第３６卷第６期 电力机车与城轨车辆 Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｌｏｃｏｍｏｔｉｖｅｓ＆Ｍａｓｓ Ｔｒａｎｓｉｔ Ｖｅｈｉｃｌｅｓ Ｖｏ１．３６ Ｎｏ．６ Ｎｏｖ．２０ｔｈ，２０１３ ２０１３年１１月２０日 ・研究开发・ 列车牵引加速度计算方法分析研究 李耘茏１，２，刘斌。 （１．同济大学铁道与城市轨道交通研究院，上海 ２０１８０４； ２．南车株洲电力机车有限公司技术中心，湖南株洲４１２００１） 摘 要：牵引加速度计算是列车牵引制动特性计算过程中的重要组成部分。因为无显式计算公式，实际 计算中一般采用数值计算方法。不同的数值计算方法和不同的计算步长，将导致最终的结果与真实值之间存 在不同的误差。文章通过对比不同的数值计算方法。分析这些方法的异同。 关键词：牵引加速度；牵引特性；制动特性；数值计算 中图分类号：Ｕ２６０．１３ ｌ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—１１８７（２０１３）０６—００１９—０４ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｒａｉｎ ｔｒａｃｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ＬＩ Ｙｕｎ—ｌｏｎｇ１，２，ＬＩＵ Ｂｉｎ （１．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｒａｉｌｗａｙ ａｎｄ Ｕｒｂａｎ Ｍａｓｓ Ｔｒａｎｓｉｔ，Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０ １ ８０４，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｒ＆Ｄ Ｃｅｎｔｅｒ，ＣＳＲ Ｚｈｕｚｈｏｕ Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｌｏｃｏｍｏｔｉｖｅ Ｃｏ．，Ｌｔｄ．，Ｚｈｕｚｈｏｕ ４１２００１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｒａｃｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｂｒａｋｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｉｎ．Ｂｅｃａｕｓｅ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｏ ｏｂｖｉｏｕｓ ｃｏｍｐｕｔｅ ｆｏｒｍｕｌａ，ｉｔ ｉｓ ａｌｗａｙｓ ｄｏｎｅ ｂｙ ｎｕｍｅｒｉｃ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｕｍｅｒｉｃ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｓｔｅｐｓ ｗｉｌｌ ｃａｕｓｅ ｏｕｔｃｏｍｅｓ ｈａｖｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｅｒｒｏｒｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｎｕｍｅｒｉｃ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ ｈａｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒｉｔｉｅｓ ａｎｄ ｄｉｉｅｒｅｎｃｅｓ ｏｆ ｆｔｈｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｒａｃｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ；ｔｒａｃｔｉｏｎ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；ｂｒａｋｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ；ｎｕｍｅｒｉｃ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ０ 引言 动车组、地铁车辆（以下简称“列车”）牵引特性计 算中包括了列车启动加速度、列车平均加速度计算，由 于列车运行时牵引力Ｆ及阻力尺是列车速度ｖ的非 线性函数（分别是分段函数和二次函数），因此工程计 算时一般采用数值计算方法ｌｌ－２］。 目前常见的方法分以时间为步长和以速度为步长 以速度为步长计算基本思想是将列车运行速度分 成Ⅳ段．每段速度用△ｖ表示，在△ｖ速度段内对列车 加速度、运行时间做某些合理假定而将非线性问题转 化成线性问题，从而进行计算。而这种方法一般将平均 加速度定义为速度的平方与两倍的运行总距离之比 （一些列车采购招标书中明确规定这种算法）。 不同的数值计算方法和不同的计算步长，将导致 启动加速度、平均加速度计算结果与真实值有较不同 的差异。由于将非线性转化成线性而做的假定形式各 异．因此以下仅以常见的两种时间步长和速度步长计 进行计算两大类。 以时间为步长计算基本思想是将列车运行时间分 成Ⅳ段，每段时间用△ 表示，在ＡＴ时段内对列车加 速度、速度做某些合理假定而将非线性问题转化成线 算方法为例进行对比分析。 性问题，从而进行计算。这种方法一般将平均加速度定 义为速度与运行总时间之比（该定义符合一般性平均 加速度定义）。 收稿日期：２０１３－０７—２２ １ 两种常见加速度计算方法对比 为方便论述，作如下约定：列车动质量（含旋转质 量）为 ；列车起始速度为０ ｍ／ｓ，需要计算的目标速度 作者简介：李耘茏，高级工程师，在读硕士研究生，从事轨道交通车辆研发工作。 １９— 一电力机车与城轨车辆・２０１３年第６期 为１， （目标速度即计算列车启动加速度范围中的速 度上限值，如计算列车从静止加速到４０ ｋｍ／ｈ的启动 加速度，４０ ｋｍ／ｈ就是目标速度）；列车牵引特性分三 段，分别为恒力矩区（０～ ），牵引力为 ，恒功区（Ｖｏ— ），牵引力随速度反比衰减，自然特性区（或恒电压 区）（ ～ 一）；列车基本阻力Ｒ－－Ａ＋ （ ）＋ （ ）２，Ａ、Ｂ、Ｃ 为常数。 １．１ 时间步长计算方法（算法１） 设在△ 时间段内，列车加速度 为定值（也可假 定加速度线性变换或者其它线性假定，在此只讨论目 前铁路应用计算中常用情况），所以在ＡＴ时间段内， 列车起始速度ｖ 列车终止速度ｖ肌。、列车运行路程Ｊｓ 可以由如下公式求得： ＯＡＴ Ｆ（：—ｖＮ）－Ｒ（—ｖＮ） ｆ１）ＶＮ＋ｌ＝ｖｕ＋ａ￣ｒＡＴ （２） １ ＝ Ⅳ△ ＋ △丁（△ ）。 （３） 在式（１）中， 采用△ 时间段的起始时刻牵引力 ｖ ，和△ 时问段的起始时刻阻力Ｒ（１， 相减，然后除 以列车动质量得到。如下分析其误差： １）牵引力 ）是一条随速度 单调不增曲线，即牵 引力只在恒力矩区不减小，在恒功区和恒电压区均随 速度的增加而减小。 ２）列车基本运行阻力尺ｆ１，）是一条随速度 单调递 增曲线，即列车阻力随速度在成二次方增加。因此按照 上述方法计算得到的加速度ｅｔａ 要大于真实的△ 时 间段内平均加速度 即ａａｒ＞ａ 故式（２）得到的 Ｍ 要比真实计算时列车经过△ 加速到的最终速度ｖ ￣＋ 大，即：ＶＮ＋１＞ｖ ￣＋ｌ。 因此按照上述计算，经过较少的时间。列车即加速 到指定速度 ，因此计算平均加速度以 。＝ ，要 １， 大于真实平均加速度 ＝ 。 ∑△ １．２速度步长计算方法（算法２） 设在△ｖ速度段内，列车加速度‰为定值（也可假 定加速度线性变换或者其他线性假定，在此只讨论最 简单情况），所以在△ 速度段内。列车起始速度ｖ ，列 车终止速度ｖ ，列车运行路程５ ，列车运行时间△ ， 可以由如下公式求得： ＝ （４） ＶＮ＋ｌ＝ｖｓ＋Ａｖ （５） △７１： 二 ： △ｒ （６） －２０－ ： △７１＋ △７１）： （７） 将上式综合化简得： ： （８） 最终的平均加速度由下式计算得到： ｅ。 ＝ （９） 其中： ｓ＝∑Ｓ （１０） 此种计算方法计算得到的加速度 与未做线性 假定的真实计算得到Ａｖ速度段内平均加速度０ ｖ由 分析可知：ａＡＶ＞ａ＊ＡＶ。因此，式（８）得到的Ｓ 要比真实计 算时列车从速度ｖ 加速到１２Ｎ＋。时走过的真实距离５ 要小，即：Ｓｕ＜Ｓ＊Ｎ。因此按照上述计算，经过较短的距离， 列车便加速到指定速度ｖ ，因此计算平均加速度为 ２ 口 ：・ ，要大于真实平均加速度 二 ＝ 。 ２∑Ｓ １．３时间步长计算中引入距离的算法（算法３） 实际计算时，以时间为步长也有多种不同算法，其 中有利用距离公式算平均加速度，即如下算法： １）加速度算法不变，仍为式（１）。 ２）速度算法也不变，仍为式（２）。 ３）路程算法也不变，仍为式（８）。 、，２ ４）最终的平均加速度计算：ａａｖ。＝ （１１） ２ ． ‘ 分析上述算法，由于ａＡＴ＞ａ 因此Ｊｓ 偏小，因此 ａ．ｖｅ＞口 。 ２不同计算方法误差分析对比 ２．１ 误差分析 设第Ⅳ个时间段内加速度相对误差为 ＝ Ｎ，一日 ， 对于每个单独的Ⅳ个时间段内．比较算法ｌ和算法３ 的相对误差大小 算法１相对误差为运行总时间缩小量 ， ａ一 ａ ｒ 口△ｒ＋Ｄ ，【 ，＋Ｄ Ｊ （１２上式中６是加速度计算值ａ ，与真实值Ⅱ 之差， ＝口△广 ，式（１２）可改写为： ＝ ＝ 对于算法３，计算产生的误差为路程相对误差６Ｓ： 李耘茏等・列车牵引加速度计算方法分析研究・２０１３年第６期 ６２＝（ｖＮＡＴ＋ １ （△ ） ）一式（１８）中省略 以Ｆ项： （ＦＮＡ，＋ 一 ｒ ∽）＋ｃ（ｖ ２一ｖ∽ ） ）＝ （１４） 考虑到阻力公式系数Ｂ和Ｃ较小，对分析不构成 结论性的误差，因此可以省略。对于式（１８），将 设总的ｍ－ｔ间段数量为Ｎ，则将算法１计算结果与 真实值比较： 。 Ｖｔ ａｆｇｃｔ —— ～一 Ｖｔ ａｒ — ｃｔ Ｊ。Ｆｏ （ ）ｄ 改写女ⅡｌＦ： ａ 一ａａｖｅ ∑△丁 一 丁∑△丁 仁１ １ ｒ ，）ｄ，＝ （ＡＴ－０）＝ Ｉ Ｆｏ（１９） 式（１９）中， １ 是ｒ ｄ 的拉格朗日中值，根 ∑ ∑ 一 （１５） 据式（１９），则相对误差为： 分３种情况分析时问误差窆 （其他算法误差 ＝ 一日 ＝ １（ 一 （２０） 分析与之类似，不做详述），第一种情况，列车处在恒力 只有当ＡＩ’趋于无穷小时，ｖ（Ｏ ， 才会趋 矩区间；第二种情况，列车处在恒功区间；第三种情况， 于零；同理可分析列车在自然特性时算法１的误差。 列车处在自然特性区间。 ２．２收敛性分析 第一种情况：列车处在恒力矩区间，第Ｎ个时间段 上述分析可知如果算法１步长取的不足够小，其 内加速度相对误差为５ ＝ Ｎ 一 ，可以写成如下形 误差会较大，以下的试验计算仿真也可以说明该问题。 式： 这里文献［４】给出一个理论证明： 一 ＝（Ｆ（ ）－Ｒ（ｖ ））／ 定理１：设 ）在［０，／，］ＪＡＮ续且在［ ６］上有连续导 一 ｒ （即）删１，））／Ｍｄ （１６） 数，且存在正常数Ｍ使ｌＩ厂（ ）Ｉ≥ ，ＸＥ［ｄ，ｈｉ，那么， 式（１６）中Ｆ（ｖ）＝Ｆｏ为恒值，阻力Ｒ （，））＝ ＋ １ ）＋ｃｖ（ｆ）。为 ‘ ） 八坝６ Ｉ≥吾 （６ 。 速度的二次函数。因为阻力公式中系数Ｂ和Ｃ通常很 以上定理可以据撞梧朗日中值定理来证明：任给 小，在列车恒力矩区域，阻力曲线可以线性化。所以在 ∈ ，６】，存在 ∈ａ，６】，使得＿厂（ ）一＿厂（臼）＝ｆ’（ ）（ 一口）。 恒力矩区问计算误差，其值ｑ￣／Ｊ，，特别是当ＡＴ很小 因此： 时。可以忽略不计。 （ ）Ｉ＝ ）一 ］ 第二种情况：列车处在恒功区问，第Ⅳ个时间段内 加速度真实值ｎ 具体形式可以写成： ｝ ＿厂 （ ） 一 ）出ｆ≥ 一 ）出Ｉ＝ （６一 ）。 定理２：设－厂（ ）在 ｈｉ￣连续且在 ６】上有连续导数， “ ＝ 脚 （ｖ））／Ｍｄ，： 且存在正常数 使｝／’（ ）Ｉ≥ ， ∈［ ， ，ＸｑＮＩ￣＇－１［ａ，６】进 ＭＡＴ『（△ （ ／ ｏ）－Ａ－Ｂｖ（ｆ）一 （ｆ）。） 行ｎ等分划分：Ⅱ＝ ｏ １＜… ＝６，并记 ¨）＝ ＿Ｉ， ＝ １ Ｊ／＊【）ＡＴ（ ／Ｖ（ ）一 ）／△Ｔｄｆ一 厅 琊么， （ Ｉ Ｉ＝【 ｌ… 以上定理可以由定理１证明得到： ］ＡＴＪｐ。（ＢＶ（ｒ）＋ （ｆ） ）ｄ≠ （１７） ） （ ≥吉 相对误差： 由此可知： Ｎ Ｎ ＊＝ ｒ （Ｆｏ／ｖ 一 －－ＢｖＮ－ｃ４）／ ｌ ／ ， 一 喜 ｌＩ≥喜ｌ ．－厂ｃ 一 ｃＩ・ 一击 （ ∽一 ）／△Ｔｄｆ一 兰Ｍｈ２：～１ Ｍ（ｂ一 ） ２ ２ｎ ｒ （ ｖ（ｆ）＋ｃ 对于算法１．对速度ｖ（ｔ）ｌ￣Ｊ积分函数为： ＭＡＴ击（ ／ｖ 一 ）一 １ Ｊ。Ａ （Ｆｏ／ｖ（『）＿ ） Ｖ（ｆ）＝Ｊ｛Ｆ（Ｖ（“））一Ｒ（Ｖ（“））｝／Ｍｄｕ １ Ｅ／可以证明函数厂（“）＝｛Ｆ（ｖ（ ））一Ｒ（ｖ（ｕ））｝／ 满足定 ＶＮ）一 ｌ ＪＡ ．。／ （ｆ， （１８） 理２的所有条件，因此如果用算法１所示方法（即矩形 一２１— 电力机车与城轨车辆・２０１３年第６期 法）求取速度，如果项 Ｍ（ｂ一日） 很大，则时问划分项 ｎ必须取值很大，等价于ＡＴ要取值足够小，算法１的 误差才能满足实际使用要求。 对于算法３，比较其计算结果与真实值之间的误差 如下： ＋ 一 表２算法２示例仿真结果 ａ ６１ ａｖｃ— ａｖｅ＝— ： ｅＩ ｅｔ 一 一— ＝—］ 一一— ——二三—一ｖｌ：ｒｇ“ 表３算法３示例仿真结果 ２ＥＳ ２ＥＳｉ ２ＥＳ ２Ｅ（ｓＴ＋８Ｓｔ、 Ｖ ２ ｔ ａｒｋｅｔ Ｖ ２ ｔａｆｇｅｔ ２Ｓ＊ ＋２∑Ｎ ｔ ｔ ｅＩ ２ ｓ ＋∑Ｎ （△ｒ）。 （２１）４结束语 不管用哪种方法计算牵引加速度．只能是理论上 式（２１）中项∑ｆｉ（ＡＴ） 是一个关于微分步长ＡＴ的 二次项，就算项数Ⅳ与ＡＴ成反比增长，当△ 取得足 ＾， 无限接近真实值，存在误差是不可避免的，减小步长取 值可以减小误差。从上文的分析和计算结果可知：算法 ３的收敛速度较快，而算法１收敛速度较慢。 够小时，项∑６（６Ｔ） 电将衰减接近于零，因此算法３是 ｌｖ ２ 是否有更好的计算方法值得进一步研究．例如文 误差的理论，本文算法１是采用矩形法进行数值积分 计算，算法２和算法３部分引入了矩形法，还可以考虑 引入梯形法及抛物线法优化计算，值得进一步探讨和 分析。 可收敛于真实值 ＿＝、ｅ 的速度比算法１快。 的算法，它收敛与真实值 献【４】中提到关于矩形法、梯形法及抛物线法计算积分 ３仿真结果对比 选取某个列车（最高运营速度为１６０ ｋｍ／ｈ）作示例 计算ＤＩ，在相同的输入条件下，三种算法有不同的结果， 详细结果如表１、表２和表３所示。 表１ 算法１示例仿真结果 参考文献： ［１】ＴＢ厂Ｉ＇１４０７－－１９９８，列车牵引计算规程［Ｓ］． 【２］饶［３】刘忠．列车牵引计算［Ｍ］．２版．北京：中国铁道出版社，２００３． 斌，陈爱军，李耘茏，等．牵引计算算法研究及软件实现［Ｊ１＿电 力机车与城轨车辆．２０１３（１）． ［４１郑立飞，解小莉，王洁．关于定积分近似计算中矩形法的误差估 计［Ｊ］＿高等数学研究，２０１１，１４（１）：５－６． （责任编辑． 李娜） Ｌ．Ｓ Ｌ．Ｓ ．５止 Ｓ止．Ｓ ． ．ｓ Ｌ．Ｓ —址．Ｓ‘ （上接第１８页） ［４７】Ｈｏｌｍｅｓ Ｓ，Ｔｏｍａ Ｅ，ＭＳｃｈｒｏｅｄｅｒ．Ｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄ ｐａｓｓｅｎｇｅｒ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｃｉｔｙ ｔｒａｉｎ ａｗｒｏｄｙａｎｍｉｃ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｍｏｄｅｌｉｎｇ【Ｃ】．Ｏｒｌａｎｄｏ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ Ｍ Ｅ２０００．ｔｈｅ ２０００ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｌａ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃ ｏ￣ｅｓｓ＆ Ｅｘｐｏｓｉｔｉｏｎ，２０００． ２０ｌ０，ｌ２７（３）：ｌ３００一ｌ３０６． ［５３］Ｌｏｐｅｚ Ｉ，Ｖｉｎｏｌａｓ Ｊ，Ｂｕｓｔｕｒｉａ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ｒａｉｌｗａｙ ｗｈｅｅｌ ｒｉｎｇ ｄａｍｐｅｒｓ【Ｃ］． Ｎｉｃｅ：Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２９ｔｈ Ｉｎｔｅｍａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｇｒｅｓｓ ｏｎ Ｎｏｉｓｅ Ｃｏｎｔｍｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０００． ［５４］Ｊｏｎｅｓ Ｃ Ｊ Ｃ，Ｔｈｏｍｐｓｏｎ Ｄ Ｊ．Ｒｏｌｌｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｂｙ ｗｈｅｅｌｓ ｗｉｔｈ 【４８】，张建润，刘剑．电力机车司机室减振降噪设计［Ｊ】＿机车电 ｖｉｓｃｏ－ｅｌａｓｔｉｃ ｌａｙｅｒｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２０００，２３１（３）： ７７９—７９０． 传动，２００９（６）：１３一ｌ７． 【４９】．机车车体结构抗振性设计探讨Ｕ］．机车电传动，２００８（６）： ２０—２３． 【５５】Ｂｒｕｎｅｌ Ｊ Ｆ，Ｄｕｆｒ６ｎｏｙ Ｐ，Ｄｅｍｉｌｌｙ Ｆ．Ｍｏｄｅｌｌｉｎｇ ｏｆ ｓｑｕｅａｌ ｎｏｉｓｅ ａｔｔｅｎｕａ— ｔｉｏｎ ｏｆ ｒｉｎｇ ｄａｍｐｅｄ ｗｈｅｅｌｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，２００４，６５（５）：４５７— ４７１． ［５０】Ａｓｍｕｓｓｅｎ Ｂ，Ｓｔｉｅｂｅｌ Ｄ，Ｋｉｔｓｏｎ Ｐ，ｅｔ ａ１．Ｒａｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｎｏｉｓｅ ｅｍｉｓｓｉｏｎ ｂｙ ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ ｔｈｅ ｄａｍｐｉｎｇ ｏｆ ｔｈｅ ｒａｉｌ：Ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ａ ｆｉｅｌｄ ｔｅｓｔ［Ｊ］．Ｎｏｉｓｅ ａｎｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｍｉｔｉｇａｔｉｏｎ，ＮＮＦＭ９９，２００８，２２９—２３５． ［５６］Ｔｈｏｍｐｓｏｎ Ｄ Ｊ，Ｇａｕｔｉｅｒ Ｐ Ｅ．Ａ ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｏ ｗｈｅｅｌ／ｒａｉｌ ｒｏｌｌｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎ－ ｅｅｌｓ，Ｐａｒｔ Ｆ：Ｊｏｕｍａｌ ｏｆＲａｉｌ ａｎｄ Ｒａｐｉｄ Ｔｍｎｓｉｔ，２００６，２２０（４）：３８５—４０８． ［５１］Ｈａｎｓａｋａ Ｍ，Ｍａｍａｄａ Ｓ，Ｓａｔｏ Ｄ，ｅｔ ａ１．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｒａｉｌ ｎｏｉｓｅ ｉｓｏｌａｔｉｎｇ ｍａｔｅｒｉａｌ（ＲＮＩＭ）［Ｊ］．ＮＮＦＭ，２０１２，１ １８：９７—１０５． ［５７］Ｋｕ＝ｅ Ｕ Ｊ，Ｄｉｅｈｌ Ｒ Ｊ，Ｗｅｉｂｅｎｂｅｒｇｅｒ Ｗ．Ｓｏｕｎｄ ｅｍｉｓｓｉｏｎ ｌｉｍｉｔｓ ｆｏｒ ｒａｉｌ－ ｖｅｈｉｃｌｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２０００，２３１（３）：４９７—５４０． 【５２］Ｂｒｎｎｅｌ Ｊ Ｆ，Ｄｕｆｒ６ｎｏｙ Ｐ，Ｃｈａｒｌｅｙ Ｊ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｒａｉｌｗａｙ ｓｑｕｅａｌ ｎｏｉｓｅ ｂｙ ｐｒｅｌｏａｄｅｄ ｒｉｎｇｓ ｉｎｓｅｒｔｅｄ ｉｎ ｗｈｅｅｌｓ［Ｊ］．Ｊ．Ａｅｏｕｓｔ．Ｓｏｃ．Ａｍ， ２２－ （责任编辑李娜） －
