江西省宜春市上高二中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（上）第二次月考数

学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁IB）等于( ) A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}

2．函数y=

的定义域是( )

，﹣1）∪（1，

）

C．[﹣2，﹣1）∪（1，

A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）

3．已知函数f（x）=lgA．b

B．﹣b C．

，若f（a）=b，则f（﹣a）等于( ) D．

4．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间( ) A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞）

5．函数y=4（x+3）2﹣4的图象可以看作由函数y=4（x﹣3）2+4的图象，经过下列的平移得到( )

A．向右平移6，再向下平移8 B．向左平移6，再向下平移8 C．向右平移6，再向上平移8 D．向左平移6，再向上平移8

6．曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A．e2 B．2e2 C．e2

D．

7．下列命题正确的个数是( )

“若方程x2+x﹣m=0无实根，（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：

则m≤0”

（2）对于命题p：“∂x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0” （3）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 （4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题． A．4 B．3 C．2 D．1 8．设＜

＜

＜1，那么( )

A．aa＜ab＜ba

9．已知函数A．

B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa

，则f（2）的最小值为( )

B．16

C．

D．

10．设f（x）=lg（A．（﹣1，0）

+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是( )

D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）

B．（0，1） C．（﹣∞，0）

11．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么( )

A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点 B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点 C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点 D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点

12．x（已知x1，是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数2x1＜x2）定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是( ) A．

B．

C．

D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．设函数f（x）=，则f（f（3））=__________．

14．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为__________．

15．已知偶函数f（x）在[0，2]内单调递减，若

，则a，b，c之间的大小关系为

󰀀__________．（从小到大顺序）

16．fx）=ln已知函数（

fa）+f=0， ，若（（b）且0＜a＜b，则ab的取值范围是__________．

三、解答题（共6个小题，共70分）

17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈（﹣1，2]时，求函数f（x）的值域．

18．设集合

，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．

（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； （2）若A⊇B，求m的取值范围．

19．设p：函数f（x）=x3﹣3x﹣a在x∈[alnx在区间

，

]内有零点；q：a＞0，函数g（x）=x2﹣

内是减函数．若p和q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

21．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R． （Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．

22．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|．

（1）求f（x）的最小值； （2）若f（x）的最小值为2，求

的最小值．

2015-2016学年江西省宜春市上高二中高三（上）第二次

月考数学试卷（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁IB）等于( ) A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．

【分析】由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．

【解答】解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，

∴∁IB={0，1}，

则A∩（∁IB）={1}． 故选：A．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．函数y=

的定义域是( )

，﹣1）∪（1，

A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）

） C．[﹣2，﹣1）∪（1，

【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质． 【专题】计算题．

【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．

【解答】解：

﹣∴y=

≤x＜﹣1或1＜x≤．

的定义域为[﹣

，﹣1）∪（1，

]．

答案：A

【点评】考查对数的定义域和单调性．

3．已知函数f（x）=lgA．b

B．﹣b C．

，若f（a）=b，则f（﹣a）等于( ) D．

【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】判断函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值即可． 【解答】解：由f（﹣x）=lg

＞0，得﹣1＜x＜1，

=lg

=lg

lg

，

∴f（x）是奇函数，

∴f（﹣a）=﹣f（a）=﹣b． 故选：B．

【点评】本题考查函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．

4．函数f（x）=log2x﹣的零点包含于区间( ) A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，+∞） 【考点】二分法求方程的近似解．

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．

【分析】由题意知函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续，再由函数的零点的判定定理求解．

【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在（0，+∞）上连续， f（3）=log23﹣＜0；f（4）=log24﹣=＞0； 故函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间是（3，4）．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．

5．函数y=4（x+3）2﹣4的图象可以看作由函数y=4（x﹣3）2+4的图象，经过下列的平移得到( )

A．向右平移6，再向下平移8 B．向左平移6，再向下平移8 C．向右平移6，再向上平移8 D．向左平移6，再向上平移8 【考点】函数的图象与图象变化． 【专题】计算题．

【分析】由于把函数y=4（x﹣3）2+4的图象向左平移6个单位可得 y=4（x+6﹣3）2+4=4（x+3）2﹣4的图象，再向下平移8个单位，解可得到y=4（x+3）2 ﹣4的图象，由此可得结论．

22+4的图象向左平移6个单位可得 y=4+4=4【解答】解：由于把函数y=4（x﹣3）（x+6﹣3）

（x+3）2+4的图象，

再向下平移8个单位，解可得到y=4（x+3）2+4﹣8=4（x+3）2 ﹣4的图象， 故选B．

【点评】本题主要考查函数的图象平移变换方法，依据x加减左右平移（左加右减），函数值加减上下平移（加向上、减向下），属于中档题．

6．曲线y=ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A．e2 B．2e2 C．e2

D．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题．

【分析】欲求切线与坐标轴所围三角形的面积的大小，只须求出其斜率得到切线的方程即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

【解答】解：∵点（2，e2）在曲线上， ∴切线的斜率k=y′|x•2=ex|x•2=e2， ∴切线的方程为y﹣e2=e2（x﹣2）． 即e2x﹣y﹣e2=0．

与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣e2），（1，0）， ∴S△=×1×e2=

．

故选D．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

7．下列命题正确的个数是( )

“若方程x2+x﹣m=0无实根，（1）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：

则m≤0”

（2）对于命题p：“∂x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0” （3）“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 （4）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题． A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；对应思想；简易逻辑． 【分析】直接写出命题的逆否命题判断（1）；写出命题的否定判断（2）；求出方程的解后利用充分必要条件的判定方法判断C；由复合命题的真假判断判断D．

【解答】解：对于（1），命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题为：“若方程x2+x﹣m=0无实根，则m≤0”，故（1）正确； 对于（2），命题p：“∂x∈R使得x2+x+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故（2）正确；

对于（3），由x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2，∴“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故（3）正确； 对于（4），若p∧q为假命题，则p，q中至少一个为假命题，故（4）错误． ∴正确命题的个数有3个． 故选：B．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的逆否命题和命题的否定，训练了充分必要条件的判定方法，考查了复合命题的真假判断，是基础题．

8．设＜＜＜1，那么( )

A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 【考点】指数函数单调性的应用． 【专题】计算题．

【分析】先由条件结合指数函数的单调性，得到0＜a＜b＜1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解．

【解答】解：∵＜＜

＜1且y=（）x在R上是减函数．

∴0＜a＜b＜1

∴指数函数y=ax在R上是减函数 ∴ab＜aa

∴幂函数y=xa在R上是增函数 ∴aa＜ba ∴ab＜aa＜ba 故选C．

【点评】本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性．

9．已知函数A．

B．16

C．

，则f（2）的最小值为( )

D．

【考点】基本不等式． 【专题】计算题．

【分析】由基本不等式a+b≥2

（a＞0，b＞0）易于作答．

【解答】解：由题意知f（2）=8+8a+≥8+2×4=16（a＞0）， 所以f（2）的最小值为16． 故选B．

【点评】本题考查基本不等式a+b≥2

10．设f（x）=lg（A．（﹣1，0）

（a＞0，b＞0）．

+a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是( )

D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）

B．（0，1） C．（﹣∞，0）

【考点】奇函数；对数函数的单调性与特殊点．

【分析】首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0），求出a，

然后由对数函数的单调性解之． 【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），

，即

=

，

，

1﹣x2=（2+a）2﹣a2x2

此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=﹣1

则

即

解得﹣1＜x＜0 故选A

【点评】本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性．

11．函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么( )

A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点 B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点 C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点 D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点 【考点】利用导数研究函数的极值． 【专题】分析法．

【分析】先对函数F（x）进行求导，可确定F'（x0）=0即x0有可能是函数的极值点，然后再判断函数f（x）的增长快慢从而确定F（x）的单调性，得到结论． 【解答】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）， ∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0） ∴F'（x0）=0，

又由a＜x0＜b，得出

当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0， 当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0， ∴x=x0是F（x）的极小值点 故选B．

【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．

12．x（已知x1，是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，函数2x1＜x2）定义域为[x1，x2]，g（k）=f（x）max﹣f（x）min，若对任意k∈R，恒只有成立，则实数a的取值范围是( ) A．

B．

C．

D．

【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】先求f′（x）=

，根据x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）

的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0，则可判断导数分子的符号，因此可判断导数的符号，由此得到g（k），则利用分离常数的方法求结论中a的范围，此时只需求出关于k的函数的最值即可． 【解答】解：由已知f′（x）=

，

又因为x1，x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根，结合图象可知，当x∈[x1，x2]时，4x2﹣4kx﹣1≤0， 所以﹣[4x2﹣4kx﹣1﹣3]内是增函数，

所以g（k）=f（x）max﹣f（x）min=f（x2）﹣f（x1）=x2（x1＜x2）是方程4x2﹣4kx﹣1=0（k∈R）的两个不等实根， 所以

，代入①式化简后得：g（k）=

，由对

①，又因为x1，

恒成立，故f′（x）＞0在[x1，x2]恒成立，故f（x）在定义域

任意k∈R，恒成立得： ，结合k2≥0，所以

，

故a的取值范围是a．

故选A．

【点评】本题考查了不等式的恒成立问题，一般是分离参数转化为函数的最值求解，本题的关键是利用已知条件判断出函数f（x）的单调性，再用韦达定理实现对g（k）表达式的化简．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．设函数f（x）=，则f（f（3））=3．

【考点】分段函数的应用；函数的值．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】利用分段函数直接求解函数值即可．

【解答】解：函数f（x）=，

则f（f（3））=f（

）=f（）=1﹣log2（2﹣）=1+2=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查函数值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．

14．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为

．

【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用．

【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．

【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）， ∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根， ∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b， 解得a=2，b=﹣3．

∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为故答案为：

．

． ．

【点评】本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根及其根与系数的关系、一元一次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．

15．已知偶函数f（x）在[0，2]内单调递减，若

，则a，b，c之间的大小关系为

󰀀b＜a＜c．（从小到大顺序）

【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质；对数的运算性质．

【分析】先根据偶函数的性质将﹣1，2]内单调递减，得到函数值的大小即可． 【解答】解：∵偶函数f（x） ∴f（lg）=f（lg2），f（﹣1）=f（1），∵lg2＜1＜2，f（x）在[0，2]内单调递减 ∴f（lg2）＞f（1）＞f（2）即c＞a＞b 故答案为b＜a＜c

，lg，化到[0，2]内，根据函数f（x）在[0，

=2，

【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及函数的奇偶性和对数的运算性质，属于基础题．

16．已知函数f（x）=ln）．

【考点】对数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用．

，若f（a）+f（b）=0，且0＜a＜b，则ab的取值范围是（0，【分析】利用函数关系式得出ln等式求解即可．

【解答】解：∵函数f（x）=ln∴ln即

=0， =1．

=0，即=1．a+b=1，考虑基本不

，若f（a）+f（b）=0，

化简得出：a+b=1，又0＜a＜b， 利用基本不等式得出：ab

=1．ab＞0，

∴ab的取值范围是（0，）， 故答案为：（0，）．

【点评】本题考察了对数函数的性质，基本不等式的性质，属于综合题目，但是化简难度不大．

三、解答题（共6个小题，共70分）

17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈（﹣1，2]时，求函数f（x）的值域．

【考点】二次函数的性质；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】（1）根据f（2）=0及方程f（x）=x有两个相等实根，求出a与b的值，即可确定出f（x）解析式；

（2）根据x的范围，利用二次函数的性质求出出f（x）的值域即可． 【解答】解：（1）根据题意得：解

，

解得：，

则f（x）=﹣x2+x；

（2）∵x∈（﹣1，2]，f（x）=﹣（x2﹣2x+1）+=﹣（x﹣1）2+， ∴f（x）的值域是（﹣，]．

【点评】此题考查了二次函数的性质，函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

18．设集合

，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}．

（1）当x∈Z时，求A的非空真子集的个数； （2）若A⊇B，求m的取值范围．

【考点】子集与真子集；集合的包含关系判断及应用． 【专题】计算题；函数的性质及应用．

【分析】（1）由x∈Z，知={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．由此能

求出A的非空真子集的个数．

（2）由A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）

=0}．A⊇B，知，或，由此能求出m的取值范围．

【解答】解：（1）∵={x|﹣2≤x≤5}，

∵x∈Z，∴A={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}． ∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254． （2）∵A={x|﹣2＜x＜5}，

B={x|x2﹣3mx+2m2﹣m﹣1＜0}={x|（x﹣2m﹣1）（x﹣m+1）=0}． A⊇B，

∴，或，

解得﹣1≤m≤2，或m不存在．

故m的取值范围{m|﹣1≤m≤2}．

【点评】本题考查集合的真子集个数的求数，考查满足条件的实数的取值范围的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

19．设p：函数f（x）=x3﹣3x﹣a在x∈[alnx在区间

，

]内有零点；q：a＞0，函数g（x）=x2﹣

内是减函数．若p和q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．

【考点】命题的真假判断与应用．

【专题】综合题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；简易逻辑． 【分析】把函数f（x）=x3﹣3x﹣a在x∈[（x∈[

]）的值域内．

，

]上的最值求得p：

．再由函数g

，

]内有零点，转化为a在函数y=x3﹣3x

利用导数求出函数y=x3﹣3x在[（x）=x2﹣alnx在区间

内是减函数，得g′（x）=2x﹣=（x＞0）在

内小于等于0恒成立，由此求出q：a∈（0，2]．然后分p真q假和p假q真求

得实数a的取值范围．

【解答】解：函数f（x）=x3﹣3x﹣a在x∈[等价于a在函数y=x3﹣3x（x∈[由y′=3x2﹣3，可知当x∈[∴y=x3﹣3x在[∴p：

，

，

]内有零点，

]）的值域内．

]时，y′＞0，

，当x=

时，y=0．

，1）时，y′＜0，当x∈（1，

]上的极小值为﹣2，又当x=﹣时，y=．

内是减函数．

函数g（x）=x2﹣alnx在区间

则g′（x）=2x﹣=（x＞0）在内小于等于0恒成立，

∴≥，则0≤a≤2，又a＞0，

∴q：a∈（0，2]．

当p真q假时，a∈[﹣2，0]，当p假q真时，综上，a的取值范围为[﹣2，0]∪

．

．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题． 20．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|=3米，|AD|=2米．

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积．

【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】计算题． 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形DNC∽三角形ANM，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；

（2）解法1：利用当且仅当a=b时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：求出S′=0时函数的驻点，讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【解答】解：（1）解：设AN的长为x米（x＞2）

由题意可知：∵∴∴

∴

由SAMPN＞32得

，

∵x＞2

∴3x2﹣32（x﹣2），即（3x﹣8）（x﹣8）＞0（x＞2） 解得：

即AN长的取值范围是（2）解法一：∵x＞2， ∴

当且仅当

，即x=4时，取“=”号

即AN的长为4米，矩形AMPN的面积最小，最小为24米． 解法二：∵

∴

令S'=0得x=4

当2＜x＜4时，S'＜0当x＞4时S'＞0 当x=4时，S取极小值，且为最小值．

即AN长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小为24平方米．

【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，利用导数求闭区间上函数最值的能力．以及用当且仅当a=b时取等号的方法求最值的能力．

21．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x，a∈R． （Ⅰ）当a=时，求函数y=f（x）的极值；

（Ⅱ）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（﹣1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】导数的综合应用．

【分析】（Ⅰ）将a=时代入函数f（x）解析式，求出函数f（x）的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与f′（x）的符号及f（x）的单调性情况表，从表就可得到函数f（x）的极值； （Ⅱ）由题意首先求得：

，故应按a＜0，a=0，a＞0分

类讨论：当a≤0时，易知函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，从而当b∈（0，1）时f（b）＜f（0），则不存在实数b∈（1，2），符合题意；当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或

，又要按根

大于零，小于零和等于零分类讨论；

对各种情况求函数f（x）x∈（﹣1，b]的最大值，使其最大值恰为f（b），分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．

【解答】解：（Ⅰ）当a=时，则

，化简得

， （x＞﹣1），

列表如下： 1） 1 x （﹣1，0 （0，（1，0） +∞） f′（x） + 0 0 + ﹣ f（x） 增 极大值 减 极小值 增 ∴函数f（x）在（﹣1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2﹣，

∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为

（Ⅱ）由题意

，在x=0处取到极大值为0；

，

（1）当a≤0时，函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b）； （2）当a＞0时，令f′（x）=0有x=0或①当在（

，即a＞时，函数f（x）在（

，

）和（0，+∞）上单调递增，

）上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（﹣1，b]时，

）＜f（1），代入化简得

，

函数f（x）的最大值为f（b），则f（令∵∴a②当增， 在（0，

时，

（a＞），

恒成立，故恒有恒成立；

，即0＜a＜时，函数f（x）在（﹣1，0）和（

，

）上单调递

）上单调递减，此时由题，只需，解得a≥1﹣ln2，

又1﹣ln2，

∴此时实数a的取值范围是1﹣ln2≤a＜；

③当a=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．

综上，实数a的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，着重考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，解答该题要求考生具有较强的逻辑思维能力，属难度较大的题目．

22．已知m，n∈R+，f（x）=|x+m|+|2x﹣n|． （1）求f（x）的最小值； （2）若f（x）的最小值为2，求

的最小值．

【考点】分段函数的应用．

【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】（1）化绝对值函数为f（x）=，从而判断函数的单调性及

最值即可；

（2）由基本不等式可得

．

【解答】解：（1）∵f（x）=，

∴f（x）在是减函数，在

=， ．

是增函数；

∴当x=时，f（x）取最小值（2）由（1）知，f（x）的最小值为∴

=2，∵m，n∈R+，

，

（当且仅当∴

，即m=1，n=2时，取等号），

的最小值为2．

【点评】本题考查了绝对值函数的与分段函数的应用及基本不等式的应用．