第五章 大数定律与中心极限定理

河北金融学院教案

课程名称：概率论与数理统计 教材名称：《概率论与数理统计》 出版单位：中国人民大学出版社 出版时间：1990年7月 主 编：袁荫棠 教案编写人：刘晓俊

授课专业（班级）：08财管本、08会计本、

09会计接本一、二

授课时间：2010年3月—2010年7月

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授课教师：刘晓俊 授课班级：08财管本、会计本，09会计接一二 授课时间： 2010春 课 题 教学基本 要求与目标 方法与手段 实践性环节 课外要求 §5.1 大数定律的概念 §5.2 切贝谢夫不等式 §5.3 切贝谢夫定理 了解大数定律的实际意义及三大定律之间的联系； 掌握切贝谢夫不等式的内容及利用不等式估计随机变量区间概率的方法 讲解与练习相结合 课堂练习 完成课后习题 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 教学引入：在第一章，我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数。在实践中，人们还 认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性。这种稳定性就是本节所要讨 论的大数定律的客观背景。 本节介绍三个定理，他们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 △一、切贝谢夫不等式 1、定理内容： 随机变量X，数学期望E，方差D2，则对0有： 30’ 课时分配 10’ 2P2  2、概念解析：定理的另一种形式 2PP{}12  3、例题应用 若废品率为0.03，利用切贝谢夫不等式估计1000个产品中废品多于20少于40的概率。 4、不等式的局限性 对于随机变量N(,2)，可由不等式估计 21P{3}0.11 (3)29 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 但根据第二章的3原则可知 课时分配 P{3}0.997, P{3}0.003 故切贝谢夫不等式估计精度不够，但理论引用却很强，下面的三大大数定律均是由不等式加以证明的 ﹡二、大数定律 1、引入：设A事件在一次实验中发生的概率为p，共进行了n次试验，其 30’ 中事件A发生了n次，则事件A在n次试验中的频率为率会逐渐稳定与概率，但并非limn，当n时，频nnnnp 该极限意味着0,NZ在变化过程中，对于nN而言，总会有不等式成立。然而，n是随机的，在实验过程中，A,A,A即每次nnn试验事件均发生这一结果是有可能出现的，此时nn,nn1，从而即使特别小(01p)，无论N多大，也无法保证当nN时不等式所以极限关系不一定正确。 但是，当n很大时，0,P{nn成立，nnp}却是很小的，即使如上述nnn,P{nn1}P{nn}p,当n时p0， n也就是说， 当n时P{2、贝努里大数定律 nnp}0 设n是n次重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0，有 nnlimPAp1，limPAp0 nnnn 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 课时分配 10’ 3、切贝谢夫大数定律 设{n}是一个两两不相关的随机变量序列，设它们的方差均有界即存在常数c0有Dic, i1,2,3, 则对于0， 1n1nlimP(iEi)1 nni1ni1 4、辛钦大数定律 设{n}是一个相互同分布的随机变量序列，且期望存在， 即Eia, i1,2,3,，则对于0有 1nlimPia1 nni1三、本节内容总结 1、三大定律之间的关系 2、大数定律的一般定义 设{n}是一个随机变量序列，即1,2,3 若存在常数列{an}，即a1,a2,a3 使得对于0均有 1nlimPian1 nni1 则称随机变量序列{n}服从大数定律。 3、依概率收敛 课后心得 河北金融学院课程教案

授课教师：刘晓俊 授课班级：08财管本、会计本，09会计接一二 授课时间： 2010春 课 题 教学基本 要求与目标 方法与手段 实践性环节 课外要求 §5.4 中心极限定理 理解中心极限定理的实际意义； 掌握利用中心极限定理计算概率的基本方法 讲解与练习相结合 课堂练习 完成课后习题 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 复习要点：切贝谢夫不等式；三大大数定律以及依概率收敛 △一、标准化（中心化） 引入：设XN(,2),EX,DX2，则 XXXN(0,1), E()0, D()1  推广：设{Xi}为相互的随机变量序列，且EXi,DXi均存在 由数字特征的性质可知：nnnn课时分配 10’ 30’ EXi1iEXi,DXiDXi i1i1i1 则对于nZ，设Sn(Xi)E(Xi)i1i1nnD(Xi)i1n ESnE(Xi)E(Xi)i1i1nnD(Xi)i1n0 DSnD[(Xi)E(Xi)]i1i1nn[D(Xi)]2i1nD(Xi)D(Xi)i1i1nn1 将上述过程称为Xi1ni的标准化（中心化）过程。 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 标准化的意义：Sn称为Xk的标准化变量，其分布函数对于xR有 k1n课时分配 40’ nXnx1t2/2k1klimFnxlimPxedtx nnn2 △﹡二、中心极限定理 1、李雅普诺夫定理 设随机变量序列{Xi},i1,2,3是相互的序列，且 EXii，DXii2 k1,2,L， 且每个Xi对总和影响不大，令Sni2则对于xR有 i1nn(X)ix1t2/2k1ilimFnxlimPxedtx nnS2n 定理解析：标准化过程分析 定理意义：如果一个随机现象由众多随机变量因素引起，每一个因素在总的变化中作用不显著（相互），则这些随机变量的总体和近似的服从正态分布，而其标准化以后近似的服从标准正态分布 即：Xi近似服从N(i,i2) i1i1i1nnn 2、林德贝尔格—勒维定理 设随机变量序列{Xi},i1,2,3是相互且同分布的序列， 其中EXi,DXi则对于xR有 2nXnx1t2/2k1ilimFnxlimPxedtx nn2n 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 定理解析：标准化过程 定理意义：勒维定理是李雅普诺夫定理，当随机变量序列同分布时候的特殊情况。 推广：Xi近似服从N(i,i2)N(n,n2) i1i1i1nnn课时分配 20’ 21n XXi近似服从N(,) nni1 定理应用：一根粉笔的长度是一个随机变量，其期望值为8厘米，标准差为0.1厘米，求一盒（100根）同型号粉笔总长度超过8.02米的概率 3、德莫佛—拉普拉斯定理 在n重贝努力试验中事件A发生的概率为p0p1，n为实验中事件A发生的次数，则xR有 x1t2/2nnplimFnxlimPxedtx,其中q1p nn2npq 定理解析：标准化过程 定理意义：拉普拉斯定理是勒维定理，当随机变量序列同0-1分布时候的特殊情况。 △三、中心极限定理的理论应用 应用背景：以n贝努力试验中，事件A发生的次数nk为例，当n很大时，计算P{anb}akbCknpkqnk的计算量非常大 分析：此时可由定理知： P{所以： nnpnpqx}x1t2/2edtx 2 anpnnpbnpbnpanpP{anb}P{}()() npqnpqnpqnpqnpq查询正态分布表即可计算结果。 1knp() 若XB(n,p),P{Xk}npqnpq 内容（其中：重点划“△”，难点划“﹡”） 例题分析：某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的事件要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相互的，问总机要备有多少条外线才能以95%的把握保证各个分机用外线时不等候 课时分配 课后心得