初一数学平方根与立方根

精锐教育学科教师辅导讲义

年 级：初 一 辅导科目：数 学 课时数：3 课 题 平方根与立方根（二） 1． 了解算术平方根及平方根的概念，并会用符号表示； 2． 理解平方与开平方是互逆运算，会使用计算器求正数的算术平方根； 3． 了解立方根的概念，并掌握其表示方法，能够比较数的大小. 教学内容 教学目的 第1课时 （一）创设情景，导入新课 学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？ 因为525，所以边长应为5dm. 填表： 正方形的面积 边长 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题（引入新课）. （二）新课引入 1．一般地，如果一个正数x的平方为a，即xa，那么正数x叫做a的算术平方根，记为a，读作根号a，其中a叫做被开方数. 2229 49 144 0.81 36 49 ()112121，如：所以11是121的算术平方根，记为121；23529399， 所以是的算术平方根，记为. 2552525思考：若某一个正方形的面积为2，即x2，则x是2的算术平方根，x如何表示？ 【学以致用，牛刀小试】 1、 非负数a的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____ 2、 81___,16121____,_____ 25813、 16的算术平方根是_____, 0.的算术平方根____ 精锐教育网站：www.1smart.org - 1 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 4、 若x是49的算术平方根，则x=（ ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－49 5、 若x47，则x的算术平方根是（ ） A. 49 B. 53 C.7 D 53. 探究：怎样用两个面积为1的正方形拼成一个面积为2的大正方形？ 把两个小正方形沿对角剪开，将所得的四个直角形拼在一起，就的到一个面积为2的大正方形。 设大正方形的边长为x，则x2，由算术平方根的意义，x讨论：2有多大呢？ 22，即大正方形的边长为2 大多数计算器有学以致用，牛刀小试 1、若a是30的整数部分，a= 2、一个自然数的算术平方根为a，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是_______ 3、小妮想用一块面积为400cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2，请问小妮的想法能否实现？ 精锐教育网站：www.1smart.org - 2 - 精锐教育· 考试研究院

22按键，可以利用计算器求有理数的算术平方根. 中国领先的个性化教育品牌 第2课时 （一）创设情景，导入新课 复习提问：1、什么数的平方是49？ 2、一对互为相反数的平方有什么关系？ 我们知道749，并且7是叫做49的算术平方根，记为497，除7以外，(7)249，那么-7可以叫做49的算术平方根吗？若不可以，那有没有其它名称？ 一对互为相反数的平方是相等的. （二）知识新授 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果xa，那么x叫做a的平方根，记为22a. 例如，4和-4的平方都是16，所以4与-4是16的平方根，记为164. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 我们知道3的平方等于9,而9的平方根是3，所以平方与开平方是互为逆运算. a,(a0) 结论：（1）(a)a(a0)； （2）a. a,(a0)22 【即学即练】 1、求下列数的平方根 （1）100 （2）9 （3）0.25 （4） 0 （5）144 16 思考：负数有没有平方根？ 因为任何一个数的平方都不会为负数，所以负数是没有平方根的. 总结归纳： 1、 正数有两个平方根，它们互为相反数； 2、 0的平方根是0； 3、 负数没有平方根（根号下面的数都是非负数）. 讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？ 总结：1、平方根与算术平方根之间的区别 ⑴定义不同 如果xa，那么x叫做a的平方根。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，是0本身；精锐教育网站：www.1smart.org - 3 - 精锐教育· 考试研究院

2 中国领先的个性化教育品牌 负数没有平方根。 如果xa，并且x0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。 ⑵表示方法不同 正数a的平方根表示为a；正数a的算术平方根为a. ⑶平方根等于本身的数是0；算术平方根等于本身的数是0或1. 2、平方根与算术平方根之间的联系 ⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根，算术平方根是平方根中的非负的那一个; ⑵存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根; ⑶0的平方根和0的算术平方根都是0. 【牛刀小试】 1、说出下列各数的平方根 32⑴ ⑵0 ⑶0.4 ⑷1 ⑸16 ⑹4 3222 点评：要从根本之处理解一个数的平方根的运算，从平方根的概念入手，同时要知道，只有非负数才有平方根 2、计算 （1）1 3、 已知 4、若a52102ab2，求a、b的值 741 （2）2 （3）0.225 91a3ab72ab30，求：ba的平方根 5精锐教育网站：www.1smart.org - 4 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 【课堂练习】 1、判断下列说法是否正确 ⑴5是25的算术平方根 （ ） ⑵525是的一个平方根 （ ） 6362⑶4的平方根是－4 （ ） ⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ） 2、⑴121____,⑵1.69____,⑶49____,⑷1000.32____ 3、若x7，则x_____，x的平方根是_____ 4、993381的平方根是（ ） A.  B. C.  D. 442216242 5、给出下列各数：49, , 0, 4, 3, 3, 5，其中有平方根的数共有（ ） 3 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6、若一个数a的平方根等于它本身，数b的算术平方根也等于它本身，试求ab的平方根。 7、求下列各数中的x值 ⑴x25 ⑵x810 ⑶4x49 ⑷25x360 8、 如果一个正数的两个平方根为a1和2a7，请你求出这个正数 精锐教育网站：www.1smart.org - 5 - 精锐教育· 考试研究院

2222 中国领先的个性化教育品牌 第3课时 立方根 （一）创设情景，导入新课 如果这个正方体的体积为216 cm，那么它每条棱长是多少？ 分析： 假设这个正方体的棱长为xcm,则有x216，即要求一个数，使它的立方等于216. 因为有6216，那么x=6，就是这个正方体的棱长. （二）知识新授 如果一个数的立方等于a，这个数叫做a的立方根（也叫做三次方根），即如果xa，那么x叫做a的立方根 探究 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？ 因为28，所以8的立方根是（ 2 ） 因为0.50.125，所以0.125的立方根是（ 0.5 ） 因为00，所以8的立方根是（ 0 ） 因为28，所以8的立方根是（ 2 ） 33323333282因为，所以8的立方根是（  ） 3273 一个正数有一个正的立方根 【总结归纳】 0有一个立方根，是它本身 一个负数有一个负的立方根 任何数都有唯一的立方根 【类比思考】 平方根的表示我们已经很清楚了，那么立方根又该如何表示呢？ 【探究说明】 一个数a的立方根，记作3a，读作：“三次根号a”，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.例如：327表示27的立方根，3273；327表示27的立方根，3273. 【探究】因为38____,38____,所以38 = 38 因为327____,327____，所以327 = 327 总结 利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即3a3aa0. 用计算器求数的立方根的步骤及方法： 用计算器求立方根和求平方根的步骤相同，只是根指数不同. 步骤：输入3 → 被开方数 → = → 根据显示写出立方根 3例：求－5的立方根（保留三个有效数字）. 精锐教育网站：www.1smart.org - 6 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 3 → 5 → = → 1.709975947 所以 351.71 【典型例题】 例1 求下列各数的立方根 ⑴ －8 ⑵ 例2 计算 ⑴3 ⑵3125 ⑶ 322736 ⑶125 ⑷819 ⑸10 ⑹3 81027 ⑷3 ⑸30.0 27 例3 张叔叔有棱长为40.25cm的两个正方体纸箱中装满了大米，他将这两箱大米都倒入了另一个新的正方体木箱中，结果正好装满，那么这个新的正方体木箱的棱长大约是多少？（结果精确到0.01cm）. 分析 从一个实际问题中抽象出数学关系，即一个正方体的体积等于另一个正方体体积的2倍，列式并计算. 例4 解方程 3 ⑴x0.125 ⑵3x415360 3 精锐教育网站：www.1smart.org - 7 - 精锐教育· 考试研究院

中国领先的个性化教育品牌 【家庭作业】 一、填空题 1．如果x9，那么x＝________；如果x9，那么x________. 2．2的相反数是 ， 31的相反数是 . 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________. 4．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，102的算术平方根是 . 6．若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是 . 7．当m______时，3m有意义. 8．若一个正数的平方根是2a1和a2，则a____，这个正数是 ； 329．已知2a1(b3)20，则2ab ； 310．a12的最小值是________，此时a的取值是________． 二、选择题 11．下列说法错误的是（ ） A. (1)21 B. 3131 C. 2的平方根是2 D. 81的平方根是9 212．(3)的值是（ ）． A. 3 B. 3 C．9 D．9 13．设x、y为实数，且y45xx5，则xy的值是（ ） A. 1 B. 9 C. 4 D. 5 14.计算2538的结果是（ ）. A.3 B.7 C.-3 D.-7 15.若a=32,b=-∣－2∣，c=3(2)3,则a、b、c的大小关系是（ ）. A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.b＞a＞c D.c＞b＞a 16．一个等腰三角形的两边长分别为52和23，则这个三角形的周长是（ ） A、10223 B、5243 C、10223或5243 D、无法确定 精锐教育网站：www.1smart.org - 8 - 精锐教育· 考试研究院