证明：过点A作AD丄CB,垂足为D。设CD为x，则有DB=a — x 根据勾股定理得 即b2— x2 = c2— （a — x）2
b
b2 —x2= c2—a2 + 2ax—x 2 二 a + b2= c + 2ax
a2+b2>c2 当4ABC 是钝角三角形时，
7
I a>0, x>0 ••• 2ax>0
例题8. A市气象站测得台风中心在 A市正东方向300千米的B处，以10'、千米/时的速度向 北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?千米范围内是受台风影响的区域.
（1） A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2） 如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？
课堂练习:
1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露 在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是（ ）.
A . h< 17cm B . h>8cm C. 15cm< h< 16cm D . 7cm< h< 16cm
2如图，已知：—―一」「二，貯」于P.求证:――厂［
B
思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形•因此，我们考虑构造 一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了 4个直角三角形.那么根 据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系 • 解析：连结BM，根据勾股定理，在 中，
-
.
而在
中，则根据勾股定理有
血二 AM2- AP2. 又••• （已知），
二 SP2 二 BM2- （AM2-AP2）^ BM2 - AM2 十 AP2
••• .
在：二」一二中，根据勾股定理
有
3 已知：如图，/ B= / D=90°，Z A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。
A
c
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC,或延长AB、DC交于F,或延 长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简
解析：延长AD、BC交于E
vZ A= / 60°,/ B=90°，AZ E=30° ••• AE=2AB=8，CE=2CD=4，
••• BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE= 「匚。—
v DE2= CE2-CD2=42-22=12,A DE=丨「=_ 一;。
1
FT.
• S 四边形 ABCD=S^ABE-S^CDE= - AB • BE- - CD • DE=
4 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡 车能否通过该工厂的厂门？
1
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于 厂门正中间时其高度是否小于 CH •如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDXAB, 解：OC = 1米（大门宽度一半）, OD = 0.8米 （卡车宽度一半） 在Rt△ OCD中，由勾股定理得： CD,0 .6米，
C H=0 .6 + 2 .3 = 2 .9（米）＞2 . 5（米）.
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.
5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN = 30°，点A处有一所中学，AP= 160m。 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN上沿PN方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那 么学校受影响的时间为多少秒？
思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A，实质上是看A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。（2）要求 出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校 A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行 至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：作AB丄MN，垂足为B。
在 Rt △ ABP 中，•••/ ABP = 90°,/ APB = 30°, AP = 160，
••• AB =1 AP= 80。（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） •••点A到直线MN的距离小于100m, .•.这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么
AC = 100（m）,
由勾股定理得： BC2 = 1002-802= 3600,. BC = 60。
同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100（m），BD = 60（m）, CD = 120（m）o
拖拉机行驶的速度为 ：18km/h= 5m/s =120m 宁 5m/s= 24s。
答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为 24秒。
6、如图所示，△ ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且 DE丄DF，若BE=12，CF=5 .求线段EF的长。
路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化, 根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接 AD .
解：连接AD .
因为/ BAC=90 ° , AB=AC . 又因为AD为厶ABC的中线， 所以 AD=DC=DB . AD 丄 BC .
且/ BAD= / C=45°.
因为/ EDA+ / ADF=90 °. 又因为/ CDF+ / ADF=90 ° . 所以/ EDA= / CDF. 所以△ AEDCFD (ASA). 所以 AE=FC=5. 同理：AF=BE=12 . 在RtAAEF中，根据勾股定理得： 「二‘丨二'「二 1「，所以 EF=13o
总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。 通过此题，我们可以了解: 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时， 应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形 中求解。
7如图，在等腰厶ABC中，/ ACB=90 °，D、E为斜边AB上的点，且/ DCE=45°。
求证：DE2=AD 2+BE2o
C
C
分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造 直角三角形。
8如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部 分厶AFC的面积是 。
B
设 EF=x，那么 AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2，所以 42+x2=(8-x) 2,解得 x=3, S=4*8/2-3*4/2=10 答案：10
9. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形 的表面向上爬，它要从 A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？
10.已知△ ABC的三边a、b、c,且a+b=17, ab=60, c=13, △ ABC是否是直角三角形？你能说 明理由吗？
答案：是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）
a2 b2 =（a b）2 -2ab=i72 _2 60 =169 二 c2。
变式训练：
一、选择题
1. 下列说法正确的有（）
①厶ABC是直角三角形，/ C=90°，则a2+b2=c2.
②厶ABC中, a2+b2工£,则厶ABC不是直角三角形.
A.4个
③
若厶ABC中，a2-b 2=c2，则△ ABC是直角三角形. ④若△ ABC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c 2. B.3个
2.
C=90°，若 a+b=14cm c=10cm，则 Rt△ ABC的面积是（
B.36cm C.48cm D.60cm
3.
A.24cm 海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以
2
2 2 2
C.2个 D.1个
已知 Rt△ ABC中，/
）
已知，如图，一轮船以 2015海里/时的速度同时
从港口 A出发向东南方向航行，则
4.如图，已知矩形ABCD沿着直
2小时后，两船相距（） C.45海里 D.50海里
A.35海里 B.40海里
A A
E/
/\\
线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8 AB=4,则DE的长为（）
A.3
/f第5题）
D.6
B.4 C.5
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.） 5. 如图，学校有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走 “捷径”，在草坪内走出了一条 ”路\".他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了青草. 6.
蛛，与蜘蛛相对
如图，圆柱形玻璃容器高 20cm底面圆的周长为 48cm,在外侧距下底1cm的点A处有一蜘
1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为 ______________
-
的圆柱形容器的上口外侧距上口
7. 如果三条线段的长度分别为 8cm xcm 18cm,这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以 正方形的面积为 ____________ .
8. 已知△ ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|
，则△ ABC的面积为 ________ .
x为边长的
三、解答题（共6小题，1、2题各10分，3-6题各12分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤•） 9. 如图是一块地，已知 AB=8m BC=6m / B=90°, AD=26m CD=24m求这块地的面积•
10.
棒露在盒外面的最短长度是多少？
如图，将一根30 cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和24 cm的长方体无盖盒子中，求细木
4 ______
11. 如图，铁路上 A B两点相距25km, C、D为两村庄，DAL AB于A CB丄AB于B,若DA=10km,CB=15km现 要在AB上建一个周转站 E,使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站 E应建在距A点多远处？
10
12. 如图，折叠矩形纸片ABCD先折出折痕（对角线）AC,再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE,若AB=3, AD=4 求BE的长.
13. 如图，A B两个小镇在河流 CD的同侧，至昨可流的距离分别为 河
边建一自来水厂，向 A、B两镇供水，铺设水管的费用为每 置M使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
AC=10km BD=30km 且 CD=30km 现在要在 km3万元，请你在河流 CD上选择建水厂的位
5 A -1 =| ----- L 二二二二二二 14. “交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 市70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城 A处
街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置 正前方30米的C处，过了 2秒后，测得
小汽车所在位置 B处与车速检测仪间距离为 50米，这辆小汽车超速了吗?
附加题（10分，不计入总分）
如图，P是矩形 ABCD内一点，PA=1, PB=5, PC=7 贝U PD= _________
变式训练答案：
二、 5.4
一、1.C 2.A 3.D 4.C 6.30cm
7.260cm 或 388cm
8.30
三、 9.解：连接AC.……1分
在厶 ABC中，T AB=8m,BC=6mZB=90°,
•••由勾股定理， AC=AB\"+BC=82+62=100,AC=10. 在厶 ACD中, AC+CD=102+242=676,AD2=676 ,
••• AC+CD=AD. •••△ ACD是直角 三角形.……6分
□
I
Ac xCD
4XABXBC4 X10X244XSX6=心
答：求这块地的面积是 96m.……io分 10. 解：由勾股定理，82+62=102,……3分
2 2 2
10 +24 =26 .……6 分 • 30-26=4.……8 分
答：细木棒露在盒外面的最短长度是
4cm. ....... 10分
11. 解：设E点建在距A点xkm处.……1分
如图，则 AE长xkm, BE长(25-x)km.……2分 •/ DAI AB,「.A DAE是直角三角形. 由勾股定理， DE=AD+A£=102+X2.……5分
2 2 2 2
同理，在 Rt△ CBE中, CB+BE=15+(25-x).……7 分
2 2 2 2
依题意，10+x=15+(25-x),……9分 解得，x=15.……11分
答：E应建在距 A15km处.……12分
12. 解：在AC上截取AF=AB连接EF.……1分 依题意，AB=AF, BE=EF, / B=Z AFE=90 .……3 分 在 Rt△ ABC中，AB=3, BC=AD=4,
• AC=32+42=25,AC=5. • CF=AC-AF=5-3=2.……5 分 设BE长为x，贝U EF=x,CE=4-x.……7分
2 2 2 2 2 2
在 Rt△ CFE中，CE=EF+CF,即(4-x) =x +2 .……9 分
3
解得，x= 2 . ......... 11分
3
答：BE的长为亍……12分
13. 解：作点A关于CD的对称点E,连接EB,交CD于 M.则AC=CE=10公里. 过点A作AF丄BD,垂足为F.
过点B作CD的平行线交EA延长线于G,得矩形CDBG：••…4分
则 CG=BD=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=4里:……7 分
在 Rt△ BGE中，由勾股定理， Bl=BG+EG=302+402,BE=50km,……9 分 ••• 3X 50=150（万元）：……11 分 答：铺设水管的总费用最少为
150万元：……12分
14：解：依题意，在 Rt △ ACB中，AC=30米，AB=50米， 由勾股定理，BC=AB\"-AC2=502-30 2,BC=40米：……3分 •••小汽车由C到B的速度为40- 2=20米/秒：……5分 •/ 20米/秒=72千米/小时，……8分 72> 70,……10分
因此，这辆小汽车超速了 ：……12分 附加题 解:过点P作MN/ AD交AB于点M,
交CD于点N,
贝U AM=DN BM=CN：••…2 分
•••/ PMA2 PMB=90 ,
• PA^PM^AM, PB>M
F=BM.……4 分
• PA2-PB2=AhM-BM2：……5 分
同理，PD'-PC2=DNI-CN2：……7 分
• PA2-PB2=PD）-PC2：又 PA=1, PB=5 PC=7,……8 分 • PD=PA-PB2+ PC=12-5 2+ 72, PD=5：……10 分
DN
