2020年哈尔滨市平房区中考数学一模试题有答案精析

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣ B．﹣2 C． D．2

2．下列运算中，正确的是（ ） A．x2•x3=x5 B．D．（x3）2=x5 C．3x2﹣x2=3 （2x）2=2x2

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0

5．如图所示的几何体是由五个大小相同的正方体搭建而成的，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

6．如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为35°，高CD长为3米，则斜梁AC的长为（ ）米．

A． B． C．3sin35° D．

7．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）

A． = B． = C． = D． =

8．某班科技兴趣小组的学生，将自己的作品向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送作品56件，若全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）

A．x（x﹣1）=56×2 B．2x（x+1）=56 C．x（x+1）=56 D．x（x﹣1）=56 9．BC=10，如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，则△CEF的周长为（ ）

A．12 B．16 C．18 D．24

10．小红从劳动基地出发，步行返回学校，小军骑车从学校出发去劳动基地，在基地停留10分钟后，沿原路以原速返回，结果比小红早7分钟回到学校，若两人都是沿着同一路线行进，且两人与学校的距离s（米）和小红从劳动基地出发所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的结论有（ ）个 ①学校到劳动基地距离是2400米； ②小军出发53分钟后回到学校； ③小红的速度是40米/分；

④两人第一次相遇时距离学校1610米．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．2310000用科学记数法表示为______．

12．在函数y=中，自变量x的取值范围是______． 13．计算：3﹣=______．

14．把多项式mn2﹣6mn+9m分解因式的结果是______．

15．扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为______cm2． 16．不等式组的解集是______．

17．一个不透明的袋子内装有2个红球、2个黄球（这些球除颜色外完全相同），从中同时摸出两个球，都是红球的概率是______． 18．方程的解为x=______．

19．矩形ANCD中，AD=5，CD=3，在直线BC上取一点E，使△ADE是以DE为底的等腰三角形，过点D作直线AE的垂线，垂足为点F，则EF=______． 20．AE=3，已知等边△ABC，点E是AB上一点，点D在AC的延长线上，∠ABD+∠BCE=120°，tan∠D=，则CD=______．

三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21．先化简，再求代数式÷（a+2﹣）的值，其中a=tan45°+2sin60°．

22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

F在小正方形的顶点上，（1）在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E、且菱形ABEF

的面积为3；

（2）在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．

23．某校对九年级的部分同学做一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的抽样调查活动，学校将减压方式分为五类，每人必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下的统计图，请你结合图中所提供的信息，解答下列问题： （1）一共抽查了多少名学生？ （2）请把条形统计图补充完整；

（3）若该校九年级共有350名学，请估计该年级学生选择“听音乐”来缓解压力的人数．

24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．

25．某班同学组织春游活动，到超市选购A、B两种饮料，若购买6瓶A种饮料和4瓶B种饮料需花费39元，购买20瓶A种饮料和30瓶B种饮料需花费180元． （1）购买A、B两种饮料每瓶各多少元？

（2）实际购买时，恰好超市进行促销活动，如果一次性购买A种饮料的数量超过20瓶，则超出部分的价格享受八折优惠，B种饮料价格保持不变，若购买B种饮料的数量是A种饮料数量的2倍还多10瓶，且总费用不超过320元，则最多可购买A种饮料多少瓶？ 26．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为⊙O上一点，且FB=FD． （1）如图1，点F在弧AC上时，求证：∠BDC=∠DFB；

（2）如图2，点F在弧BC上时，过点F作FH∥CD分别交AB、BD于点G、H，求证：BD=2FG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD、AF，DH：HG=3：5，OG=5，求△ADF的面积．

27．已知直线y=x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+3过A、C两

点，交x轴另一点B．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；

（3）如图3，在（2）的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．

2020年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．﹣2的相反数是（ ） A．﹣ B．﹣2 C． D．2 【考点】相反数．

【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案． 【解答】解：﹣2的相反数是2， 故选：D．

2．下列运算中，正确的是（ ） A．x2•x3=x5 B．D．（x3）2=x5 C．3x2﹣x2=3 （2x）2=2x2

【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．

【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，幂的乘方底数不变指数相乘，合并同类项系数相加字母及指数不变，积的乘方等于乘方的积，可得答案． 【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A正确； B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；

C、合并同类项系数相加字母及指数不变，故C错误； D、积的乘方等于乘方的积，故D错误 故选：A．

3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：图1、图5都是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义． 图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合． 图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形． 故选B．

4．函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（ ）

A．y1＜y2＜0 B．y2＜y1＜0 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到x1•y1=x2•y2=﹣6，然后根据x1＜x2＜0即可得到y1与y2的大小关系．

【解答】解：根据题意得x1•y1=x2•y2=﹣6， 而x1＜x2＜0， ∴0＜y1＜y2． 故选D．

5．如图所示的几何体是由五个大小相同的正方体搭建而成的，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选：C．

6．如图，要焊接一个等腰三角形钢架，钢架的底角为35°，高CD长为3米，则斜梁AC的长为（ ）米．

A． B． C．3sin35° D．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】利用锐角三角函数关系分别得出AC的长即可．

【解答】解：因为等腰三角形钢架，钢架的底角为35°，高CD长为3米， 所以AC=， 故选D．

7．如图，在△ABC中，D为AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于点E，过点D作DF∥AC交BC 于点F，则下列结论错误的是（ ）

A． = B． = C． = D． = 【考点】平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得出答案． 【解答】解：∵DF∥AC， ∴=，

∵DE∥BC，

∴四边形DECF为平行四边形， ∴DE=CF，

∴=，故A正确； ∵DE∥BC，

∴=，故B正确；

∵DE∥BC，DF∥AC， ∴=， =，故C错误； ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴=， =，

∴=，故D正确；

故选C．

8．某班科技兴趣小组的学生，将自己的作品向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送作品56件，若全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）

A．x（x﹣1）=56×2 B．2x（x+1）=56 C．x（x+1）=56 D．x（x﹣1）=56 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】若全组有x名同学，根据科技兴趣小组的学生，将自己的作品向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送作品56件，可列方程求解．

【解答】解：设全组有x名同学，每位同学将送出（x﹣1）件，由题意得 x（x﹣1）=56． 故选：D． 9．BC=10，如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，则△CEF的周长为（ ）

A．12

D．24

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】先根据矩形的性质得AD=BC=10，AB=CD=8，再根据折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，易得△CEF的周长．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=10，AB=CD=8，

∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处， ∴AF=AD=10，EF=DE， 在Rt△ABF中， ∵BF==6，

∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，

∴△CEF的周长为：CE+EF+CF=CE+DE+CF=CD+CF=8+4=12． 故选A．

10．小红从劳动基地出发，步行返回学校，小军骑车从学校出发去劳动基地，在基地停留10分钟后，沿原路以原速返回，结果比小红早7分钟回到学校，若两人都是沿着同一路线行进，且两人与学校的距离s（米）和小红从劳动基地出发所用时间t（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中正确的结论有（ ）个 ①学校到劳动基地距离是2400米； ②小军出发53分钟后回到学校； ③小红的速度是40米/分；

④两人第一次相遇时距离学校1610米．

A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一次函数的应用．

【分析】①令t=0，则S=2400，由此可知①正确；②根据速度=路程÷时间可算出小军的速度，由横坐标上的点可以知道小军往返的时间为2倍的（23﹣3）分钟，加上在劳动基地呆的10分钟可知小军出发50分钟后回到学校，②不正确；③由小军比小红早到校7分钟

B．16

C．18

可知小红路上一共用了60分钟，由速度=路程÷时间可得出小红的速度，③正确；④由时间=路程÷速度和可算出相遇时小红出发的时间，由路程=速度×时间即可得出结论④不成立．结合上面分析即可得出结论． 【解答】解：①令t=0，则S=2400，

∴学校到劳动基地距离是2400米，①正确； ②小军的速度为2400÷（23﹣3）=200（米/分），

小军到学校的时间为（23﹣3）+10+（23﹣3）=50（分钟），②不正确； ③小红到学校的时间为3+50+7=60（分钟）， 小红的速度为2400÷60=40（米/分），③正确； ④两人第一次相遇的时间为3+÷=12.5（分钟），

相遇的地点离学校的距离为2400﹣40×12.5=1900（米），④不正确． 综上可知只有①③正确． 故选B．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．2310000用科学记数法表示为 2.31×106 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

n的绝对值与小数点移动的位数相同．值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：2310000=2.31×106， 故答案为：2.31×106．

12．在函数y=中，自变量x的取值范围是 x≥1且x≠2 ． 【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．

【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x﹣1≥0且2﹣x≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故答案为x≥1且x≠2．

13．计算：3﹣= ﹣3 ． 【考点】二次根式的加减法．

【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式=﹣4=﹣3． 故答案为：﹣3．

14．把多项式mn2﹣6mn+9m分解因式的结果是 m（n﹣3）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=m（n2﹣6n+9）=m（n﹣3）2， 故答案为：m（n﹣3）2

15．扇形的圆心角为120°，弧长为6πcm，那么这个扇形的面积为 27π cm2．

【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．

【分析】利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积=弧长×半径÷2． 【解答】解：∵， ∴r=9cm，

∴扇形的面积=6π×9÷2=27πcm2．

16．不等式组的解集是 3＜x≤4 ． 【考点】解一元一次不等式组．

【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：， 解①得：x≤4， 解②得：x＞3．

则不等式组的解集是：3＜x≤4． 故答案是：3＜x≤4．

17．一个不透明的袋子内装有2个红球、2个黄球（这些球除颜色外完全相同），从中同时摸出两个球，都是红球的概率是 ． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，都是红球的有2种情况， ∴从中同时摸出两个球，都是红球的概率是： =． 故答案为：．

18．方程的解为x= 9 ． 【考点】解分式方程．

【分析】本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣3），去分母，转化为整式方程求解．结果要检验． 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得 2x=3（x﹣3）， 解得x=9．

经检验x=9是原方程的解．

19．矩形ANCD中，AD=5，CD=3，在直线BC上取一点E，使△ADE是以DE为底的等腰三角形，过点D作直线AE的垂线，垂足为点F，则EF= 1或9 ． 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；矩形的性质．

【分析】分两种情形①当点E在CB的延长线上，②当点E在线段BC上，利用勾股定理求出EB，再利用全等三角形证明EF=EC即可解决问题． 【解答】解；如图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC=5，AB=CD=3，∠ABC=∠C=∠ABE=90°，AD∥EC ∵AE=AD=5，

∴∠AED=∠ADE=∠DEC，

在RT△ABE中，∵AE=5，AB=3， ∴EB===4，

在△EDF和△EDC中， ，

△EDF≌△EDC

∴EF=EC=EB+BC=9．

如图2中，∵AD=AE=5，AB=3， ∴BE==4， ∴EC=1， ∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠DEC=∠AED， 在△EDF和△EDC中， ，

∴△DEF≌△DEC， ∴EF=EC=1，

综上所述EF=9或1． 故答案为9或1．

20．AE=3，已知等边△ABC，点E是AB上一点，点D在AC的延长线上，∠ABD+∠BCE=120°，tan∠D=，则CD= ．

【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；解直角三角形．

【分析】作∠BCD平分线交BD于F，可得∠BCF=∠DCF=∠A=60°，再根据∠ABD+∠BCE=120°可得∠FBC=∠ECA，即可证△FBC≌△ECA，从而得AE=CF=3，过点F作FG⊥CD于点G，由∠DCF度数可求得CG、FG的长，由tan∠D=可得DG，即可得答案． 【解答】解：如图，作∠BCD平分线交BD于F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°，AC=BC， ∴∠ACD=120°， ∴∠BCF=∠A=60°，

又∵∠ABD+∠BCE=120°，即∠ABC+∠FBC+∠BCE=120°， ∴∠FBC+∠BCE=60°，

∵∠ECA+∠BCE=∠ACB=60°， ∴∠FBC=∠ECA， 在△FBC和△ECA中， ∵，

∴△FBC≌△ECA（ASA）， ∴AE=CF=3，

过点F作FG⊥CD于点G， ∴CG=CFcos∠FCD=3×=， FG=CFsin∠FCD=3×=， 又∵tanD==， ∴DG==3，

∴CD=CG+DG=， 故答案为：．

三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21．先化简，再求代数式÷（a+2﹣）的值，其中a=tan45°+2sin60°． 【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．

【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=÷ =÷ =• =，

当a=tan45°+2sin60°=1+时，原式==．

22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．

F在小正方形的顶点上，（1）在方格纸中画以AB为一边的菱形ABEF，点E、且菱形ABEF

的面积为3；

（2）在方格纸中画以CD为一边的等腰△CDG，点G在小正方形的顶点上，连接EG，使∠BEG=90°，并直接写出线段EG的长．

【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质． 【分析】（1）根据题意、菱形的四边相等，菱形面积公式画图即可； （2）根据等腰直角的性质和题意画图即可． 【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示： EG==．

23．某校对九年级的部分同学做一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的抽样调查活动，学校将减压方式分为五类，每人必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如下的统计图，请你结合图中所提供的信息，解答下列问题： （1）一共抽查了多少名学生？ （2）请把条形统计图补充完整；

（3）若该校九年级共有350名学，请估计该年级学生选择“听音乐”来缓解压力的人数．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）利用“流谈心”的人数除以所占的百分比计算即可得解；

（2）用总人数乘以“享受美食”所占的百分比计算求出体育活动的人数，然后补全统计图即可；

（3）用总人数乘以“听音乐”所占的百分比计算即可得解． 【解答】解：（1）一共抽查的学生：6÷15%=40人； （2）参加“享受美食”的人数为：40×20%=8， 补全统计图如图所示：

（3）“该校九年级300名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数为：350×=105．

24．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．

【考点】菱形的判定与性质． 【分析】（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；

（2）根据平行线的性质、三角形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC=2DE． ∵CF∥BE，

∴四边形BCFE是平行四边形． ∵BE=2DE，BC=2DE， ∴BE=BC．

∴▱BCFE是菱形；

（2）解：①∵由（1）知，四变形BCFE是菱形， ∴BC=FE，BC∥EF，

∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形， ∴S△FEC=S△BEC．

②△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB=S△BEC． ③S△ADC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△ADC=S△BEC． ④S△BDC=S△ABC，S△BEC=S△ABC，则它S△BDC=S△BEC．

综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC．

25．某班同学组织春游活动，到超市选购A、B两种饮料，若购买6瓶A种饮料和4瓶B种饮料需花费39元，购买20瓶A种饮料和30瓶B种饮料需花费180元． （1）购买A、B两种饮料每瓶各多少元？

（2）实际购买时，恰好超市进行促销活动，如果一次性购买A种饮料的数量超过20瓶，则超出部分的价格享受八折优惠，B种饮料价格保持不变，若购买B种饮料的数量是A种饮料数量的2倍还多10瓶，且总费用不超过320元，则最多可购买A种饮料多少瓶？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）分别利用购买6瓶A种饮料和4瓶B种饮料需花费39元，购买20瓶A种饮料和30瓶B种饮料需花费180元分别得出等式求出即可；

（2）分别表示出购买两种饮料的费用，进而得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设购进A种饮料每瓶x元，购进B种饮料每瓶y元，根据题意可得： ， 解得：，

答：购进A种饮料每瓶4.5元，购进B种饮料每瓶3元；

（2）设购进A种饮料a瓶，购进B种饮料（2a+10）瓶，根据题意可得； 20×4.5+4.5（a﹣20）×80%+3（2a+10）≤320， 解得：a≤28， ∵a取正整数， ∴a最大为28，

答：最多可购进A种饮料28瓶．

26．已知：AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F为⊙O上一点，且FB=FD． （1）如图1，点F在弧AC上时，求证：∠BDC=∠DFB；

（2）如图2，点F在弧BC上时，过点F作FH∥CD分别交AB、BD于点G、H，求证：BD=2FG；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AD、AF，DH：HG=3：5，OG=5，求△ADF的面积．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可证得=，然后由圆周角定理，证得：∠BDC=∠DFB；

（2）首先连接FO并延长交BD于点M，连接OD，易证得△FOD≌△FOB（SSS），证得BM=DM=BD，继而证得△FGB≌△BMF（AAS），则可证得结论； （3）首先设DH=3m，GH=5m，易证得△FHM≌△BHG（AAS），然后由勾股定理得方程（12m﹣5）2=（8m）2+52，解此方程即可求得答案．

【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴=，

∴∠BDC=∠DFB；

（2）证明：如图2，连接FO并延长交BD于点M，连接OD， 在△FOD和FOB中， ，

∴△FOD≌△FOB（SSS）， ∴∠DFO=∠BFO， ∵FD=FB， ∴FM⊥BD， ∴BM=DM=BD， ∵OF=OB，

∴∠OFB=∠OBF， ∵FH∥CD，

∴∠CEG=∠FGB=90°， 在△FGB和△FBM中， ，

∴△FGB≌△BMF（AAS）， ∴FG=BM， ∴BD=2FG；

（3）解：如图3，∵DH：HG=3：5， ∴设DH=3m，GH=5m， ∵△FGB≌△BMF， ∴FM=BG，

在△FHM和△BHG中， ，

∴△FHM≌△BHG（AAS），

∴HM=GH=5m，DM=8m，BH=13m， 在Rt△BGH中，HB=13m，GH=5m， 由勾股定理得：GB=12m，

在Rt△FGO中，FG=8m，OG=5，OF=OB=12m﹣5， ∵FG2+OG2=OF2，

∴（12m﹣5）2=（8m）2+52， 解得：m1=，m2=0（舍去）；

∴OB=24，DM=12，OF=OB=13，AB=26， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD==10，

∴S△ADF=×AD×DM=60．

27．已知直线y=x+m与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+3过A、C两点，交x轴另一点B．

（1）如图1，求抛物线的解析式；

（2）如图2，P、Q两点在第二象限的抛物线上，且关于对称轴对称，点F为线段AP上一点，2∠PQF+∠PFQ=90°，射线QF与过点A且垂直x轴的直线交于点E，AP=QE，求PQ长；

（3）如图3，在（2）的条件下，点D在QP的延长线上，DP：DQ=1：4，点K为射线AE上一点连接QK，过点D作DM⊥QK垂足为M，延长DM交AB于点N，连接AM，当∠AMN=45°时，过点A作AR⊥DN交抛物线于点R，求R点坐标．

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）先求点C的坐标，接着求出一次函数的解析式，进而可得A点坐标，然后将A点坐标代入二次函数解析式即可求出b；

（2）由于P、Q关于抛物线对称轴对称，故PQ与x轴平行，所以只需求P、Q横坐标即可求出PQ长度．延长QP、AE交于点H，易证△HAP≌QEH，从而QH=AH，过点Q作QK⊥AB于点G，则四边形AGQH是正方形，设出Q点坐标，利用QH=QG建立方程即可求出P、Q两点坐标，从而得出答案；

（3）在（2）的条件下，过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，易证△AKM≌△ANG，从而AK=AN，过点D作DL⊥AB于点L，则四边形HALD是矩形，易得△HKQ≌△LND，进而求得HK=LN=2，设出R点坐标，由tan∠HQK=tan∠OAR=建立方程即可求出R点坐标．

【解答】解：（1）∵当x=0时，， ∴C（0，3），

将点C代入得m=3， 当y=0时，x=﹣6， ∴A（﹣6，0）， 将点A代入得，

∴抛物线的解析式为；

（2）如图2，延长QP、AE交于点H，

∵点P、Q关于对称轴对称， ∴QP∥x轴， ∵AE⊥x轴， ∴∠H=90°，

∵2∠PQF+∠PFQ=90°，

∴∠PQF+∠PFQ=90°﹣∠PQF=∠HEQ=∠HAP+∠EFA， ∴∠PQF=∠HAP，

在△HAP和△QEH中，

∴△HAP≌△QEH， ∴QH=AH，

过点Q作QK⊥AB于点G， ∴四边形AGQH是正方形， 设点Q（t，）， ∴QH=t+6， QG=， ∴t+6=，

解得：t=﹣1或t=﹣6（舍去）， ∴Q（﹣1，5）；

∵点P、Q关于x=﹣对称， ∴点P（﹣4，5）， ∴PQ=3；

（3）∵DP：DQ=1：4， ∴DP=1，D（﹣5，5），HD=1，

∵DN⊥QK，∠AMN=45°，过点A作AG⊥AM交DN延长线于点G，如图3，

∴AM=AG，

∴KMN+∠KAN=180°，

∴∠MKA+∠MNA=180°，∠ANG+∠MNA=180°， ∴∠MKA=∠ANG， ∵KAN=∠MAG=90°， ∴∠MAK=∠NAG， 在△AKM和△ANG中，

∴△AKM≌△ANG， ∴AK=AN，

过点D作DL⊥AB于点L，四边形HALD是矩形， ∴HD=AL=1，AH=DL=QH，∠HKQ=∠DNL， 在△HKQ和△LND中，

∴△HKQ≌△LND， ∴HK=LN， 设HK=LN=m， 则AN=AK=m+1， ∴AH=m+1+m=5， ∴m=2，

∵∠HQK=∠OAR，

∴tan∠HQK=tan∠OAR=， 设R（m，﹣），

过点R作RS⊥AB于点S， ∴，

∴m=或m=﹣6（舍）， ∴R（，）．

2020年9月27日