客房预订

摘要

本问题属于优化问题，针对会议筹备中的人数估计、宾馆客房的预定，综合考虑与会代表的满意程度、会议成本、组织的便捷度等几个方面的因素，对所给的筹备优化问题进行了全面的优化设计。建立了三个模型，模型一预测与会人数，由于往年资料不足，采用平均百分比估算法和线性拟合法，预测实际与会人数为634人；模型二确定选择那几间宾馆，用0-1规划和线性规划（用matlab求解）求出最优的宾馆；模型三分配房间，用分配的方法，还有用最少的钱来选择最优的方案。考虑筹备组管理及代表的方便，如满足代表在价位等方面的需求、预订的宾馆总数尽量少，距离上尽量靠近等合理选择宾馆和客房。从经济、方便、代表满意等方面，用数学建模的方法对赛程进行了定量的分析和评价。

关键词：人数预测 线性拟合 0-1规划 matlab 平均百分比估算法

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1. 问题重述

某市的一家会议服务公司负责承办一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。筹备组要在6

家宾馆中选定几间来为代表预定房间。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 备选宾馆的名称用代号①至⑥表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据附表2与附表3从以往几届会议情况来预订宾馆客房。而预定的客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将引起代表的不满。

本题希望我们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

该问题来源于实际，我们认为合理的方案需要考虑如下问题： 1．尽可能准确地预测实际与会人数；

2．尽可能少选宾馆数，且尽可能满足与会代表。

2. 问题分析

模型一：首先综合以往几届会议代表回执和与会情况表，用平均百分比估算法和线性拟合法来预测本届实际到会人数。

模型二：通过预测本届实际到会人数，来分析要多少个宾馆，用0-1规划和线性规划（用matlab求解）求出最优的宾馆，才能方减少资金。

模型三：确定了在那些宾馆中订房之后，用数学的方法，通过资金最少，满足会议代表们得要求。

3. 模型假设

1 、参加会议的代表回执的住房信息不会更改。 2、实际的人数就是预测的人数。

4. 符号设定

2

x：实际与会人数 y：发来回执人数 Z：所选宾馆数.

ki ：第i个宾馆是否被选中.

T1j：需要预订合住第j种类型客房数量 T2j: 需要预订独住第j种类型客房数量

x1ij: 预订第i家宾馆第j种类型双人房(合住)间数 x2ij: 预订第i家宾馆第j种类型单人房(独住)间数 yij: 预订第i家宾馆第j种类型双人房(改独住)间数

5. 模型的建立与求解

1、 预测本届实际与会代表人数

通过以往几届会议代表回执与会情况表（附表3），预测本届实际与会代表人数的方案有两个。方案1运用多项式拟合，方案2运用平均百分比求解法。 1.1方案1：

通过附表2男女合住和独住的所有数据相加，得第五届发来回执的代表人数：

144581044832171075768284119723实际与会人数=发来回执的代表数+未发回执而以会的代表数-发来回执但未以会的代表数。(xi由附表3得： 发来回执的代表数量y 发来回执但未与会的代表数量c 未发回执而与会的代表数量d 实际与会人数x 第一届 第二届 第三届 第四届 315 57 283 356 115 69 310 408 121 75 362 711 213 104 602 yicidi)

对以往四届发来回执的代表数和实际的与会人数进行拟合，运用MATLAB软件编程

计算（过程见附录1）得出拟合图如下图1；

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图1 求的函数为：

y0.8096*x26.9620

将第五届发来回执的代表人数x5723代入上式可得：本次实际与会人数为

634人。

1.2方案2

要确定第五届的与会人数，首先就要对以往几届的基本情况进行分析， 整理表格如下表2：

表2（往届资料） 发来回执的代表数量 发来回执但未与会的代表数量 未发回执而与会的代表数量 实际与会的代表数量 发来回执但未与会代表占回执代表百分比 第一届 第二届 第三届 第四届 第五届 315 57 283 356 115 69 310 408 121 75 362 711 213 104 602 723 0.2825 0.3230 0.2966 0.2996 4

未发回执而与会代表占回执代表百分比 0.1810 0.1938 0.1838 0.1463 实际与会代表占0.84 0.8708 0.8873 0.8467 回执代表百分比 取其百分比的平均值并计算：（0.84+0.8708+0.8873+0.8467）/4=0.8758 则第五届实际与会人数为：0.8758723=634（人） 比较以上两个方案：

由于方案1数据只有四组，数据偏少，导致误差较大，排除这种方法.而方案2，因为以往几届的实际与会代表占回执代表百分比都非常接近，因此选用方案2，即预测第五届实际与会人数为634人。 2、 求需要宾馆的个数

因为最后发来回执的与实际与会人数不同，所以只能根据给出的表2本届与会代 表住房要求信息表，按照一定的比例估算出实际应该如何分配房间。 计算方法为：

比例系数=本届实际与会人数／发来回执的代表数，即634/723=0.8769，此比例将原表2中每个数据*0.8769,得到数据统统取整，小数部分不足0.5也都补1。得到新表2。

原表2 本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）

合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3 男 144 104 女 58

48

32 17

107 57

68 28

41 19

新表2本届与会代表住房要求信息表

男 女 合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3 127 51 92 43 70 29 15 23 94 50 144 60 25 85 36 17 53 465 合计房间 90 说明：在遇到双人间的预定人数为奇数时，采用加一的原则，给多出的一人分配一个双人间，让其一人居住。

通过建立目标规划模型来预定宾馆。以与预定宾馆数相对较少为目标建立目标函数。为了使与会代表满意度高； 设共有r家宾馆双人、单人房各s种类型

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本届会议要求合住、独住各s(=3) 需要预订合住第j种类型客房数量T1j 需要预订独住第j种类型客房数量T2j

预订第i家宾馆第j种类型双人房(合住)间数 x1ij 预订第i家宾馆第j种类型单人房(独住)间数 x2ij 预订第i家宾馆第j种类型双人房(改独住)间数 yij 第i家宾馆的选择变量 ki (ki=0,1) r kix1ijT1j,j1,2,,si1 r ki(x2ijyij)T2j,j1,2,,si1

0第i个宾馆未被选中设ki

1第i个宾馆被选中考虑人数集中，便于安排，所以以宾馆数相对较少为目标建立函数，要求合住的与会代表合住一客房数不小于90,合住二客房数不小于70，合住三客房数不小于23，再由于要求独住一代表可以住合住一房间同时不影响满意度，所遇合住一与独住一房间总数不小于234，合住二与独住二房间总数不小于155，合住三与独住三房间房间总数不小于76，建立目标规划.通过原表2和新表2的值写出目标函数和约束条件如下：

目标函数：minZ =

ki6i

95k250k350k485k540k69060k85k45k7012440k150k530k62395k2110k350k485k580k6234约束条件：

100k185k245k430k615570k130k350x530k676用matlab求解得x11，x21，x31，x51（详细求解过程见附录2）

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则参与第五届会议的人员入住宾馆1，宾馆2，宾馆3，宾馆5。 3、 客房安排

在模型二中，解得需要的宾馆4间，分别是宾馆1，宾馆2，宾馆3，宾馆5。 在尽量满足能住下、集中住的前提下得出以下入住宾馆的最终方案。由新表2可知需要各个价位客房的间数。

最终预定的房间数（表1）

120~160 161~200 201~300 单人房 双人房 单人房 双人房 单人房 双人房 144 90 85 70 53 23

所选宾馆情况如表：

所选宾馆各价位各类型房间数目（表2）

120~160 161~200 201~300 宾馆

单人房 单人房 单人房

序号 双人房 双人房 双人房 1 40 60 30 40 2 95 85 3 60 50 30 5 85 35

将独住一、二、三可以住在合住一、二、三的房间里，统计所需客房种类数目如下表3.

表3（客房种类数目） 合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3 宾馆房间230 145 75 60 40 60 总数 与会的住90 70 23 144 -85 53 房 剩余的住140 75 52 -84 -45 7 房 最后住房90+84 70+45 23 67 40 60 安排 从上表可以看出合住房多，独住房少。独住1 的房间间数60，就安排这84 人住合住1 双人间，把双人间当做单人间住，同理独住2 安排40 人单人间，安排剩余的45人住合住的双人间，这样安排代表都会满意.

接着确定宾馆客房安排，根据表3房间按照价格从小到大依次分配到1,2,3,5，4个宾馆中，首先考虑房间的价位满足代表需求，然后让他们尽可能住便宜的，由于宾馆3中的单人间比较贵，而合住3中还剩下52间，可以改成单人间，这样价位也符合，资金也减少了。所以预订客房的方案如下：

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单人房

宾馆 序号

双人房

22301416182224

160 1800001500020000总计元 元 元 元 元 元 元 元 元 元 元 （间）

1 40 30 60 40 2 60 14 50 5 3 60 50 5 50 6 总计1111

60 40 30 0 50 14 5 40 6 465

（间） 0 0

由上表可知：在宾馆1预订170间，宾馆2预订129间，宾馆3预订110间，宾馆5预订56间；其中宾馆1有17间双人房改为单人房，其中宾馆2有59间双人房改为单人房，其中宾馆3有50间双人房改为单人房，其中宾馆5有26间双人房改为单人房。

6. 模型的评价

优点：

1.从建模总体来看，3个模型都是通过编程来解决的，这体现了建模的科学性. 2.从实际出发建立模型，进行参与人数的偏差分析，符合客观的实际情况. 3.运用表格进行数据统计，使得问题更简洁、易懂、直观.

4.以宾馆价格因素为确定选择宾馆的方案，给与会代表带来了直接利益. 5.合住男女剩单人单独开了两间合住房，虽然降低了满意度，但符合实际.

缺点：

1.由于题目里面许多条件都有不确定性，在预测参加会议的人数时，得出的数 据与实际值之间可能还是存在一定的误差.

2.可以将宾馆总数最少和宾馆间距离最短结合起来，建立双目标规划模型.

7. 参考文献

[1]

姜启源，数学建模2009年Dhttp://www.doc88.com/p-58441796177.html，2011年7月6日. [2] 张德丰，matlab数学分析与应用，国防工业出版社，2009

题

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8. 附 录

附录1：matlab线性拟合

附录2：matlab软件0-1规划程序

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