函数与概率

绝密★启用前

2014-2015学年度???学校5月月考卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 得分 一 二 三 总分 注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 „„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设（ ）

A.都大于2 B.至少有一个大于2

C.至少有一个不小于2 D.至少有一个不大于2 【答案】C 【解析】 试题分析：假设：

中都小于2，则，但由于

=

≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出

正确答案：中至少有一个不小于2．

解：由于=

≥2+2+2=6，

∴

中至少有一个不小于2，

故选C．

点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 2．．有下列数组排成一排：

(12132143211),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),(51,42,33,24,15), 如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：

试卷第1页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

121321432154321,,,,,,,,,,,,,,,112123123412345则此数列中的第2011项是

7654A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【解析】略 3．

13i(3i)2（ ）

A．

13i13i13i13i B． C． D． 4242„„„线„„„„○„„„„ 【答案】B

【解析】

试题分析：

13ii223i133i213i13i13223i223i13i24i4．

考点：复数的四则运算法则．

4．C97＋2C9695

98＋C98等于( )

A．C979799 B．C100 C．C99 D．C100

【答案】B 【解析】

试题分析：∵C97969598创979698+2C98+C98=98+98?973创21=161700，

C973100创9998100=C100=3创21=167100．∴C9796959798+2C98+C98=C100．故选：B． 考点：组合及组合数公式．

5．C22222C3C4C16等于（ ） A.C4C33C415 B.16 C.C17 D.17

【答案】C 【解析】 试

题

分

析

：

C22C23C24(CC3321C6)3CC42(C43C)42CC52 16C163C162C173。故选C。 考点：排列与组合

点评：本题结合组合公式的性质：CmCnmm1m1mn，CnCnCn1,m2n。

6．Cr1C17r1010可能值的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

试卷第2页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„„※※„„在※„„※„装要※装„※不„„※„„※请„„※„○※○„16„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

r117r【解析】解：因为C10中r+110,1017-r0,因此可知满足题意的可能值为C102个选B

0.6)，且E(X)3，则P(X1)的值是（ ） 7．若随机变量X~B(n，A．20.44 B．20.45 C．30.44 D．30.

【答案】C 【解析】

考点：二项分布与n次重复试验的模型． 专题：常规题型．

分析：根据随机变量符合二项分布，根据期望值求出n的值，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于1时的值． „„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„解答：解：∵随机变量X服从(n，

12)， ∵E（X）=3， ∴0.6n=3， ∴n=5

∴P（X=1）=C5144

1（0.6）（0.4）=3×0.4 故选C．

点评：本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式和期望的表示式，根据期望值做出n的值，本题是一个基础题．

8．随机变量N(0,1)，记xpA．00.5 B.aa1 C．pa1a 【答案】D

【解析】本题考查正态分布的应用。 解答：012，选项A正确。 aa1，选项B正确。

pa1pa<9．随机变量X的分布列如表所示，EX2，则实数a的值为( ) A.0 B. 13 C. 1 D. 32

X a 2 3 4 P 13 b 116 4

【答案】A

【解析】由

1b111,b1,又a13211134436442,a0

试卷第3页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

10． 已知随机变量的分布规律如下，其中a、b、c为等差数列，若E（）=D（）为 （ ） A、1，则31 B、 C、 D、 3

【答案】B

„„„线„„„„○„„„„ abc1【解析】由条件得：ac2b解得a1,b1,c1;所以

6321ac3D()(113)216(013)211153(13)229.故选B

11．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率PAB，PBA分别是（ ）

A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 【答案】A

【解析】

试题分析：由题意得事件A的个数为654120，事件B的个数为635391，

在B发生的条件下A发生的个数为C123A560，在A发生的条件下B发生的个数为

C123A560，所以pAB606091，PBA12012.故正确答案为A. 考点：1.计数原理；2.条件概率.

12．设D是函数yf(x)定义域内的一个子区间，若存在x0D，使f(x0)x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在次不动点，若函数

f(x)ax22x2a32在区间[3,32]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（ ）

A．(,0) B．[1,0] C．[33414,0] D．[114,4] 【答案】B

【解析】

试题分析：由题意，存在x[3,3]，使g(x)f(x)xax2x2a3220，解试卷第4页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„„※※„„在※„„※„装要※装„※不„„※„„※请„„※„○※○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

33xx23x2'22得a2，设h(x)2，则由h(x)0，得x1（舍去）

(x22)2x2x2x33)上递增，又h(3)，2141331h(2)，h()0，所以h(x)在x[3,]的值域为[,0]，即a的取值42241范围是[,0]． 4或x2，且h(x)在(3,2)上递减，在(2,考点：导数的运算、函数的最值．

„„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„2．设1x2，则lnxx,lnxx,lnx213x2的大小关系是（ ）

22A、lnx2lnxlnxlnx2xlnxxlnxx2 B、xxx2 22lnxlnx2lnx2C、lnxlnxxlnxx2x D、x2xx 【答案】A

【解析】

试题分析：令f(x)xlnx(1x2)，则f(x)11xx1x0，所以函数yf(x)(1x2)为增函数，∴f(x)f(1)10，∴xlnx00lnxx1，∴lnx2lnxxx. 又lnx2lnx2lnxxx2xlnxx2(2x)lnxx20， 2∴lnxlnxlnx2xxx2，选A. 考点：1用导数研究函数的性质；2作差法比较大小。

14．若函数f(x)的导函数在区间a,b上的图像关于直线xab2对称，则函数yf(x)在区间[a,b]上的图象可能是（ ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．③④ 【答案】D 【解析】

试卷第5页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

f）x的导函数在区间a,b上的图象关于直线试题分析：因为函数y（xabab对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线x两侧单22调性相反； 由图①得，在a处切线斜率最小，在b处切线斜率最大，故导函数图象不关ab对称，故①不成立； 2由图②得，在a处切线斜率最大，在b处切线斜率最小，故导函数图象不关ab于直线x对称，故②不成立； 2于直线x„„„线„„„„○„„„„ 由图③得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线xab2 对称，③成立； 由图④得，原函数有一对称中心，在直线xab2与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线xab2对称，④成立； 所以，满足要求的有③④． 故选D． 考点：利用导数研究函数的单调性，函数的图象. 15．用数学归纳法证明

1n11n21n31nn124(nN)由nk到nk1时，不等式左边应添加的项是（ ）

A．

1112(k1)

B．

2k12k2 C．

112k12k21k1 D．12k112k21k11k2 【答案】C 【解析】

考点：数学归纳法． 专题：计算题；探究型．

分析：求出 当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．

解答：解：当n=k时，左边的代数式为

1k11k21kk ， 当n=k+1时，左边的代数式为 1k21k312k112k2， 故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为

12k112k21k1故选 C．

点评：本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化．

16．已知n为正偶数，用数学归纳法证明（ ） 11111123－4n-12(n21n412n)时，若已假设n=k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）

试卷第6页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„„※※„„在※„„※„装要※装„※不„„※„„※请„„※„○※○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

A. n=k+1时等式成立 B. n=k+2时等式成立 C. n=2k+2时等式成立 D. n=2(k+2)时等式成立 【答案】B 【解析】

考点：数学归纳法． 分析：首先分析题目因为n为正偶数，用数学归纳法证明的时候，若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真时，因为n取偶数，则n=k+1代入无意义，故还需要证明n=k+2成立．

解：若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立． 故选B． „„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„ 试卷第7页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（题型注释）

17．若z1a2i，z234i，且z1为纯虚数，则实数a的值等于 ． z2【答案】8 3„„„线„„„„○„„„„ 【解析】

试题分析：z1a+2i(a+2i)(3+4i)3a-8+(4a+6)iz===，结合着复数是纯虚数，23-4i2525可知íìï3a-8=08ï，解得î4a+6 0a=3．

考点：复数的运算，纯虚数的定义．

18．方程Cx－Cx2x21716＝C16的解集是________．

【答案】{5} 【解析】

试题分析：Cx-Cx2x+16x-12x+21716=C16，即C16=C16，∴x﹣1+2x+2=16，解得x=5． 故答案为：{5}．

考点：组合及组合数公式．

19．已知20Cnn12n54(n5)Cn314An3，则n= . 【答案】n2. 【解析】

试题分析：根据题意，由于20Cnn12n54(n5)Cn314An3，即可知

20C55)C42n54(nn314An3，即可知

20(n5)(n4)(n3)(n3)(n1)(1204n5)(n3)(n2)(n1)24n14(n3)(n2)

化简解得为n=2,故答案为2. 考点：组合数公式

点评：主要是考查了组合数的性质和公式的运用，属于基础题。 20．已知X~B(n,p),且E（X）=10，D（X）=6，则p

.

【答案】25 【解析】略

21．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑

试卷第8页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„„※※„„在※„„※„装要※装„※不„„※„„※请„„※„○※○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。 ①PB25； ②PB|A1； ③事件B与事件A1相互；④A1,A2,A3是511两两互斥的事件； ⑤PB的值不能确定，因为它与A1,A2,A3中哪一个发生有关 【答案】②④

【解析】略 „„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„评卷人 得分 三、解答题（题型注释）

22．（本小题满分12分）已知函数fxalnxax3（a0）． (1)讨论fx的单调性；

(2)若fxa1x4e0对任意xe,e2恒成立，

求实数a的取值范围（e为自然常数）；

(3)求证ln221ln321ln421lnn2112lnn!n2,nN*（n2，n）．

【答案】(1)当a0时，f(x)的单调增区间为0,1，单调减区间为1,；当a0f(x)的单调增区间为1,，单调减区间为0,1；（2）ae1e2时，2；（3）证

明见解析. 【解析】

试题分析：（1）函数yfx在某个区间内可导，则若fx0，则fx在这个区间内单调递增，若fx0，则fx在这个区间内单调递减；(2)对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）afx恒成立afxmax，（2）afx恒成立afxmin；

（3）利用导数方法证明不等式fxgx在区间D上恒成立的基本方法是构造函数hxfxgx，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数hx0，其中一个重要的技巧就是找到函数hx在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式. 试题解析：（1）f'(x)a(1x)x(x0) , 试卷第9页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

当a0时，f(x)的单调增区间为0,1，单调减区间为1,； 3分 当a0时，f(x)的单调增区间为1,，单调减区间为0,1； 4分 （2）令F(x)alnxax3axx4ealnxx1e

F'(x)xa0 x 若ae,ae,F(x)xe,e

2 是增函数,

„„„线„„„„○„„„„ F(x)maxF(e2)2ae2e10,ae1e22无解. 5分

若eae2,e2ae，F(x),xe,a是减函数;xa,e2, 是增函数 ,F(e)a10,a12e1e2. F(e)2ae2e10,a2 e2ae1e22 6分 若ae2，ae2，F(x)xe,e2 是减函数,

F(x)maxF(e)a10,a1，ae2 7分 综上所述ae1e22 8分 （3）令a1（或a1）此时f(x)lnxx3，所以f(1)2，

由（Ⅰ）知f(x)lnxx3在(1,)上单调递增，∴当x(1,)时f(x)f(1)，即lnxx10，∴lnxx1对一切x(1,)成立， 9分 ∵n2,nN*，则有ln(11111n21)n2(n1)nn1n， 10分 要证ln(221)ln(321)ln(421)ln(n21)12lnn!(n2,nN)

只

需

证

ln(11221)ln(1321)ln(1421)ln(n21)1(n2,nN)11分

ln(1221)ln(1321)ln(11421)ln(n21)(112)(1111111 23)(34)(n1n)1n1试卷第10页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„„※※„„在※„„※„装要※装„※不„„※„„※请„„※„○※○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„

„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

所以原不等式成立 12分

考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式. 23．(本题满分16分)

设函数fxxblnx1.

2（1）若x=1时，函数fx取最小值，求实数b的值；

（2）若函数fx在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围； （3）若b1，证明对任意正整数n，不等式1111f()＜1......都333k23nn„„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„k1成立.

【答案】（1）- 4.（2）1,（3）详见解析 2【解析】 试题分析：（1）利用导数求开区间函数最值，先从导函数出发，探求极值点即为最值点，

最后需列表验证：由f(1)0得b4.（2）函数fx在定义域上是单调函数，即导

函数不变号，f(x) ≥0或f(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立. 即2x2

+2x+b≥0在( -

1，+ ∞)上恒成立或2x2

+2x+b≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立，利用变量分离及函数最

值可得：实数b的取值范围是12,.（3）证明和项不等式，关键分析出和项与通项f(1)1关系：kk3,即证当x0,时,有f(x) ＜x3.这可利用导数给予证明 试题解析：（1）由x + 1＞0得x＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),

对x∈ ( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/

(1) = 0,

f/(x)2xbx1,2b20,解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意； （2）∵f/(x)2xb2x22x1xbx1,又函数fx在定义域上是单调函数， ∴f(x) ≥0或f(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若f(x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x2

+2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立, 即b≥-2x2

-2x = 2(x12)212恒成立,由此得b≥12;

若f(x)≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x2 +2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立，

因-(2x2

+2x) 在( - 1，+ ∞)上没有最小值，∴不存在实数b使f(x) ≤0恒成立.

综上所述，实数b的取值范围是12,. （3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) – x3

= x2

– ln(x+1)

– x3

，

13x3/

2

(x1)2则h(x) = - 3x +2x - x1x1， 试卷第11页，总14页

„„„线„„„„○„„„„

∴当x0,时，h(x)＜0所以函数h(x)在x0,上是单调递减.

/

又h(0)=0，∴当x0,时，恒有h(x) ＜h(0)=0,即x – ln(x+1) ＜x恒成立.

2

3

故当x0,时,有f(x) ＜x.

3.

∵kN,0,,取x ∴f()＜1k1n1k111,则有f()3, kkk1k111,故结论成立。 ......2333n3„„„线„„„„○„„„„ 考点：利用导数研究函数性质

24．设函数f(x)2lnx1x12． （1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）若关于x的方程fxx23xa0在区间2,4内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

【答案】（1）函数fx的单调递增区间为1,2；（2）a的取值范围是

2ln35,2ln24．

【解析】

试题分析：（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'x0的x的取值区间；（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a的取值范围．方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a的不等式组进行求解．本题将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，是解决问题的关键．

试题解析：（1）函数fx的定义域为1,， 1分 ∵f(x)212xx2x1x1x1， 2分 ∵x1，则使f(x)0的x的取值范围为1,2，

故函数fx的单调递增区间为1,2． 4分 （2）方法1：∵f(x)2lnx1x12，

∴f(x)x23xa0xa12lnx10． 6分

令gxxa12lnx1，

试卷第12页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„※„※„„在※„„※装要„※装„※不„„※„„※请„„※※„○○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„„„„线„„„„○„„„„ „„„线„„„„○„„„„

∵g(x)12x3，且x1， x1x1由g(x)0得x3，g(x)0得1x3．

∴g(x)在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增， 9分

g(2)0,故f(x)x23xa0在区间2,4内恰有两个相异实根g(3)0, 12分

g(4)0.a30,„„○ __○„___„_„___„„__„：„号„订考_订_„___„„___„„___„„：级„○班_○„___„_„__„_„___„„：名„装姓装_„__„_„___„„___„„_:校„○学○„„„„„„„„外内„„„„„„„„○○„„„„„„„„即a42ln20,解得：2ln35a2ln24． a52ln30.综上所述，a的取值范围是2ln35,2ln24． 14分 方法2：∵f(x)2lnx1x12，

∴f(x)x23xa0xa12lnx10． 6分

即a2lnx1x1， 令hx2lnx1x1， ∵h(x)2x113xx1，且x1， 由h(x)0得1x3,h(x)0得x3．

∴h(x)在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减． 9分 ∵h23，h32ln24，h42ln35， 又h2h4， 故

f(x)x23xa0在区间

2,4内恰有两个相异h4ah3． 12分

即2ln35a2ln24．

综上所述，a的取值范围是2ln35,2ln24． 14分 考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性． 25．已知函数f(x)13x3x2ax. （1）若f(x)在区间[1,)单调递增，求a的最小值；

试卷第13页，总14页

实根

„„„线„„„„○„„„„

（2）若g(x)范围.

111，对x[,2],x[,2]，使f(x1)g(x2)成立，求a的12xe22【答案】（1）amin3；（2）a【解析】

e8. e2试题分析：（1）f(x)在区间[1,)单调递增，则f(x)x2xa0在[1,)恒成立.

„„„线„„„„○„„„„ 分离变量得：a(x1)21，所以a大于等于y(x1)21的最大值即可. （2）对x111[2,2],x2[2,2]，使f(x1)g(x2)，则应有[f(x)]max[g(x)]max下面就分别求出f(x)(x1)2a1，g(x)1ex的最大值，然后解不等式[f(x)]max[g(x)]max即得a的范围.

试题解析：（1）由f(x)x22xa0在[1,)恒成立

得：a(x1)21 而y(x1)21在[1,)单调递减，从而ymax3， ∴a3

∴amin3 6分

（2）对x11[,2],x122[2,2]，使f/(x1)g(x2)∴[f(x)]max[g(x)]max

f(x)(x1)2a1在[12,2]单调递增

∴f(x)maxf(2)8a 8分

g(x)在[11e2,2]上单调递减，则g(x)maxg(2)e ∴8aee,则aee8 12分 考点：导数的应用.

试卷第14页，总14页

„„○ „※○※„„题※„„※„答„※„订※内订„※„„※线„„※„※„订„○※※○„装„※„※„„在※„„※装要„※装„※不„„※„„※请„„※※„○○„„„„„„„„内外„„„„„„„„○○„„„„„„„„