定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念

一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1x2将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为x（xxi1xixnb

ba），在每个小区间xi1,xi上取一点nii1,2,,n，作和式：Snf(i)xi1i1nnbaf(i) n如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：Sbaf(x)dx

其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。 说明：（1）定积分

baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n时）称为f(x)dx，而不是Sn．

ab （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间a,b；②近似代替：取点ixi1,xi；③求和：

nbbabaf()f(x)dxlimf；④取极限： iiannni1i1n例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx（k为常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功．

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为WFx． 1．分割

在区间0,b上等间隔地插入n1个点，将区间0,1等分成n个小区间：

n1bbb2b,b 0,, ，，…，nnnn记第i个区间为i1bib,(i1,2,nn,n)，其长度为xibi1bb nnn把在分段0,n1bbb2b,b上所作的功分别记作：W1，W2，…，Wn ,，，…，nnnni1bi1bb

xk(i1,2,nnn（2）近似代替 有条件知：WiF（3）求和

,n)

WnWii1i1nni1bbkb2k=012nnn2kb2nn1kb21n11 n222n

kb21从而得到W的近似值 WWn1

2nkb21kb2（4）取极限WlimWnlimWilim 1nnn2n2i1nkb2所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：

2

内容二 定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分

abf(x)dx表示由直线

xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分

abf(x)dx的几何意义。

说明：一般情况下，定积分

baf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线xa,xb之间各部分面

积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数yf(x)，若yf(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式fx1xfx2x不妨设f(xi),f(xi1),f(xi)xfxnx

,f(xn)0

于是和式即为fx1xfx2x 

例2．计算定积分

f(xi1)x{[f(xi)x][fxnx]}

abf(x)dx阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）

21(x1)dx

y 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：

5。 2o 1 2 x 21(x1)dx5 2

内容三 定积分的性质

性质1 性质2 性质3

1dxba

abbabkf(x)dxkf(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

aba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx（定积分的线性性质）

aacbbbb 性质4

f(x)dxf(x)dxf(x)dxaac(其中acb) （定积分对积分区间的可加性）

bb 说明：①推广： ②推广:

ba[f1(x)f2(x)c1afm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaafm(x)

abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dxc1c2f(x)dx

ckb内容四 微积分基本定理

一般地，如果函数F(x)是[a,b]上的连续函数，并且F'(x)f(x)，那么这个结论叫做微积分基本定理。

基本积分公式：

（1）（2）（3）

baf(x)dxF(b)F(a)

babxmdx1m1bxa(mQ,m1)； m1ab1dxlnxba； x； exdxexbaxbaaax（4）adxalnab；

（5）（6）

babcosxdxsinxba；

basinxdxcosxa

例3 求

bx1x2adx.

解 因为

111d(x2)2d(1x2)12222=2(1x)C(1x)C 2222221x1x1xxdx即

(1x2)2511x2012x有一个原函数为(1x)2，所以

212x1x20dx=(1x)2122051

内容五 定积分的简单应用

. 1、 曲边图形面积：S 2、 变速运动路程S 3、 变力做功 Wfxdx；

abt2t1v(t)dt；

baF(r)dr例4．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

y2x解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．

x2y30 选择x作积分变量，则所求面积为

S0[x(x)]dx1[x(x3)]dx=201dx1xdx4323x239321922 =x|0x|1(x)|1．

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