数列求和专题

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：S1an)nn(a2nan(n1)12d 2、等比数列求和公式：Sna1(q1)nna1(1q)a11qanq1q(q1)

n3、 S1n(n1) 4、S21nknnkn(n1)(2n1k12k16)n5、 Snk3[1n(n1)]2 k12[例1] 已知log13xlog，求xx2x3xn的前n项和. 23解：由log13xlog3logxlog1332x2

2 由等比数列求和公式得 S2nxxx3xn 1n ＝x(1x)2(112n)1x＝

＝1－1 112n2

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)Sn(n32)S的最大值.

n1 解：由等差数列求和公式得 S1n2n(n1)， S1n2(n1)(n2) ∴ f(n)Sn(n32)S＝nn1n234n ＝

1＝

11n348250 n(nn)50 ∴ 当 n88，即n＝8时，f(n)1max50

1

（利用常用公式） （利用常用公式）二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn （错位相减）

1xn1(2n1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12x1x(2n1)xn1(2n1)xn(1x) ∴ Sn 2(1x)[例4] 求数列

2462n,2,3,,n,前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积

222462n设Sn23n…………………………………①

222212462nSn234n1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1)Sn234nn1 （错位相减）

222222212n 2n1n1

22n2 ∴ Sn4n1

2

三倒序序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

012n[例5] 求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n

证明： 设SnCn3Cn5Cn(2n1)Cn………………………….. ① 把①式右边倒转过来得

nn110 （反序） Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn012n 2

mnm 又由Cn可得 Cn01n1n Sn(2n1)Cn…………..…….. ② (2n1)Cn3CnCn01n1n ①+②得 2Sn(2n2)(CnCnCnCn)2(n1)2n （反序相加）

∴ Sn(n1)2n

[例6] 求sin1sin2sin3sin88sin的值

解：设Ssin1sin2sin3sin88sin…………. ①

将①式右边反序得

Ssinsin88sin3sin2sin1…………..② （反序） 又因为 sinxcos(90x),sin2xcos2x1

①+②得 （反序相加）

2222222222222222S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)＝

∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n项和：11,1114,27,,n13n2，… aaa111解：设Sn(11)(4)(27)(n13n2)

aaa将其每一项拆开再重新组合得

Sn(11112n1)(1473n2) （分组） aaa(3n1)n(3n1)n当a＝1时，Snn＝ （分组求和）

2211n(3n1)naa1n(3n1)na当a1时，Sn＝ 1a1221a32[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设akk(k1)(2k1)2k3kk ∴ Snk(k1)(2k1)＝(2kk1k1nn33k2k)

将其每一项拆开再重新组合得

3

Sn＝2k1nk3kk （分组）

32k1k1nn＝2(1323n3)3(1222n2)(12n)

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1) ＝ （分组求和） 222n(n1)2(n2) ＝

2

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1（1）anf(n1)f(n) （2） tan(n1)tanncosncos(n1)111(2n)2111（3）an （4）an1()

n(n1)nn1(2n1)(2n1)22n12n1（5）an1111[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(6) ann212(n1)n1111 nn,则S1nn1nnn(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2112,1231nn1112,,1nn1,的前n项和.

[例9] 求数列

解：设ann1n （裂项）

1nn1则 Sn123 （裂项求和）

＝(21)(32)(n1n) ＝n11 [例10] 在数列{an}中，an解： ∵ an

12n2，又bn，求数列{bn}的前n项的和. n1n1n1anan112nn n1n1n124

∴ bn2118() （裂项）

nn1nn12211338n n11411)] （裂项求和） nn1∴ 数列{bn}的前n项和

11221) ＝ ＝8(1n1 Sn8[(1)()()(111cos1[例11] 求证： 2cos0cos1cos1cos2cos88cossin1解：设S111 cos0cos1cos1cos2cos88cossin1∵tan(n1)tann （裂项） cosncos(n1)111 （裂项求和）

cos0cos1cos1cos2cos88cos1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tantan88]} ＝sin1 ∴S11cos1(tantan0)＝cot1＝2 ＝sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ cosncos(180n) （找特殊性质项）

∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

5

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

„„

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和） ＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002 ＝a6k1a6k2a6k3a6k4 ＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质 mnpqamanapaq （找特殊性质项） 和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和）

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6) ＝log39log39log39 ＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和. n个11解：由于111k个111k99999(101) （找通项及特征） 9k个1 6

∴ 1111111111 n个1＝

11111(101)(1021)(1031)(10n1) （分组求和） 9999＝

19(10110210310n)19(1111) n个1110(10n＝1)9101n9 ＝

181(10n1109n) [例16] 已知数列{a8n}：an(n1)(n3),求(n1)(anan1)的值.

n1解：∵ (n1)(anan1)8(n1)[1(n1)(n3)1(n2)(n4)] （找通项及特征） ＝8[1(n2)(n4)1(n3)(n4)] （设制分组） ＝4(1n21n4)8(11n3n4) （裂项）

∴ (n1)(aa11(11nn1)4()8) （分组、裂项求和）n1n1n2n4n1n3n4 ＝4(11)81344 ＝

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说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

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