2018门头沟一模理试题&答案

门头沟区2018年高三综合练习（一）

数学（理）

选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 设全集U2018.4

一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个

0,1,2,3,4,5，集合A{1,3},B{3,5}，则CU(AUB)错误！未

找到引用源。=

A．｛0，4｝ B．｛1，5｝ C．｛2，0，4｝ D．｛2，0，5｝ 2. 复数z满足

zi23i，复数z对应的点在复平面的

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限 3.对于函数

f(x)asinxbxc(a,bR,cZ),计算

f(1)和

f(1)，所得出的正

确结果一定不可能是

A．4和6

2B．3和1 焦点F到双曲线C2C．2和4

:x2D．1和2

4. 抛物线y8xy231的一条渐近线的距离是

3A．1 B． C．3 D．

5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为

A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 1 / 13

6.在直角梯形ABCD中，AB是BC的中点，则PD94PA//CD,DAB900，且ABD2CD2AD2,P

为

52CPA． B．3 C．2 D．7. 已知函数

f(x)Asin(x)(A0,0,||)

AB的部分图像如图所示，则“m2”是

“函数

f(x)m对x[0,8]恒成立”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。 分值权重表如下： 总分 100% 技术 50% 商务 10% 报价 40% 技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。

在某次招标中，若基准价为1000（万元）。甲、乙两公司综合得分如下表： 公司 甲 技术 80分 商务 90分 报价 A甲分 2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 2 / 13

乙 70分 100分 A乙分 甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是

A．73，75.4 B．73,80 C．74.6,76 D．74.6 ,75.4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ） 9. (x21x)6的展开式中x6的系数是 。

10．某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300,300,400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，现在从答卷中随机抽取一张，恰好是高三学生的答卷的概率是 。

xtcos3(t为参数）截圆C:4cos11．直线ytsin3所

得的弦长为 。

12．某程序框图如图所示，则输出的结果

S是 。

13.椭圆C:xa22yb221(ab0)上的点P若满足

PF1PF2，F1,F2x2为椭圆的两个焦点，称这样的点P为椭圆的“焦垂点”。椭圆

xa224y221有 个“焦垂点”；请你写出椭圆C:yb221(ab0)上有4

个“焦垂点”时所满足的条件 。

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14．已知函数

lnxf(x)22(x3a1)(2a1)axaxa，若存在正实数b使得

g(x)f(x)b有四个不同的零点，则正实数a的取值范围 。

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分） 在ABC中，B=120o，ABA2, ，

DB的角平分线AD3, CA（1）求ADB的大小； （2）求AC的长。

16．（本小题满分13分）2022年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下： 身份 人数 小学生 40 初中生 20 高中生 10 大学生 20 职工 10 合计 100 注:将上表中的频率视为概率

(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；

(2) 若将上表中的频率视为概率，X表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X的分布列及期EX。

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17.（本小题满分13分）在四棱锥PABCD中，

PAB//CD,AB2CD2BC2AD4,DAB60,AEBE0

CDPAD为正三角形，且平面PAD平面PADl平面ABCD，

AEB平面PEC。

（1）求证：l//EC； （2）求二面角PECD的余弦值；

AM（3）是否存在线段PC（端点P,C除外）上一点M，使得DE若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。

18. （本题满分13分）已知椭圆

C:xa22，

yb221(ab0)，三点

123P1(1,2)P2,12(3,2P3),(321,)中恰有二点在椭圆C上，且离心率为e。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上任一点，A1,A2为椭圆C的左右顶点，M为PA2中点， 求证：直线PA2与直线OM它们的斜率之积为定值；

（3）若椭圆C的右焦点为F，过B(4,0)的直线l与椭圆C交于D,E， 求证：直线FD与直线FE关于直线x

A1GPMA2x1对称。 y2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 5 / 13

O

19.（本题满分14分）已知切线方程为y（1）求yx1e1。

f(x)bealn(x2)x2x在(1,f(1))处的

f(x)的解析式；

x（2）设h(x)(x2)ef(x)（x2)x21，求h(x)零点的个数；

（3）求证：y

在(2,)上单调递增。

20.（本题满分14分）已知数列{an}满足a1（1）若p1，写出a4的所有值；

1,an1anp,nNn*。

（2）若数列{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； （3）若p式。

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12，且{a2n1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公

门头沟区2018年高三综合练习（一） 数学（理）评分标准

2018.4

一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 C 7 B 8 A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分. ） 9 15 10 2511 2 12 51113 2，cb;22e114 等，此题为开放题 0a12 三、解答题：（本大题共6小题，满分80分.） 15. （本小题满分13分） 在ABC中，B=120o，ABA2,B ，

CD的角平分线AD3, A（1）求ADB的大小； （2）求AC的长。

解：（1）在ABD中，由正弦定理得：

ABsinADBADsin23sinADB22ADB450……………………5分

（2）由（1）得：BADBCA30,ABBC015BAC30200，

……………………………………………10分

22（12）6由余弦定理得：AC222……………………13分

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 7 / 13

16．（本小题满分13分））2022年第24届冬奥会将在北京举行。为了推动我国冰雪运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰雪运动的人员中随机抽查100员运动员，他们的身份分布如下： 身份 人数 小学生 40 初中生 20 高中生 10 大学生 20 职工 10 合计 100 注:将上表中的频率视为概率

(1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率；

(2) 若将上表中的频率视为概率，X表示来“腾越”参加运动的3人中是大学生的人数，求X的分布列及期EX。

解：(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件B， 则P(B)25………………………………………………………………………………5在分

(2)X可取0，1，2，3，………………………………………………6分，

P(X0)CC03(451)23125,12P(X1)C114248()(),355125P(X2)35()(),35512524P(X3)C()351253131…………………10分

EX…………………………………………………………………………13分

P注：求期望求对，就给满分。 17.（本小题满分13分）在四棱锥PABCD中，

CDABAB//CD,AB2CD2BC2AD4,DAB60,AEBE0

，

PAD为正三角形，且平面PAD平面PADl平面ABCDE平面PEC。

（1）求证：l//EC；

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（2）求二面角PECD的余弦值；

AM（3）是否存在线段PC（端点P,C除外）上一点M，使得DE若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。 解：（1）由题意可知，AECDAE//CD，

，四边形AECD为平行四边形，…2分

EC//ADEC平面PADEC//平面PADAD平面PAD，又

平面PAD平面PECl，

可得：l//EC，……………………………………………………6分 （2）方法一：

设O是AD中点，PAD为正三角形，则POPOABCDAD，平面PAD平面ABCD，

，………………………………………………………………8分

，DAB60，所以，ADE0又

ADAE2为正三角形，OE3,0)AD

建立如图所示坐标系，则P(0,0,量 为n1(x,y,z)3),E(0,3,0),C(2,，设平面PEC法向

，PC(2,3,3),PE(0,3,3)， PZ由PCn10,PEn20得：n1(0,1,1)，

(0,0,1)平面EDC的法向量n2cosn1,n21222，

AX22CODBY，

E所以，二面角P方法二：

ECD的余弦值为……10分

设O是AD中点，PAD为正三角形，则POAD，平面PAD平面ABCD，

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POABCDOEEC，又

ADAE2，所以，ADE为正三角形，OEECDAD

，则OEP为二面角P，得，OEP的平面角，………………8分

ECD而POOE4，二面角P的余弦值为，又DE22…10分 ，

（3）不存在，若DE则DEAM,又DEAC，则DE3PAPOPAODEAD，与ADEAM矛盾，故线段PC（端点P,C除外）

上不存在点M，使得DE………………………13分

C:xa2218. （本题满分13分）已知椭圆

yb221(ab0)，三点

123P1(1,2)P2,12(3,2P3),(321,)中恰有二点在椭圆C上，且离心率为e。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设P为椭圆C上任一点，A1,A2为椭圆C的左右顶点，M为PA2中点， 求证：直线PA2与直线OM它们的斜率之积为定值；

（3）若椭圆C的右焦点为F，过B(4,0)的直线l与椭圆C交于D,E， 求证：直线FD与直线FE关于直线x解：（1）由椭圆性质得：P1(1,在椭圆上，

1a21对称。

32)32),P3(1,

A1y94b21(1)e12ca2214(2)GOPMA2x得：a24,b23,c21x24y231…4分

（2）设

kPA2P(x0,y0)为椭圆上任一点，PMMA2,A1OOA2OM//PA1，

y0x02y0x02,kOMkPA1

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 10 / 13

20得：kPA2kOMyx20434………………………………………………8分

y（3）设直线l：yk(x4)，设D(x1,y1),E(x2,y2) 联立得：

yk(x4)222222(34k)x32kxk120xy1342DA1GOFEA2x

32kxx212y1y2k[2x1x25(x1x2)8]34kkk，…10分 FDFE2x1x1(x1)(x1)k121212x1x2234k代入得，kFD得：kFDkFEy1x11y2x21k[2x1x25(x1x2)8](x11)(x21)0…………12分

kFEA1FDA2FE，

故直线直线FD与直线FE关于直线x1对称……………………………13分

19.（本题满分14分）已知切线方程为y（1）求yx1e1。

f(x)bealn(x2)x2x在(1,f(1))处的

f(x)的解析式；

x（2）设h(x)(x2)e（x2)x21，求h(x)零点的个数；

（3）求证：y解：（1）

f(x)x在(2,)上单调递增。

f(x)/f(x)bealn(x2)x21ebe(x1)aaln(x2)(x2)xx2……2分

f(1)a1，f(1)be/1b1，所以f(x)eln(x2)x2……5分

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 11 / 13

（2）h(x)(x2)ex1/x（x2)h(x)(x3)e02x2(x2)1e10,h(0)21201

h(x)在(1,0)上递增，h(1)，

存在一个零点x0，且1注：若没有说明h(1)（3）由（1）得，f/x00…………………………………8分

h(0)2x1e10,120 扣1分。

(x1)ex(x)(x1)e1ln(x2)(x2)2，设g(x)1ln(x2)

g(x)(x2)e/x1(x2)，由（2）可知，存在一个零点x0，且1x00

g(x0)0/，g/(x)在(2,x0)上递减，在(x0,)上递增，

，………10分

g(x0)0x010,1x022ln(x02)11ln(x02)0所以，g(x)ming(x0)(x01)ex01ln(x02)，g(x)min，

g(x)g(x)ming(x0)0x，……………………………………………12分

0得

f(x)/(x1)e1ln(x2)(x2)2，yf(x)在(2,)上单调递增…14分

n*20.（本题满分14分）已知数列{an}满足a1（1）若p1，写出a4的所有值；

1,an1anp,nN。

（2）若数列{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； （3）若p式。

解：（1）由题意得：a11,2,3,4;1,0,1,2;1，an1an1,

12，且{a2n1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公

1,0,1,0;1,0,1,2。所以a4的可能值为4,2,0,2……4分

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 12 / 13

（2）解：由于数列{an}是递增数列，an1ana11,a21p,a31pp2an1anpn

，又a1,2a2,3a3成等差数列，

0得：3p2盾 所以pp0p13，或p，若p0，则anan1与数列{an}是递增矛

13……………………………………………………………8分

a2n10(a2n1a2n)(a2na2n1)0（3）{a2n1}是递增数列，所以，a2n1而

122n

122n1a2n1a2na2na2n1，可得：a2na2n10

所以，a2na2n1(12)2n1(1)22n2n1 （1）……………………………10分

{a2n}是递减数列，所以，a2n2a2n0(a2n2a2n1)(a2n1a2n)0而

212n1122na2n1a2na2n2a2n1，可得：a2n1a2n0

an(1)2nn1所以，a2n1a2n(12)2n(1)22n12n （2），由（1），（2）得，an112122

ana1(a2a1)anan11(1)2nn14313(1)2n1n……14分

2018年高三综合练习（一）数学（理）试卷 13 / 13