复合函数问题

复合函数

一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数定义域问题：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。 例1、⑴若函数⑵若⑶已知

的定义域是[0，1]，求

的定义域； 的定义域； 定义域．

的定义域是[-1，1]，求函数定义域是

，求

点评：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答： 解：⑴ 函数复合而成的函数． 函数

的定义域是[0，1]，

的值域为[0，1]．

是由A到B上的函数

与B到C上的函数

∴B=[0,1]，即函数∴

，

∴，即，

∴函数⑵ 函数而成的函数．

的定义域[0，]．

与B到C上的函数

复合

是由A到B上的函数

的定义域是[-1，1]，

∴A=[-1,1]，即-1∴

，

的值域是[-3，1]，

1

,即

∴

的定义域是[-3，1]．

的定义域为

，则

的定义域就是不等式，则

的定义域就是函数

点评：若已知

的的集合；若已知

的值域。

⑶ 函数成的函数．

的定义域为

是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而

的定义域是[-4，5),

∴A=[-4,5)即∴又的函数，而∴∴

即是由

到,从而

，

的值域B=[-1，8） 上的函数

的值域

与B到C上的函数

复合而成

∴

∴的定义域是[1，）．

的定义域．

例2．已知函数定义域是（a,b），求

解：由题，，，

当，即时，不表示函数；

2

当

，即

时，

表示函数，

其定义域为说明： ① 已知

已知变量的

．

的定义域为(a,b)，求的定义域为的取值范围，即

求得

的范围，即为

，求

的定义域的方法：

的定义域。实际上是已知中间

，

的定义域。 的定义域的方法：

的定义域。实际上是已知直接变

求得

的范围，则。通过解不等式

② 已知若已知

的定义域为(a,b)，求的定义域为

，求。先利用

量的取值范围，即的范围即是

的定义域。

三、复合函数的解析式问题： 例1．①已知

②已知

求

； ，求

．

例2．①已知 ，求；

②已知点评：

已知即可。

已知

配凑法就是在式，再直接把

，求．

求复合函数的解析式，直接把中的换成

求的常用方法有：配凑法和换元法。 中把关于变量

的表达式先凑成

整体的表达

换成而得。

3

换元法就是先设的式子）直接代入即得

。

是一次函数，满足

，求

；

，从中解出（即用表示中消去

得到

，最后把

），再把（关于中的直接换成

例6．①已知

②已知，求．

点评：

⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。

⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知

满足某个等式，这个等式除

是未知量外，还出现其他未知

量，如、等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，。

通过解方程组求出

四、复合函数单调性问题： （1）引理证明：

已知函数yf(g(x)).若ug(x)在区间(a,b ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数yf(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf(g(x))在区间(a,b ）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断：

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

yf(u) ug(x) yf(g(x)) 增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数yf(g(x))的单调性判断步骤： 1、确定函数的定义域；

4

2、将复合函数分解成两个简单函数：yf(u)与ug(x)。 3、分别确定分解成的两个函数的单调性；

4、 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf(g(x))为减函数。

例1求函数ylog0.5(x22x3)的单调区间和值域

解 :令ux22x3,由u0可知原函数的定义域为1,3.原函数是由

ux22x3与ylog0.5u复合而成.内层函数ux22x3(x1)24在

区间1,1上是增函数,在区间1,3上是减函数,而外层函数ylog0.5u在

u0,上是减函数,依据复合函数单调性的判断规律,原函数的单调增区间是

1,3,单调减区间是1,1.接下来求值域:u(x1)244,且根据对数的意

义u0,0u4,而函数ylog0.5u在区间0,4上是减函数,log0.5ulog0.542原函数的值域是2,.

例2已知函数y2x2ax1在区间,3上是增函数,求a的范围.

解:令ux2ax1,则原函数是由 ux2ax1与y2u复合而成.原函数在区间,3上是增函数,而外层函数y2u始终是增函数,则易知内层函数ux2ax1在区间,3上也是增函数.而实质上原函数的最大单调增区

aaa间是,,由,3,得3,即a6.

222例3求函数y4解:f(x)4和yx12x1232x5的单调区间和值域.

1x1(23)2,令u2x0,则原函数是由u2x02232x511(u3)2复合而成.外层函数yf(u)在u0,3上是减函数,在22 5

u3,上是增函数,而

u2x,即

2x0,3x,log23,2x3,xlog23,且内层函数u2x在区间

,log23和区间log23,上是增函数,所以原函数在区间,log23上是减

函数,在区间log23,上是增函数.下面求值域: 令u2x0,则y1u3211(当且仅当2x3即xlog23时ymax1),所

22221以,原函数的值域是,.

2例4求函数y1log0.5(x2x3)2的单调区间

解:令ux22x3,vlog0.5u,则原函数是由内层函数

ux22x3,中层函数vlog0.5u和外层函数y1v复合而成.由

0x22x3log0.5(x2x3)00x2x31215x1或3x2x3122x15,得原函数的定义域为15,13,15.显然内层函数

ux22x3(x1)22在区间15,1上是减函数,在区间3,15上是增函数.而vlog0.5u在u0,1(ux22x3,在求定义域中x满足0x22x31)上始终是减函数,y1在区间0,上也是减函数,根据两两复合,遵循\"同增异v减\"的原则,原函数的单调减区间是15,1,单调增区间是3,15.

五、复合函数的求导法则：

（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则 （2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导 3．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： （1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；

（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；

 6

（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数 也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，

μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导(y')，中间变量对自变量求导('x)；最后求y''x，并将中间变量代回为自变量的函数整个过程可简记为分解——求导——回代熟练以后，可以省略中间过程若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量 题型讲解

例1 求下列函数的导数：

(1)y(12x2)8, （2）y3x3x 解：(1)令u(12x2)8,yu8,

y827xyuux(u)(12x)8u4x32x(12x2)7.

11（2）令uxx3,yu3,

211 y(u)12113x3(xx3)333u(11x233)3xx1213x3. 例2 求下列函数的导数： （1）ycos2(axb), （2）y1sin2x1sin2x

解：（1）yu2,ucosv,vaxb,

yxyuuyvx(u2)(cosv)(axb)2u(sinv)a 2asinvcovsasin2vasin2(axb). 1（2）令yu2,u1v1v,vsint,t2x, 1yxyuuvvttx(u2)(1v1v)(sint)(2x) 11(1v)(12u2v)(1v)2cost2 112cos2x22cos2x21sin2x(1sin2x)2cos2x(1sin2x) 1sin2x

7

例3 求下列函数的导数：

sin2x1（1）yln (x1) （2）y2x

x11解：（1）yln yx11ln(x1)ln(x1), x1211111lnx(1)lnx(1)()2. 22x1x1x1sin21x（2）y(2)2sin21xsin21xsin2111ln2(sin)2xln22sin(sin)

xxx211 2ln221111sin2x2sin(cos)()22ln2sin

xxxxx例4 求下列函数的导数： （1） yesinxlnx , （2）ylnx4x12

11解：（1）yesinxlnx(cosxlnxsinx)(elnx)sinx(cosxlnxsinx)

3x1x) xsinx(cosxlnxsinx（说明：注意公式elnxx的运用） 解法1：yln(x4x12)x21x4() 42xx1 x21x44x3x2112xx42x21

x214x3(x21)x54x  xx21x4(x21)1解法2：y4lnxln(x21)

24114x2x2 y2

x2x1xx1点评：由（2）的解答过程可以看出，在求导时，若能利用对数性质先化简，再求导，运算较简便，对求导问题尝试一题多解，对我们是有帮助的 8