2016年北京市朝阳区中考一模数学试题及答案

数学试卷 2016.5

1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 考 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号． 生 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 须 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 知 5．考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众2000人， 将2000用科学计数法表示应为

A．2103 B．2.104 C．2.105 D．0.2106 2．实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是

A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d 3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A．

1121 B． C． D． 23994．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是

A B C D

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE的度数为

A．40º B．50º C．60º D．130º

AOEBCD6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示， 在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，测量找到AC 和BC的中点D、E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为

A．3300m B．2200m C．1100m D．550m

7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：

甲组 乙组 队员1 176 178 队员2 177 175 队员3 175 177 队员4 176 174 22设两队队员身高的平均数依次为x甲，x乙，方差依次为s甲，s乙，下列关系中完全正确的是 22A．x甲=x乙，s甲＜s乙

22B．x甲=x乙，s甲＞s乙 22D．x甲＞x乙，s甲＞s乙

22C．x甲＜x乙，s甲＜s乙

8．如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，A60， 则BC的长为

A．2π B．4π C．6π D．12π

9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为

AOBC（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A．（–2，–4） B．（–1，–4） C．（–2，4） D．（–4，–1）

10．如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且AGH30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的

A． 线段CG B． 线段AG C． 线段AH D． 线段CH

图1

–1y1O–112x图2 三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若二次根式x2有意义，则x的取值范围是____________．

22312．分解因式：ab6ab9b____________．

13．关于x的方程x22x2k40有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k =____________．

14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．

15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒． 16．阅读下面材料：

数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．

小艾的作法如下：

（3）作直线CF．

所以直线CF就是所求作的垂线．

如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点； （2）分别以点D和点E为圆心，大于

1DE长为半径作弧，两弧相交于点F； 2老师表扬了小艾的作法是对的．

请回答：小艾这样作图的依据是____________．

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

17．计算：(2)8(21)4cos45． 18．已知m1011，求(2m1)(2m1)m(m5)的值． m3(x1)6x,19．解不等式组并写出它的所有整数解． x1x.220．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF． 求证：BAC= 2∠1．

21．是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．

22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF =∠BAE． （1）求证：四边形AEFD是平行四边形 ； （2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

AECF1BBECFAD

23．在平面直角坐标xOy中，直线yxb与双曲线y轴交于点B．

(1) 求m的值和点B的坐标； (2) 点P在双曲线y

m的一个交点为A（2，4），与yxm上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标． x24．如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C． (1) 求证：DB平分∠PDC； (2) 若DC=6，tanP

25．阅读下列材料：

人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．

“百善孝为先”，北京市越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：

(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；

(2)选择统计表或统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍．总人口的比例表示出来；

(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．

26．观察下列各等式：

D3 ，求BC的长． 4AOCBP222=2，

33(1.2)6(1.2)6，

11()(1)()(1)， 22……

根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：

（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的

等于它们的 ； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：

－3＝ 3；

（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：

－ ＝  ；

（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所

有满足条件的等式；若不存在，说明理由．

27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yxbxc经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；

（3）将yxbxc（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点 N．若只有当128．在等腰三角形ABC中， AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，

22以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB． （1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数； （2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；

（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）

C C

29．在平面直角坐标系xOy中，A（t ，0），B（t，对于线段AB和x轴上方的点3，0）P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”． （1）若t图1

图2

PPBABA33333，在点C0，,D，中，线段AB的“等角点”,1E,22222是 ；

（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．

①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标； ②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；

③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是 ．

y

5

4

3

2

1

–1O12345678x –1

北京市朝阳区九年级综合测试（一）

数学试卷评分标准及参

一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题 号 答 案 题 号 答 案 题 号 答 案 1 C 2 D 11 3 C 4 B 12 5 B 6 B 7 A 13 8 B 9 A 10 D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） x2 14 b(a3b)2 15 1250 k1（k5的任意实数） 216 111xxx65234 等腰三角形“三线合一”； 两点确定一条直线． 三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解：原式= =

122214 ……………………………………………… …4分 22

1． ……………………………………………………………………… 5分 218．解：原式=4m21m25m ………………………………………………………… 2分 =5m25m1 ………………………………………………………………… 3分 =5(mm)1．

2m11， m2mm1． …………………………………………………………… 4分

∴原式=4． …………………………………………………………………… 5分

3(x1)6x,① 19．解： x1x.② 2 解不等式①，得x>-1．……………………………………………………………2分 解不等式②，得x≤1． ………………………………………………………… 3分

∴不等式组的解集是1∴∠1=∠FAB．…………………… 2分

CEF1AB∵AE=EF ，

∴∠EAF=∠EFA． ……………… 3分

∵∠1=∠EFA，

∴∠EAF=∠1．…………………… 4分

∴∠BAC=2∠1． …………………5分

21．解：设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得 xy245， …………………………………………………………………………3分

x2y50.x180， 解得 ………………………………………………………………………………5分

y65.答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ABDC,BDCF=90º． ∵BAECDF，

∴△ABE≌△DCF．………………1分 ∴BECF． ∴BCEF． ∵BCAD,

∴EFAD．………………………2分 又∵EF∥AD，

∴四边形AEFD是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF=AD= 5．

在△EFD中，DF=3，DE=4，EF=5，

∴DEDFEF．

∴∠EDF=90º．……………………………………………………………………4分

222BECFAD11EDDFEFCD． 2212 ∴CD． ……………………………………………………………………5分

5m23.解：（1）∵双曲线y经过点，A（2，4），

x ∴

∴m8．………………………………………………………………………1分 ∵直线yxb经过点A（2，4），

∴b2．…………………………………………………………………………2分

∴此直线与y轴交点B的坐标为（0，2）. …………………………………3分

（2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD． ∵DP是⊙O的切线， ∴OD⊥DP．

∴ODP90． ………………………………………………………1分 ∴ODBBDP90. 又∵DC⊥OB， ∴DCB90．

∴BDCOBD90． ∵OD=OB，

∴ODBOBD. ∴BDPBDC．

∴DB平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B作BE⊥DP于点E． ∵BDPBDC,BC⊥DC， ∴BC=BE. ……………………………………3分 ∵DC=6，tanPADOCBP3， 4 ∴DP=10，PC=8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x，BP=8- x．

DEAOCBP ∵△PEB∽△PCD，

x8x ∴ ．

610 ∴x3．

∴BC3. ……………………………………………………………………… 5分 25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分

（2）统计表如下：

2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表 年份 2013年 2014年 2015年 项目 老年人口数量 （单位：万人） 279.3 296.7 320 老年人口占 户籍总人口的比例 21.2% 22.3% 23% ……………………………………………………………………………………3分 （3）14； ……………………………………………………………………………………4分

能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分

33，；……………………………………………………………………2分 2211 （3）1，，1，（答案不唯一）； …………………………………………3分

22 （2） （4）存在. 设这两个实数分别为x，y．

可以得到 xyxy. ……………………………………………………4分 ∴yx． x1

1∴y1．

x1∴ x+1的值只能是1．

∵ 要满足这两个实数x，y都是整数，

∴当x0时，y0；当x2时，y2．

∴满足两个实数都是整数的等式为0000，(2)222．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入yxbxc，

∴c3．

把（2，–3）代入yxbx3，

22 ∴b2．

yx2x3． ………………2分 （2）由（1）得y(x1)4． ∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分 由x22x30解得x13,x21．

∴抛物线与x轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3）6． .……………………………………………………………………7分

28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分

∠DBA=90． ……………….………………………………………………2分

（2） 过点P作PE∥AC交AB于点E． ………………………………………………3分 ∴PEBCAB．

∵ AC=BC，

∴CBACAB． ∴PEBPBE． ∴PBPE．

又∵BPDDPEEPADPE， ∴BPDEPA． ∵PAPD，

∴△PDB≌△PAE．…………………………………………………………4分 ∵PBAPEB22CPBDEA11(180)90， 221∴PBDPEA180PEB=90．

2 ∴DBAPBDPBA. …………………………………………5分 （3）求解思路如下：

a．作AH⊥BC于H；

CPb．由∠C =30º，AC=2，可得AH=1，CH=3，BH=23， 勾股定理可求AB； ………………………………………6分 c．由∠APC=135 º，可得∠APH=45 º，AP=2 ； d．由∠APD=∠C=30º，AC=BC，AP=DP，

可得△PAD∽△CAB，由相似比可求AD的长． ……………7分 29.解：（1）C，D． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，

∵∠APB=60°，∠ABP=90°， ∴∠PAB=30°，

又∵∠OMN=30°，

∴PAPM,ABBM. ……………3分

∵AB3， ∴BMMN3.

∴PB1．

∴P（63，1）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ⊥AP，且∠APB=60º，

∴∠PBQ=30º. ∴∠ABQ=60º.

∴∠BMQ =∠MQB=30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB.

∴△ABQ是等边三角形.

∴∠AQB=60º. ………………………………………………………6分

同理，当点N在x轴下方时,可得P（6+3，1），∠AQB=90º. ………7分

③1MN3t43. …………………………………………………8分 2

说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.