竞赛数学每日一题2010.10.13

第12届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛题：

已知a，b，c都是整数，当代数式 7a+2b+3c 的值能被13整除时，那么代数式

5a7b22c的值是否一定能被13整除，为什么？

想一想再接着看！

解：设x，y，z，t是整数，并且假设5a7b22cx(7a2b3c)13(yazbtc) （1）

比较上式a，b，c的系数，应当有

7x13y5

2x13z7 （2） 3x13t22

取 x3，可以得到 y2，z1，t1，则有

13(2abc)3(7a2b3c)5a7b22c （3）

既然 3(7a2b3c)和13(2abc)都能被13整除，5a7b22c就能被13整除。 【说明】 5a7b22c表式为均能被13整除的两个代数式的代数和，表达方式不唯一，例如：取x10，则有 y5，z1，t4，则有

5a7b22c10(7a2b3c)13(5ab4c)

实际上，（2）是一组二元整系数不定方程，我们先解第一个，得到 x313k，y27k，这里k是任意整数，

将 x313k代入其余方程，解得

z12k，t13k，这里k是任意整数，

则可以有

5a7b22c(313k)(7a2b3c)13[(27k)a(12k)b(13k)c]

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