第二十一届华杯赛小高组初赛详解

2016年第二十一届华杯赛小高组初赛详解

一、选择题（每小题10分，共60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1.算式99999999的结果中含有（ ）个数字0． 2016个2016个A.2017【难度】☆【答案】C B.2016C.2015D.2014【考点】计算，多位数计算2015个2.已知A,B两地相距300米．甲、乙两人同时分别从A,B两地出发，相向而行，在距A地140米处相遇；如果乙每秒多行1米，则两人相遇处距B地180米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米．34A.2 B.2 5515C.3【难度】☆【答案】D 【分析】设甲速v1乙速v2，有 3.在一个七位整数中，任何三个连续排列的数字都构成一个能被11或13整除的三位数，则这个七位数最大是（）A.9981733 B.9884737 C.9978137 D.9871773帅【考点】数论，整除【难度】☆【答案】B 【分析】注意到由于任意三个连续排列的数字都能构成三位数，所以这个七位数的前五个数字不能是0，逐步极端分析，得9881376，8841368，8471177，4731143，7371167将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（种不同的排行．A.1152B.8C.576D.288 帅1407v114vv2300140815解得v30018021v1625v118032 老）第 1 页

兴趣是最好的老师

【考点】行程，比例方程解行程4.【考点】计数，加乘原理与排列组合【难度】☆☆【答案】A 帅帅思维公众号：shuaiteacher

师2015个【分析】(1020161)2(1020162)1020161999...998000...001 D.3学习有意思

【分析】123728，8的两边之和都是14 快乐思维

研究有7的一边，147617527437421 数的两侧分法有4种，两侧可互换，每个分法都是一边四个数另一边三个数，两边内部可互3换（全排列），共42A44A31152种排法 5.在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB6，CD14，AEC是直角，CECB，则AE2等于（ ）EADBCA.84 B.80C.75D.【考点】几何，勾股定理【难度】☆☆【答案】A 【分析】做出两侧的高，连结AC，有 FGAB6，CF1(CDFG)4，CG10，令AGBFh，由勾股定理， 2AC2AG2CG2h2100 AE2AC2CE284 CE2BC2BF2CF2h216 帅DG6.从自然数1，2，3，…，2015，2016中，任意取n个不同的数，要求总能在这n个不同的数中找到5个数，它们的数字和相等．那么n的最小值等于（ ）A.109B.110C.111D.112帅【难度】☆☆☆【答案】B 【考点】组合，最不利原则【分析】1到2016中，数字和最大28。 数字和28的数只有1999； 数字和27的数有999、19、19、1998； 数字和1的数有1、10、100、1000； 数字和2~26的数都至少有5个 最坏情况：取数字和1到27的数各4个，以及1999，共109个数。 再多取一个数就保证有5个数字和相等，n110 二、填空题（每小题10分，共40分） 帅帅思维公众号：shuaiteacher

老EABFC第 2 页

师兴趣是最好的老师

学习有意思快乐思维7.两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有 对．【考点】数论，因数个数定理【难度】☆☆【答案】12 【分析】a2b2(ab)(ab)2016 ab与ab奇偶性相同，乘积是偶数，必然都是偶数，且和大于差， 2016450423327的因数有24个，即12组不同的分拆，故有12组解． 42AB，BPAB,M是AB的中点，且OM2，538.如下图，O,P,M是线段AB上的三个点，AO那么PM长为 ．APM【考点】应用题，分数应用题【难度】☆【答案】109【分析】OMAOAMPMBPMB413320ABABAB，AB2521010321112010ABABAB3266399.设q是一个平方数．如果q2和q2都是质数，就称q为P型平方数，例如，9就是一个P型平方数，那么小于1000的最大P型平方数是 ．【考点】数论，同余【难度】☆☆☆【答案】441 【分析】显然，q是奇数，且q2和q2都不是3的倍数，而平方数除以3只能余0或1，若q除以帅【考点】组合，最值【难度】☆☆☆【答案】4029 n(2x1)x2015 3余1则q2是3的倍数，所以q只能除以3余0，即q是3的倍数， 极端分析，3321000，27227311743，2122439，2122443都是质数 10.有一个等腰梯形的纸片，上底长度为2015，下底长度为2016，用该纸片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上，剪出的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角，则最多可以剪出 个同样的等腰梯形．【分析】如图，将大等腰梯形分成2n1个等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差也相等（相差一个平行四边形），设小等腰梯形上底为x，有 帅帅思维公众号：shuaiteacher

帅 老第 3 页

师OB兴趣是最好的老师

学习有意思

2015x2015.52015.5n0.50.52015 2x12x11快乐思维

∴n的最大值是2014，最多可以剪出4029个 xx+1…2n个xx+1帅帅帅思维公众号：shuaiteacher

第 4 页

兴趣是最好的老师

帅 老 师