(𝑛∈𝑁∗)的展开式的通项公式为𝑇𝑟+1=𝐶𝑛⋅(3𝑥)𝑛−𝑟⋅(𝑥√𝑥)−𝑟=
1𝑟
3𝑛−𝑟⋅𝐶𝑛⋅𝑥𝑛−2𝑟令𝑛−2𝑟=0，可得𝑛=2𝑟，其中𝑟=0，1，2，…𝑛．
555
故n的最小值为5，
(2)从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，
311
𝐶4𝐶5=20种， ①3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有𝐶3
131
𝐶4𝐶5=60种， ②1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有𝐶3
113
𝐶4𝐶5=120种， ③1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有𝐶3
221
𝐶4𝐶5=90种， ④2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有𝐶3
122
𝐶4𝐶5=180种， ⑤1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有𝐶3
212
𝐶4𝐶5=120种， ⑥2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有𝐶3
共计20+60+120+90+180+120=590种
骨科，脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数：590．
解析：(1)先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得n和r的关系，即可求得n的最小值．
(2)分类讨论，不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．
(1)题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．(2)题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．
19.答案：解：(Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A
则𝑃(𝐴)=
2+𝐶2+𝐶2
𝐶52520
2𝐶50
=49．
29
20
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为：1−𝑃(𝐴)=49． (Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0，1，2． 𝑃(𝑋=0)=
2+𝐶2+𝐶2
𝐶52520
2𝐶50
=49，𝑃(𝑋=1)=
20
1𝐶1+𝐶1𝐶1
𝐶5252025
2𝐶50
=49𝑃(𝑋=2)=
25
1𝐶1
𝐶5202𝐶50
=49．
4
从而X的分布列为 X P 0 20 491 25 492 4 49𝐸(𝑋)=0×49+1×49+2×49=49．
2025433
解析：(Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，利用古典概率概率计算公式、互斥件概率计算公式及其相互对立事件概率计算公式即可得出．
(Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0，1，2，利用古典概率概率计算公式、互斥件概率计算公式即可得出分布列与数学期望．
本题考查了古典概率概率计算公式、互斥件概率计算公式、相互对立事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.答案：解：(1)根据题意，得：𝑡=3，𝑦=1.04，
2
∑5𝑖=1𝑡𝑖
̂
=
55，∑5𝑖𝑡𝑖𝑦𝑖
̂
=18.8，∑𝑛∑𝑥𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦
−22
𝑖=1𝑥𝑖−𝑛𝑥
−−
=
18.8−5×3×1.0455−5×32=0.32．
则𝑎=𝑦−𝑏𝑡=1.04−0.32×3=0.08 从而得到直线的回归方程为𝑦=0.32𝑡+0.08． 当𝑡=6时，𝑦=0.32×6+0.08=2(万人)．
(2)(𝑖)根据表中给的数据求得平均值和方差为𝑥=200×1.5+200×2.5+200×3.5+200×4.5+×5.5+200×6.5=3.5(万元)． 200
𝑠2=200×(−2)2+200×(−1)2+0+200×12+200×22+200×32=1.7． (𝑖𝑖)竞拍成功的比率为𝑝=20000=0.1587， 由题意知𝑥−𝑁(3.5,1.7)，
所以𝑝(𝜇−𝜎<𝑥<𝜇+𝜎)=0.6826， 所以𝑝(𝑋≥𝜇+𝜎)=
1−0.6826
2
3174
20
60
30
20
10
20
10
−
20
60
30
30
=0.1587．
所以2019年10月份合测的竞拍的最低成交价𝜇+𝜎=4.8万元．
解析：(1)直接利用已知条件求出回归直线的方程． (2)(𝑖)利用已知条件求出平均数和方差． (𝑖𝑖)直接利用已知条件求出正态分布的相关的值．
本题考查的知识要点：回归直线的方程的应用，平均值和方差的应用，正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
21.答案：解：由题意知X的所有可能取值为：1，2，3，4，5；
则𝑃(𝑋=1)=𝐶21=3，
6
𝐶1
1
𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝑋=3)=𝑃(𝑋=4)=𝑃(𝑋=5)=
1⋅𝐶1𝐶42
𝐴26
=
4
15
，
1
1⋅𝐶1⋅𝐶1𝐶432
𝐴36
=5， =
215
1⋅𝐶1⋅𝐶1⋅𝐶1𝐶4322
𝐴46
，
1
1⋅𝐶1⋅𝐶1⋅𝐶1⋅𝐶1𝐶43212
𝐴56
=15；
∴取球次数X的概率分布列为： X 1 2 3 4 5 P 14121 31551515
解析：由题意知X的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率值即可． 本题考查了离散型随机变量的分布列问题，是基础题．
22.答案：解：(1)设A车在星期出车的事件为𝐴𝑖，B车在星期出车的事件为𝐵𝑖，𝑖=1，2，3，4，5．
由已知可得𝑃(𝐴𝑖)=0.6，𝑃(𝐵𝑖)=0.5， 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C，
因为A，B两车是否出车相互，且事件𝐴1𝐵1，𝐴1𝐵1互斥，…(2分) 所以𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴1𝐵1+𝐴1𝐵1)=𝑃(𝐴1𝐵1)+𝑃(𝐴1𝐵1) =0.6×(1−0.5)+(1−0.6)×0.5=0.5，…(4分) 所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5.…(5分) (2)𝑋的可能取值为0，1，2，3，…(6分)
𝑃(𝑋=0)=𝑃(𝐴1𝐵1)𝑃(𝐴2)=0.4×0.5×0.4=0.08，
𝑃(𝑋=1)=𝑃(𝐶)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐴1𝐵1)𝑃(𝐴2)=0.5×0.4+0.4×0.5×0.6=0.32，
𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝐴1𝐵1)𝑃(𝐴2𝑃+𝑃(𝐶)𝑃(𝐴2)=0.6×0.5×0.4+0.5×0.6=0.42,
𝑃(𝑋=3)=𝑃(𝐴1𝐵1)𝑃(𝐴2)=0.6×0.5×0.6=0.18.…(10分) 所以X的分布列为
X P 0 0.08 1 0.32 2 0.42 3 0.18 𝐸𝑋=0×0.08+1×0.32+2×0.42+3×0.18=1.7.…(12分)
解析：(1)设A车在星期出车的事件为𝐴𝑖，B车在星期出车的事件为𝐵𝑖，𝑖=1，2，3，4，5.由已知可得𝑃(𝐴𝑖)=0.6，𝑃(𝐵𝑖)=0.5，设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C，因为A，B两车是否出车相互，且事件𝐴1𝐵1，𝐴1𝐵1互斥，由此能求出该单位在星期一恰好出一台车的概率．
(2)𝑋的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及其数学期望𝐸(𝑋)． 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．
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