北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 讲义(无答案)

第一章：三角形的证明

【基础知识】

1、全等三角形

（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的 、 相等。 （3）判定：“SAS”、 、 、 、 。 2、等腰三角形

（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形。

（2）性质：①等腰三角形的 相等。（“等边对等角”）

②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。( ③等腰三角形是 图形。

（3）判定：①定义 ②“ ”

（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形。 性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形。 3、直角三角形

（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形。

（2）性质：①“勾股定理” 。

②直角三角形两锐角 。

③直角三角形斜边上的中线等于 。

④在直角三角形中，30°角所对直角边等于 。 （3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形

③“勾股定理逆定理” 。

4、角平分线

（1）定义： 。 （2）性质：①角平分线上的点 相等。

②三角形的三条角平分线 ，且到 相等。 （3）判定：到角的两边 的点，在这个角的平分线上。 （4）角平分线的作法： 5、线段的垂直平分线

（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线。 （2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等。 ②三角形三边的垂直平分线 ，且到 相等。

（3）判定：到一条线段两个端点 的点，在这条线段的垂直平分线上。 （4）线段的垂直平分线的作法：

6、命题：判断一件事的句子叫命题。命题有 与 两部分。

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的 是另一个命题的 ，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的 。 7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．

【典例讲解】

一、选择题

1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）

A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点 ) 2、如图，从等腰△ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF，分别交AC、AB于点E、F，则□AFDE的周长等于这个等腰三角形的( )

A. 周长 B. 周长的一半 C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长

3、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（ ）

A.45° B.50° C.55° D.60°

4、如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（ ）

Ａ．10ｃｍ Ｂ．8ｃｍ Ｃ．5ｃｍ Ｄ．2．5ｃｍ

5、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（ ） Ａ．22 ｃｍ Ｂ．23 ｃｍ Ｃ．32 ｃｍ Ｄ．33ｃｍ

A F

E

B

2

D C

题 3题 4题 5题

6、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ） - 1 - / 12

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A.5 cm

B.6 cm C.

5 cm

7、如图（十）的(1)中，ABCD是一张正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D

D.8 cm

的折痕将A角翻折，使得点A落在（2）中EF上，折痕交AE于点G，那么∠ADG= .

三、解答题 1﹑已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问需要多少投入？

2、如图，A60，AB=AD=8，D

3、作图题（保留作图的痕迹，写出作法）（共6分）

如图（十一），在∠AOB内，求作点P，使P点到OA，OB的 距离相等， 并且P点到M，N的距离也相等.

ABD07、下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等

B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 8、下列说法正确的是（ ）

A.真命题的逆命题是真命题 B.每个定理都有逆定理 C．每个命题都有逆命题 D.假命题的逆命题是假命题 二、填空题

1、命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是__________________________。 这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）

2、已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC = 10 cm，则△ODE的周长 .

3、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 .

4、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形 A、B、C、D的面积的和是 B A CDAB1500，四边形的周长为32，求BC和CD的长。

Ccm2．

5、在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条 线的交点最适当．

6、如图（九），一个正方体的棱长为2cm，一只蚂蚁欲从A点处沿正方体侧面到B点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 .

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4、如图（十五），△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

求证：（1）AD⊥EF ；

（2）当有一点G从点D向A运动时，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F，此时上面结论是否成立？

5、如图（十六），△ABC、△DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：△CNM为等边三角形.

点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.

7、已知：菱形ABCD中（如图），∠A＝72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形．（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，没有标出能够说明分法所得三角形内角度数不给分；不要求写出画法，不要求证明）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分

5、如图2所示，已知：在△ABC中，AD为△ABC的中线，F为AC上一点，且AF=连结BF交AD于E，若EF=5cm.求BE的长。

1AC，3 A F E

B D C

6、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。当D

4如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC，求证：AD+CE=DE

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法．

分法一： 分法二： 分法三：

EAEDB

9、巳知：如图，在△ABC中AB＝AC， 延长AB到D使BD＝AB，E为AB的中点， 求证：CD＝2CE

AOC

8、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于O，若∠A=60°，

∠DCB=∠EBC=对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且

∠DCB=∠EBC=

DBC

1∠A，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等2

【巩固练习】

1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________. 2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.

3.如下左图，△ABC中，∠C=90°，AM平分∠CAB，CM=20 cm，则点M到AB的距离是________

1∠A，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明2- 4 - / 12

你的结论.

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A.a=3，b=4，c=5

B.a=1，b=

54，c=

33 C.a=9，b=12，c=15 D.a=

AE=_________，AE∶EC=_________.

5.如下左图，△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AB于D，若AB=10 cm，AC=6 cm，则△ACD的周长为_________.

6.如上右图，∠C=90°，∠ABC=75°，∠CDB=30°，若BC=3 cm，则AD=_________ cm. 7.如下左图，B在AC上，D在CE上，AD=BD=BC，∠ACE=25°，∠ADE=_________.

A.5 cm

B.6 cm C.

3，b=2，c=5

D.12

15.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6

B.7.5

C.10

16.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是（ ）

4.如上右图，等边△ABC中，F是AB中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则

5 cm D.8 cm

17.如右图，△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A的度数为（ ） A.55° B.45° C.36° D.30° 18.等腰△ABC中，AC=2BC，周长为60，则BC的长为（ ）

A.15 B.12 C.15或12

D.以上都不正确

19.直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是（ ）

8.等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是_________ cm.

（17题）

A.13 cm B.

3060 cm C. cm D.9 cm 1313B.50

C.100

D.60

20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25

21.等腰三角形的底边为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ）

9.如上右图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OQ=OP，OT=OS，PT和QS相交于点C，则图有_________对全等三角形.

10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.

11.三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形.

12.等边三角形的高为2 A.4

B.3

A.

32a B.

33 a C.

36a D.

1a 2D.直角三角形

22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ）

3，则它的边长为（ ）

C.2

D.5

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形

C.6 cm

D.4 cm

23.等腰三角形ABC中，∠A=120°，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE=4 cm，则AD等于（ ） A.8 cm B.7 cm 24.下列说法中，正确的是（ ）

A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等 C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等

25.如右图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8，BE=3，那么AC长为（ ）

13.等腰三角形的顶角是n°，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）

A.

90n2 B.90－

n2 C.

n2 D.90°－n°

14.下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ ）

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A.8 B.5

26.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ） A.4 27.下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等

B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 *28.已知一个直角三角形的周长是4+2 A.5

B.2

C.

∠BAD=

B.3

C.2

D.1

C.3

D.

34

31.已知三角形的三边分别是n2+n，n+

32.如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.

11和n2+n+ (n＞0)，求证：这个三角形是直角三角形. 226，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ）

D.1

5 429.已知：如图，AB=AC，DE∥AC，求证：△DBE是等腰三角形.

30.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求

12∠

33.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB与边面内作等边△ABD，连结DC，以DC当边作等边△DCE，B、E在C、D的同侧，若AB=

1证：CD=DB.

2

2，求BE的长.

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*34.①在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于N，交BC的延长线于M， ∠A=30°，求∠NMB的大小.

②如果将①中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小. ③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）

④将①中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？

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【连接中考】

1.（2011山东济宁，9，3分）如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是

A．22cm B．20 cm C．18cm D．15cm

y C A E C

D

O A B x

B - 8 - / 12

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2.（2011湖北黄冈，14，3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，

点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x－6上时，线段BC扫过的面积为（ ）A．4 B．8

C．16

D．. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在△ABC中，ABAC13，BC10，点

）

2 D为BC的中点，DEDEAB，垂足为点E，则DE等于（

10156075A． B． C． D．

13131313CEFG3. （2011安徽，6，4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、

H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）

A．7

B．9

C．10

D．11

4. （2011山东威海，3，3分）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则

BAF：CF＝（ ）

A．1：2

B．1：3

C．2：3

D．2：5

A5. （2011浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）

A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

B AAD

D

10. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，

F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为 ．

11. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º ，则∠EGC的度数为

12. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个

MEA C G D F E

FBEHC动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

BCDFG ． AF13. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．

14. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝ 度．

MPAN6. （2011浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是 7. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形，点B,C,D在一

BC条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=;②S

CD4个

⊿ABC

+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④

BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）8. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， 四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交 CE于点G，连结BE. 下列结论中：① CE=BD； ② △ADC是等腰直角三角形；③ ∠ADB=∠AEB； ④ CD·AE=EF·CG；一定正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

OQ

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15. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知△ABC中，ABC的交点，CD4，则线段DF的长度为（ ）. A．245， F是高AD和BE A．1 B．2 C．3 D．4

23. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) ①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形；③四边形A5B5C5D5的周长形AnBnCnDn的面积是

A1 A2 B B1 D3 A3 D2 C3

D1 C2 B3 C1

D

2 B． 4C．32 D．42 点Q是射线OMA，

（2011浙江衢州，1,3分）如图，OP平分MON,PAON于点16.

ab; ④四边4上的一个动点，若PA2，则PQ的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D. 4 17. （2011贵州贵阳，7，3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（ ） （A）3.5 （B）4.2 （C）5.8 （D）7 18. （2011河北，9，3分）如图3，在△ABC中，∠C=90°，BC=6,D,E分别在AB,AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（ ）

ab2n1 A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④ A … B2 1A．

2BDCA'图3 B．2 C．3 D．4

C C

24. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（ ）

A．2

A F E D

B

EAA C E 30° F B 45° D 3 B．33 C．4 D．43

25. （2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD

上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△

19. （2011江苏无锡，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D、E、F分别是AB、

BC、CA的中点，若CD = 5cm，则EF = _________cm．

20. （2011山东枣庄，15，4分）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若

部分的面积是________cm.

21. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 33

A.23 B. C. 3 D.6

2

22. （2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将

△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( )

2

DFB； ②S四边形 BCDG=

32

CG；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论 4AB=14cm，则阴影

A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．

D F G A E

H C

A F E H G

D

B B C

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北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 讲义（无答案）

26. （2011四川内江，16，5分）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足 条件时，四边形EFGH是菱形． 27. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ．

28. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

32. （2011广东株洲，23，8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的

中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证： OP=OQ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

29. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则

MCAM的值是 。

30．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，

且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大．

31. （2011山东烟台，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD＋CD＝2AB．

（1）求证：AB＝BC；

（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．

31．（2011宁波市，23，8分）如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，

过A点作AGDB交CB的延长线于点G． （1）求证：DE∥BF；

（2）若∠G＝90，求证四边形DEBF是菱形．

34. （2011四川成都，20,10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段

A E C D B 2

2

2

33．（2011四川内江，18，9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

E A D B

C

AD上一动点.

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北师大版八年级下册 第一章 三角形的证明 讲义（无答案）

(1)若BK=

5CDKC，求的值； 2AB1AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样21的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n2)，而其余条件不变

n (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

CDEKAB

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