2014-2015学年重庆市铜梁中学高一(下)第一次月考数学试卷(文科)

2014-2015学年重庆市铜梁中学高一（下）第一次月考数学试卷

（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，符合余弦定理的是（ ）

222222

A． c=a+b﹣2abcosC B． c=a﹣b﹣2bccosA C． b=a﹣c﹣2bccosA

2．{an}是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于（ ） A． 667 B． 668 C． 669 D． 670

3．下列数列中为递增数列的是（ ） A． {sinnπ}

B． {n﹣9n+5}

2

2

2

2

D． cosC=

C． {} D． {}

4．在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（ ） A．

5．在等差数列{an}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（ ） A． 30 B． 45 C． 60

6．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ） A． 30°或60° B． 45°或60° C． 120°或60°

D． 120

B．

C．

D．

D． 30°或150°

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（ ） A． 12 B． 18 C． 24 D． 42

8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a7=4a4，a2=2，则a1=（ ） A． 1

B．

C． 2

D．

2

9．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ） A．

10．若数列{an}是等差数列，首项a2=37，a5=28，则Sn取最大值时，n=（ ） A． 13 B． 14 C． 15 D． 14或15

m B． m C． m D． m

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（ ）

A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 锐角三角形

12．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn，（n∈N ），则a6=（ ）

5444

A． 3 B． 2•3+1 C． 2•3 D． 3+1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知数列{an}的前五项1、﹣3、5、﹣7、9，猜出它的一个通项公式 ． 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b= ．

15．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列的前13项之和为 ．

16．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为2﹣，那么b= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，已知b=3，c=3，B=45°，求A，C和a．

1）写出数列{an}的前五项，其中a1=﹣，an=1﹣

．

*

（2）在等比数列{an}中，已知a1=﹣1，a4=，求q，S4．

2

（3）已知数列{an}的前n项和为Sn=n+2n+3，求这个数列的通项公式an．

19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

20．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（1）确定角C的大小； （2）若c=

21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

，且△ABC的面积为

，求a+b的值．

=2csinA

22．已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2（n∈N） （1）求证：数列{an+1}是等比数列；

（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

*

2014-2015学年重庆市铜梁中学高一（下）第一次月考数

学试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在△ABC中，符合余弦定理的是（ ）

222222

A． c=a+b﹣2abcosC B． c=a﹣b﹣2bccosA C． b=a﹣c﹣2bccosA

2

2

2

D． cosC=

考点： 余弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 根据余弦定理的各个式子，与题中各选项加以对照，即可得到本题答案．

222

解答： 解：对于A，式子c=a+b﹣2abcosC符合余弦定理，故A正确；

222222

对于B，应该是c=a+b﹣2abcosC，而不是c=a﹣b﹣2bccosA，故B不正确；

222222

对于C，应该是b=a+c﹣2bccosA，而不是b=a﹣c﹣2bccosA，故C不正确； 对于D，应该是cosC=

，而不是cosC=

，故D不正确

故选：A 点评： 本题判断几个式子是否符合余弦定理，着重考查了余弦定理公式与变形的知识，属于基础题．

2．{an}是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于（ ） A． 667 B． 668 C． 669 D． 670

考点： 等差数列；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；方程思想． 分析： 首先由a1和d求出an，然后令an=2005，解方程即可． 解答： 解：∵{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列， ∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2， ∵an=2005， ∴3n﹣2=2005， 解得n=669． 故选C． 点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式an=a1+（n﹣1）d，注意方程思想的应用．

3．下列数列中为递增数列的是（ ） A． {sinnπ}

B． {n﹣9n+5}

2

C． {} D． {}

考点： 数列的函数特性． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 利用函数的单调性进行判断即可．

解答： 解：数列sinnπ在定义域上不单调，不满足条件． n﹣9n+5=（n﹣）﹣

=

2

2

2

对称轴为n=，则数列{n﹣9n+5}不满足条件．

2

+=（+1）﹣1，在[1，+∞）上单调递减，为递减数列，不满足条件．

==1﹣为增函数，则{}为递增数列，满足条件．

故选：D． 点评： 本题主要考查数列的函数性质，利用函数的单调性是解决本题的关键．

4．在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b=（ ） A．

B．

C．

D．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 由B和C的度数，利用三角形的内角和定理求出A的度数，然后由a，sinA，sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值．

解答： 解：由内角和定理得：A=180°﹣60°﹣75°=45°， 根据正弦定理得：

=

，又a=8，sinA=

，sinB=

，

则b===4．

故选C 点评： 此题考查学生灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．学生做题时注意内角和定理这个隐含条件．

5．在等差数列{an}中，已知a5=15，则a2+a4+a6+a8的值为（ ） A． 30 B． 45 C． 60

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 根据等差数列的性质进行求解即可．

解答： 解：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq， ∴a2+a4+a6+a8=（a2+a8）+（a4+a6）=2a5+2a5=4a5=4×15=60． 故选：C．

D． 120

点评： 本题主要考查等差数列的性质，以及利用等差数列的性质进行计算，要求熟练掌握等差数列的性质：在等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq．

6．在△ABC中，若b=2asinB，则A等于（ ） A． 30°或60° B． 45°或60° C． 120°或60° D． 30°或150°

考点： 正弦定理的应用． 专题： 计算题． 分析： 结合已知及正弦定理可求sinA，进而可根据特殊角的三角形函数值可求A 解答： 解：∵b=2asinB，

由正弦定理可得，sinB=2sinAsinB ∵sinB≠0 ∴sinA=

∴A=30°或150° 故选D 点评： 本题 主要考查了正弦定理及特殊角的三角函数值的简单应用，属于基础试题

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2，S4=10，则S6等于（ ） A． 12 B． 18 C． 24 D． 42

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解． 解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn， ∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列， 即2，8，S6﹣10成等差数列， ∴2+S6﹣10=8×2， ∴S6=24， 故选C．

点评： 本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为sn，则sn，s2n﹣sn，s3n﹣s2n，…成等差数列．

8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3•a7=4a4，a2=2，则a1=（ ） A． 1

B．

C． 2

D．

2

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 计算题；等差数列与等比数列． 分析： 由已知及等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6，从而可求q＞0，然后结合a2=2，可求a1，

解答： 解：∵a3•a7=4

，

由等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6

∴a6=4a4 ∴∵an＞0 ∴q＞0 ∴q=2

∵a2=2，则a1=1 故选A 点评： 本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

9．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ） A．

m

B．

m

C．

m

D．

m

=4

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 由tan30°=

=

得到BE与塔高x间的关系，由tan60°=

求出BE值，从而

得到塔高x的值．

解答： 解：如图所示：设山高为AB，塔高为CD为 x，且ABEC为矩形，由题意得 tan30°=tan60°=∴

=

==

=

，∴BE=

， （m），

（200﹣x）．

，∴BE=

（200﹣x），x=

故选A．

点评： 本题考查直角三角形中的边角关系，体现了数形结合的数学思想，求出BE值是解题的关键，属于中档题．

10．若数列{an}是等差数列，首项a2=37，a5=28，则Sn取最大值时，n=（ ） A． 13 B． 14 C． 15 D． 14或15

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 根据等差数列的通项公式与前n项和公式，求出Sn取最大值时n的值．

解答： 解：等差数列{an}中，a2=37，a5=28， ∴3d=a5﹣a2=28﹣37=﹣9， ∴d=﹣3；

∴a1=a2﹣d=37﹣（﹣3）=40， ∴Sn=na1+=40n﹣（n﹣n） =﹣n+当n=

2

2

d

n，

≈14时，Sn取得最大值．

故选：B． 点评： 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．

11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=（b+c）cosC，则△ABC的形状是（ ）

A． 等腰三角形 B． 等边三角形 C． 直角三角形 D． 锐角三角形

考点： 三角形的形状判断． 专题： 计算题． 分析： 要判断△ABC的形状，根据题意，可利用正弦定理cosC中的边转化为相应角的正弦，然后化简整理即可． 解答： 解：根据正弦定理理

=

=

=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

=

=

=2R将a=（b+c）

∵a=（b+c）cosC，

∴sinA=（sinB+sinC）cosc，又A+B+C=π，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB=sinBcosC+sinCcosC， 化简得 cosB=cosC 又 B，C∈（0，π）， ∴B=C，即△ABC为等腰三角形． 故选A． 点评： 本题考查三角形的形状判断，正弦定理的灵活应用是解决问题的关键，属于中档题．

12．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn，（n∈N ），则a6=（ ）

5444

A． 3 B． 2•3+1 C． 2•3 D． 3+1

考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 通过an+1=2Sn与an+2=2Sn+1作差可知比的等比数列，计算即得结论． 解答： 解：∵an+1=2Sn，

*

=3，进而数列{an+1}是以a2为首项、3为公

∴an+2=2Sn+1，

两式相减得：an+2﹣an+1=2an+1， 即

=3，

又∵a1=1，an+1=2Sn， ∴a2=2S1=2a1=2，

∴数列{an+1}是以2为首项、3为公比的等比数列，

5﹣14

∴a6=2•3=2•3， 故选：C． 点评： 本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

n+1

13．已知数列{an}的前五项1、﹣3、5、﹣7、9，猜出它的一个通项公式 （﹣1）（2n﹣1） ．

考点： 数列的概念及简单表示法． 专题： 点列、递归数列与数学归纳法． 分析： 根据数列项的特点和规律进行求解即可．

n+1

解答： 解：第n项的符号为（﹣1），其绝对值为2n﹣1．

n+1

因此其通项公式an=（﹣1）（2n﹣1）．

n+1

故答案为：（﹣1）（2n﹣1）． 点评： 本题考查了数列的通项公式的求法，属于基础题

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，B=60°．则b= ．

考点： 余弦定理． 专题： 解三角形． 分析： 利用余弦定理列出关系式，将a，c及cosB代入计算即可求出b的值． 解答： 解：∵a=2，c=3，B=60°，

222

∴由余弦定理得：b=a+c﹣2accosB=4+9﹣6=7， 则b=． 故答案为： 点评： 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

15．在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列的前13项之和为 26 ．

考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 在等差数列中，利用“等差中项”的性质与等差数列的求和公式即可解决． 解答： 解：根据题意得：a3+a5=2a4，a7+a10+a13=3a10， ∴a4+a10=4，∴此数列的前13项之和

．

故答案为：26． 点评： 本题考查等差数列的性质与求和，重点在于等差中项性质的灵活应用，属于基础题．

16．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为2﹣

，那么b= ．

考点： 余弦定理． 专题： 计算题；解三角形．

222

分析： 根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a+c=4b﹣2ac．利用三角形面积

222

求得ac的值，进而把a+c=4b﹣2ac．代入余弦定理求得b的值． 解答： 解：∵a，b，c成等差数列， ∴2b=a+c．

222

平方得a+c=4b﹣2ac．

又△ABC的面积为2﹣，且∠B=30°， 故由S△=acsinB=ac•sin30°=ac=2﹣得ac=8﹣4， 222

∴a+c=4b﹣16+8由余弦定理 cosB=

=

，

．

=．

解得b=故答案为：

．

．

点评： 本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC中，已知b=3，c=3，B=45°，求A，C和a．

考点： 解三角形． 专题： 解三角形． 分析： 首先由正弦定理求得sinC=再由正弦定理求得a．

解答： 解：在△ABC中，∵b=3由正弦定理可得：∴sinC=

，

，即

，得到角C的大小，然后由三角形内角和定理求得A，

，c=3，B=45°，

，

∵0°＜C＜135°，∴C=60°或C=120°．

当C=60°时，A=75°， 则由

，得

，∴a=

；

当C=120°时，A=15°， 则由

，得

，∴a=

．

点评： 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，利用正弦定理求解已知两边及一边的对角的问题时，要注意解的讨论，关键是注意大边对大角，是中档题．

1）写出数列{an}的前五项，其中a1=﹣，an=1﹣

．

（2）在等比数列{an}中，已知a1=﹣1，a4=，求q，S4．

2

（3）已知数列{an}的前n项和为Sn=n+2n+3，求这个数列的通项公式an．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）通过an=1﹣

3

令n=2、3、4、5，直接代入计算即可；

（2）利用q=

2

计算可知公比q=﹣4，进而可知S4的值；

2

（3）通过Sn=n+2n+3与Sn+1=（n+1）+2（n+1）+3作差，进而计算可得结论． 解答： 解：（1）∵a1=﹣，an=1﹣∴a2=1﹣

=1﹣

=5，

，

a3=1﹣a4=1﹣

=1﹣=， =1﹣=﹣，

a5=1﹣

=1﹣=5；

（2）∵q=∴q=﹣4， ∴S4=

2

3

==﹣，

=51；

（3）∵Sn=n+2n+3，

2

∴Sn+1=（n+1）+2（n+1）+3，

两式相减得：an+1=（n+1）+2（n+1）+3﹣（n+2n+3）=2（n+1）+1， 又∵a1=S1=1+2+3=6不满足上式， ∴这个数列的通项公式an=

．

22

点评： 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．

19．等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．

考点： 等差数列与等比数列的综合． 专题： 计算题；转化思想．

分析： （I）由a1=2，a4=16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可． （Ⅱ）利用题中条件求出b3=8，b5=32，又由数列{bn}是等差数列求出求出通项公式及前n项和Sn． 解答： 解：（I）设{an}的公比为q

3

由已知得16=2q，解得q=2 ∴

=2

n

．再代入

（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32 设{bn}的公差为d，则有

解得．

从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28 所以数列{bn}的前n项和

．

点评： 本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．

20．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA （1）确定角C的大小； （2）若c=

，且△ABC的面积为

，求a+b的值．

考点： 解三角形． 专题： 解三角形．

分析： （1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．

（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a+b的值，最后求得a+b的值． 解答： 解：（1）∵=2csinA ∴正弦定理得， ∵A锐角， ∴sinA＞0， ∴

，

22

又∵C锐角， ∴

2

2

2

（2）三角形ABC中，由余弦定理得c=a+b﹣2abcosC

22

即7=a+b﹣ab， 又由△ABC的面积得

．

即ab=6，

222

∴（a+b）=a+b+2ab=25 由于a+b为正，所以a+b=5． 点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．

21．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

考点： 解三角形的实际应用． 专题： 综合题． 分析： 先根据内角和求得∠DAB和，∠DBA及进而求得∠ADB，在△ADB中利用正弦定理求得DB的长，进而利用里程除以速度即可求得时间． 解答： 解：由题意知AB=10（3+）海里，BC=40 海里 ∠DBA=90°﹣60°=30°，∠DAB=90°﹣45°=45°， ∴∠ADB=180°﹣（45°+30°）=105°， 在△ADB中，有正弦定理得 ∴DB==

=20

=

又在△DBC中，∠DBC=60°

DC=DB+BC﹣2×DB×BC×cos601200+4800﹣2×20∴DC=60．

∴救援船到达D点需要的时间为

=2（小时）

2

2

2

0

××=3600

答：该救援船到达D点需要2小时．

点评： 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意余弦定理和数形结合思想的灵活运用．

22．已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an+2（n∈N） （1）求证：数列{an+1}是等比数列；

（2）设bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；等比关系的确定． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）通过对an+1=3an+2（n∈N）变形可知an+1+1=3（an+1），进而即得结论； （2）通过（1）可知bn=n3﹣n，进而Tn=1•3+2•3+3•3+…+n•3﹣相减法计算可知Qn=1•3+2•3+3•3+…+n•3=（﹣）•3解答： （1）证明：∵an+1=3an+2（n∈N）， ∴an+1+1=3（an+1）， 又∵a1+1=2+1=3，

∴数列{an+1}是以首项、公比均为3的等比数列；

n

（2）解：由（1）可知：an+1=3，

nn

∴bn=nan=n（3﹣1）=n3﹣n，

123n

∴Tn=1•3+2•3+3•3+…+n•3﹣（1+2+3+…+n） =1•3+2•3+3•3+…+n•3﹣记Qn=1•3+2•3+3•3+…+n•3， 则Qn=1•3+2•3+3•3+…+（n﹣1）•3两式相减得：﹣Qn=3+3+3+…+3

0

1

2

n﹣2

0

1

2

n﹣2

1

2

3

n

1

2

3

n

*

1

2

3

n

n+1

n

1

2

3

n

*

*

，利用错位

+，进而计算可得结论．

，

+n•3

n﹣1

，

n

+3

n﹣1

﹣n•3

=﹣n•3

n

n

=（﹣n）•3﹣，

∴Qn=﹣[（﹣n）•3﹣]=（﹣）•3∴Tn=1•3+2•3+3•3+…+n•3﹣=（﹣）•3

n+11

2

3

n

n

n+1

+，

．

+﹣

点评： 本题考查等比数列的判定，考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．