初中数学思想与方法全梳理

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。

思想与方法并不是孤立独行的，二者之间互相联系，思想对应方法，方法返衬思想。

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模块一：数学思想 题型一 数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。

1、数形结合的内容

（1）绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。 （2）函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合 体现了数形结合的特征与方法。

（3）方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

（4）几何探究：几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算

2、数形结合的类型

（1）以“数”化“形”：对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。

（2）以“形”变“数”：解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式（一般利用坐标转化也可以通过引入参数解决）表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；②是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；③是正确确定参数的取值范围。

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例题1： 已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：(a1)22(b1)2|ab|．

【解析】由数轴可得：1a01b，则a10，b10，ab0，

则(a1)22(b1)2|ab|a12(b1)(ab)a12b2ab2ab1．

例题2： 在平行四边形ABCD中，A30，AD43，BD4，则平行四边形ABCD的面积等于 ． 【解析】过D作DEAB于E，在RtADE中，A30，AD43 DE31AD6，BEBD2DE242(23)22 RtBDE中，BD4，AD23，AE22如图1，AB8，平行四边形ABCD的面积ABDE823163

如图2，AB4，平行四边形ABCD的面积ABDE42383，故答案为：163或83

例题3： 如图，点A1，A2依次在y

93(x0)的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△xA2B1B2 均为等边三角形，则点B2的坐标为 ．

AC13， OC【解析】作ACOB1，垂足为C，△A1OB1为等边三角形，AOB11160，tan60AC3OC，设A1的坐标为(m,3m)，点A1在y193(x0)的图象上， xm3m93，解得m3，OC3，OB16，作A2DB1B2，垂足为D．

设B1Da，则OD6a，A2D3a，A2(6a,3a)．微信公众号：数学三剑客 A2(6a,3a)在反比例函数的图象上，代入y93，得(6a)3a93， x化简得a26a90，解得：a332．a0，a332． B1B2662，OB2OB1B1B262，所以点B2的坐标为(62，0)．

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巩固1： 如图，在矩形OABC中，OA3，OC2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合），过点F的

k反比例函数y(k0)的图象与BC边交于点E．

x（1）当F为AB的中点时，求该函数解析式；（2）当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？

【解析】（1）在矩形OABC中，OA3，OC2，B(3,2)，

F为AB的中点，F(3,1)，

k3点F在反比例函数y(k0)的图象上，k3，该函数的解析式为y(x0)；

xxkk（2）由题意知E，F两点坐标分别为E(，2)，F(3,)，

23SEFA111111113AFBEk(3k)kk2(k26k99)(k3)2， 223221212124k3当k3时，解得0k6， S有最大值．2，S最大值．

34在边AB上，不与A，即0B重合，

巩固2： 如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且ADC60，

AB1BC，连接OE．下列结论：①AECE；②S2ABCDABAC；③SABE2SAOE；④OE1AD成4立个数( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【解析】四边形ABCD是平行四边形，ABCADC60，BAD120，

AE平分BAD，

AB1BC 2BAEEAD60ABE是等边三角形，AEABBE，AEB60，

AEBE1BC，AECE，故①错误 2ABCD可得EACACE30BAC90，SABAC，故②正确

BEEC，E为BC中点，SABESACE，SABE2SAOE；故③正确

11AOCO，SAOESEOCSAECSABE

22四边形ABCD是平行四边形，ACCO，AECE，EOAC，ACE30，EOEC111AB，OEBCAD，故④正确；故正确的个数为3个，故选：C 2441EC 2

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巩固3： 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，点G为OABk的重心，连接BG并延长，交OA于点C，反比例函数y(k0)的图象经过C，G两点．若AOB的面

x积为6，则k的值为( ) A.

9 4 B．

12 5 C．

5 2 D．3

【解析】 过点C作CNOB于N，GMOB于M，如图，点G为OAB的重心，

BG2CG，GM//CN，设GM2a，则CN3a，G(GMBMBG2，微信公众号：数学三剑客 CNBNBC3kk，2a)，C(，3a)，BM:BN2:3，

3a2aBN3MN3(kkkkk5k，OBONBN， )2a3a2a3a2a6a1115k12BC为OAB的中线，SOBCSOAB63，即3a3，k．故选：B．

2226a5

题型二 分类讨论思想

每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。

1、分类讨论的步骤 （1） 明确分类对象 （2） 明确分类标准

（3） 逐类分类、分级得到阶段性结果 （4） 用该级标准进行检验筛选结果 （5） 归纳作出结论

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2、分类讨论的对象

例题4： 关于x的方程(k3)x24x20有实数根，则k的取值范围是( )

A．k5

B．k5且k3

C．k5且k3 D．k5且k3

1【解析】①当k30，即k3，方程化为4x2，解得x；

2②当k30时，△44k320，解得k5且k3，

2综上所述，k的范围为k5．故选：A．

例题5： 如图，在直角ABC中，C90，AC6，BC8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若

要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形，则AQ ．

【解析】① 如图1中，当AQPQ，QPB90时，设AQPQx，

BPQ∽BCA，

PQ//AC，

15BQPQ10xx15，，x，AQ．

4BAAC10② 如图2中，当AQPQ，PQB90时，设AQPQy． BQP∽BCA，

y10yPQBQ30，，y． 68ACBC71530或． 47

综上所述，满足条件的AQ的值为

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例题6： 如图，ABC中，ACB90，A30，AB16，点P是斜边AB上任意一点，过点P作PQAB，

垂足为P，交边AC（或边CB)于点Q，设APx，APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是

( )

A． B． C． D．

【解析】①当点Q在AC上时，A30，APx，PQxtan3011332yAPPQxxx；

22363x， 3②当点Q在BC上时，如下图所示：

APx，AB16，A30，BP16x，B60，PQBPtan603(16x)． SAPQ1132APPQx3(16x)x83x， 222该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选：D．

巩固4： 若关于x的方程kx22x10有实数根，则实数k的取值范围是( )

A．k1

B．k1且k0

C．k1且k0 D．k1

【解析】当该方程是一元二次方程时，由题意可知：△44k0，k1，k0，k1且k0，

当该方程时一元一次方程时，k0，满足题意，故选：D．

巩固5： 若关于x的一元二次方程(m1)x22x20没有实数根，则实数m的取值范围是( )

A．m1 2 B．m1 2 C．m1且m1 D．m1 2【解析】关于x的一元二次方程(m1)x22x20没有实数根，

△224(m1)(2)0，且m10，解得m1，故选：A． 2- 7 -

巩固6： 已知关于x的一元二次方程(a2)x2(a2b)xb10，这个方程根的情况是( )

A．有两个相等的实根

B．有两个不相等的实根 C．有可能无实根

D．有两个实根，可能相等，也可能不相等

【解析】根据题意得a20，△(a2b)24(a2)(b1)a24a4b28b8(a2)24(b1)2，

(a2)20，4(b1)20，△0，方程有两个不相等的两个实数根．故选：B．

巩固7： 如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10,0)、

C(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，求P的坐标．

【解析】（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OPPD5

（2）OD是等腰三角形的一条腰时

①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点 在直角OPC中，CPOP2OC252423，则P的坐标是(3,4) ②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点 过D作DMBC于点M，在直角PDM中，PMPD2DM23 当P在M的左边时，CP532，则P的坐标是(2,4)

当P在M的右侧时，CP538，则P的坐标是(8,4)．故P为：(3,4)或(2,4)或(8,4)

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巩固8： 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径ADCE运动，则APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是( )

A． B． C． D．

【解析】在矩形ABCD中，AB2，AD3，

2 CDAB2，BCAD3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，CE32，

31①点P在AD上时，APE的面积yx2x(0x3)，

2②点P在CD上时，SAPES梯形AECDSADPSCEP，

111(23)23(x3)2(32x)， 222395x5x，

221919x，yx(3x5)，

22221③点P在CE上时，SAPE(322x)2x7，

2yx7(5x7)，故选：A．

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巩固9： 如图，抛物线y2222xbxc经过点B(3,0)，C(0,2)，直线l：yx交y轴于点E，且333与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）。 （1）求抛物线的解析式。

（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM//x轴交l于点M，PN/y轴交l于点N，求PMPN的 最大值。

（3）设F为直线l上的点，以E,C,P,F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求F坐标；若不 能，请说明理由。

24093bcb22【解析】（1）把B(3,0)，C(0,2)代入yxbxc，得，33 32cc2224xx2。 33224222242（2）设P(m,mm2)由题得N(m,m)，M(m2m2,mm2) 333333抛物线的解析式为：y5115PMPNyNyPxMxPm， 324当m2115时，PMPN的最大值是。微信公众号：数学三剑客 24234 3（3）以E,C,P,F为顶点的四边形能构成平行四边形。由题可得：E(0,)，CE①以CE为边，有:CE//PF且CEPF，此时F(m,22m) 33222444i.F在P上方时mm2m2，m0（舍去）m1，得F(1,). 33333311711731724224,) ii.F在P下方时m2m2m，m得F(2233333300mxFxCxExPxF②以CE为对角线，由得：2 224yyyy2mm2yFEPFC333解得：m1,m0（舍去），得F(1,0). 综上所述，当F为(1,)(43117317,)(1,0)时，四边形ECPF能构成平行四边形。 23- 10 -

题型三 函数与方程思想

函数方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程、方程组或者函数关系，或利用方程函数的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。函数方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例题7： 矩形ABCD中，AB5，BC4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，则线段BE的长

为 ．

【解析】四边形ABCD是矩形，BD90，

将矩形折叠，使得点B落在线段CD的点F处，

在RtADF中，由勾股定理，得DF3． AFAB5，ADBC4，EFBE，在矩形ABCD中，DCAB5．CFDCDF2．设ECx，则EF4x． 在RtCEF中，x222(4x)2．解得x1.5．BEBCCE41.52.5

例题8： 如图，已知直线yx2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y

k

交于E，Fx

两点，若AB2EF，则k的值是( )

A．1

B．1

C．

13 D． 24

【解析】作FHx轴，ECy轴，FH与EC交于D，如图，

A点坐标为(2,0)，B点坐标为(0,2)，OAOB，AOB为等腰直角三角形，

AB2OA22，EFFDDE1AB2，DEF为等腰直角三角形， 22EF1，设F点横坐标为t，代入yx2，则纵坐标是t2， 2则F的坐标是：(t,t2)，E点坐标为(t1,t1)，

t(t2)(t1)(t1)，解得t

131313，E点坐标为(，)，k．选D 222224- 11 -

巩固10： 如图，已知ABC中，AB10，AC8，BC6，AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，

连接BD，则CD的长为( )

A．1

B．

5 4 C．

7 4 D．

254

【解析】ABC中，AB10，AC8，BC6，AB2AC2BC2，ABC是直角三角形，

AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，ADDB，

设CD为x，ADDB8x，在RtCDB中，CD2BC2DB2，即x262(8x)2， 解得：x

巩固11：

77，即CD，故选：C． 44ABCD中，点E在BC边上，DFAE于F，若EFCE1，AB3，则线段AF长为( )

B．4

C．10 D．32 A．25

【解析】连接DE，四边形ABCD是矩形，AD//BC，BCD90，ADEDEC，

DFAE，DFE90，FECE，DEDE，RtDFERtDCE(HL)， DFDC，FEDDEC，FEDADE，AEAD，BEBCECAEEC，

在RtABE中，设AE为x，由勾股定理可得：AB2BE2AE2，即32(x1)2x2，解得：x5， 所以AE5，AFAEEF514，故选：B．

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巩固12： 如图，在矩形ABCD中，AB5，BC6，点E是AD上一点，把BAE沿BE向矩形内部折叠，

当点A的对应点A1恰落在ADC的平分线上时，DA1 ．

【解析】过A1作MHAD交AD于M，交BC于H，作A1NCD于N，如图所示：

由折叠的性质得：A1BAB5，点A1恰落在ADC的平分线上，ADA1CDA145， 四边形DMA1N是正方形，A1MA1N，设A1MA1Nx，则A1H5x，BH6x，

在Rt△A1BH中，由勾股定理得：(5x)2(6x)252，解得：x2，或x9（舍去）， DA12x22；故答案为：22．

巩固13：

如图，有一个RtABC，BAC90o，ABC30o，AB1，将它放在直角坐标系中，使斜

边BC在轴上，直角顶点A在反比例函数y3的图像上，求点C的坐标 x

【解析】如图，过点作

在

中，

轴于点， ，

的图像上，

，点横坐标也为

，在，

，

中，

，点的纵坐标为 ，

点在反比例函数即点横坐标为

，微信公众号：数学三剑客

，

设

，则

，由勾股定理得：

，

在轴上，

，解得的坐标为

或

．

（舍去）

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题型四 换元引参思想

换元引参思想是我们在解决很多几何问题和函数问题时惯用的思路，参数可以作为中间量进行过渡，也可以以参数为未知变量，研究其最值及其它性质，是数学思想中重要的一脉；转化与整体思想是数学中研究复杂代数或者几何问题时常用的方法，整体转化思想往往与换元引参思想密不可分，但是初中阶段对思想方法的考察要求不是很高，只需有所简单了解，所以在此我们不做过多深入讲解，掌握思想方法的表现形式即可。

例题9： 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，如果AE4，EF3，AF5，那么正

方形ABCD的面积等于 ．

【解析】设正方形的边长为x，BE的长为a．

AE4，EF3，AF5

AE2EF2AF2，AEF90，AEBBAEAEBCEF90

BAECEFBCABE∽ECF

ABAEx4CEEF，即xa3解得x4a①

在RtABE中，AB2BE2AE2x2a242② 将①代入②，可得：a417正方形ABCD的面积为：x216a22561717．

例题10：

在ABC中，AB边上的中线CD3，AB6，BCAC8，则ABC的面积为 ．

【解析】如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，CD3，AB6，ADDB3，

CDADDB，12，34，1234180，1390， ABC是直角三角形，AC2BC2AB236，又

ACBC8，

AC22ACBCBC2，2ACBC(AC2BC2)3628，

又S1ABC2ACBC，S128ABC227．

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巩固14： 如图，ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC中点．

（1）求证：四边形AEDF是菱形；

（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．

【解析】（1）

ADBC，点E、F分别是AB、AC的中点，RtABD中，DERtACD中，DF1ACAF，又21ABAE， 2ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点，

AEAF，AEAFDEDF，四边形AEDF是菱形；

（2）如图，菱形AEDF的周长为12，AE3，设EFx，ADy，则xy7，

x22xyy249，①ADEF于O，RtAOE中，AO2EO2AE2，

111322(y)2(x)232，即xy36，②把②代入①，可得2xy13，xy， 222菱形AEDF的面积S113xy 24

巩固15： 如图，已知AB为O的直径，AB8，点C和点D是O上关于直线AB对称的两个点，连接

OC、AC，且BOC90，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相

交于点F，与直线AD相交于点G，且GAFGCE． （1）求证：直线CG为O的切线；

（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CBCH， ① CBH∽OBC；② 求OHHC的最大值．

【解析】（1）由题意可知：CABGAF，

AB是O的直径，ACB90OAOC，

CABOCA，OCAOCB90，GAFGCE，

GCEOCBOCAOCB90，OC是O的半径，直线CG是O的切线

（2）①CBCH，CBHCHB，OBOCCBHOCB，CBH∽OBC

BCHB②由CBH∽OBC可知：OCBCBC2OHOBHB44BC2， AB8，BCHBOC4HB，HB42BC2CBCH，OHHC4BC，

4当BOC90，此时BC42BOC90，0BC42，

1令BCxOHHC(x2)25当x2时OHHC可取得最大值，最大值为5

4

- 15 -

模块二：数学方法 题型五 等面积法

等面积法是我们解决几何问题时常用的方法，利用面积的关系可以使计算过程事半功倍。 1、等面积法 （1）面积和差型

该类型通过面积之间的和差关系构建恒等式。（微信公众号：数学三剑客） （2）面积算式型

该类型通过对同一图形面积的不同计算方法（以三角形为例，换底和高）构建恒等式。 2、等面积法类型

（1）正常的三角形中：涉及多个高线问题的，可以利用等面积法 （2）菱形中涉及对角线求值，利用：底高1对角线乘积一半列式子求解 2（3）其它几何中（选填压轴几何）中，涉面积的结合利用三角形全等进行面积转化

（4）动点问题中，如果动点关系恒定不变的是线线垂直，这个时候可以考虑应用等面积方法求解问题

例题11：

BC3求ABD已知：如图，在RtABC中，C900，A300，BD平分ABC交AC于D，

的面积．

【解法一】在

又在即

【解法二】

平分

中，

，中，

，，

，

，

，，解得

，

，，由勾股定理得，又

．

，，

【解法三】SABDSABCSBDC3

- 16 -

例题12： 已知：如图，矩形ABCD中，AB5，BC12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PEAC于点E，PFBD于点F，则PEPF等于( )

A．

60 13 B．

5018 C． 135 D．

12 5

【解析】连接PO，矩形ABCD的两边AB5，BC12，

S矩形ABCDABBC60，OAOC，OBOD，ACBD，ACAB2BC21225213，

1113SAODS矩形ABCD15，OAODAC，

422111113SAODSAOPSDOPOAPEODPFOA(PEPF)(PEPF)15，

22222PEPF60，故选：A． 13

例题13：

在正方形ABCD中，点E为AB边上的一点，AB1，连接CE，作DFCE于点F，令CEx，

DFy，y关于x的函数关系图象大致是( )

A． B． C． ．

【解法一】正方形ABCD中，AB1，BCCD1，ABC90，AB//CD，BECFCD，

DFCE，CFDEBC90，BCE∽FDC，

yx1CEBC，即， 1yDCFD11x2．由上可知可得出y与x的函数图象是一支在第一象限的双曲线．故选：B． x【解法二】连接DE，设BEm，则AE1m，由题意：

SDECSABCDSAEDSEC,所以：

1111xy111m1m，y 222x

由上可知可得出y与x的函数图象是一支在第一象限的双曲线．故选：B．

- 17 -

巩固16：

A．

如图，四边形ABCD是菱形，AC8，DB6，DHAB于H，则DH等于( )

24 5 B．

12 5 C．5 D．4

【解析】四边形ABCD是菱形，AOOC，BOOD，ACBD，AC8，DB6，

AO4，OB3，AOB90，由勾股定理得：AB32425，

1124，选A S菱形ABCDACBDABDH，865DH，DH225

巩固17：

如图，在RtABC中，BAC90，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．若AC4，AB6，则四边形ADCF的面积为( )

A．1213 B．24

C．6 13 D．12

【解析】

AFEDBEAF//BC，AFBDBF，在AEF和DEB中，AEFDEB，AEFDEB(AAS)

AEDEAFBD，AF//BC，AFC的面积ABD的面积，

1ADCF面积ADC面积AFC面积ADC面积ABD面积ABC面积4612，选D

2

巩固18：

如图，在菱形ABCD中，AC23，BD2，DHAB于点H，则BH的长为( )

B．3 C．

A．1

2 3 D．233

【解析】在菱形ABCD中，AC23，BD2，AOCO11AC3，BODOBD1， 221232123，BH431，选A AB312，DH2ACBD，DH22

- 18 -

巩固19： 如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．

（1）求证：ABEAGF；

（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，

EC2，求ACEF的值． BC3

【解析】（1）证明：在ABCD中，ABCD，BD，BADBCD，

ABCD纸片沿EF折叠，点C与点A重合，点D落在点G处，

AGCD，EAGBCD，DG，ABAG，BADEAG，BG，

BADBAEEAF，EAGGAFEAF，BAEGAF，

BG在ABE和AGF中，ABAG，ABEAGF(ASA)；

BAEGAF（2）连接CF，ABEAGF，AEAF，根据翻折的性质ECAE，ECAEAF， 又

AF//EC，四边形AECF是平行四边形，根据翻折后点A、C重合，ACEF，

AECF是菱形，ACEF2菱形AECF的面积，

ABCD的面积8，

EC212816，AEC的面积8，菱形AECF的面积等于， BC3233332． 3

ACEF2菱形AECF的面积

- 19 -

巩固20： 且EACABC． O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，

（1）求证：直线AE是O的切线．

（2）若D为AB的中点，CD6，AB16， ①求O的半径；②求ABC的内心到点O的距离．

【解析】（1）证明：连接AO，并延长AO交O于点F，连接CF

AF是直径ACF90FFAC90，FABC，ABCEAC

EACFEACFAC90EAF90，且AO是半径直线AE是O的切线．

（2）① 如图，连接AO，

D为AB的中点，OD过圆心，ODAB，ADBDAO282(AO6)2，AO1AB8，2AO2AD2DO2，

2525，O的半径为； 33② 如图，作CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HMAC，HNBC，

ODAB，ADBDACBC，且ADBDCD平分ACB，且AH平分CAB 点H是ABC的内心，且HMAC，HNBC，HDABMHNHDH

在RtACD中，ACAD2CD2826210BC， SABCSACHSABHSBCH，

1111816610MH16DH10NH，DH， 22223258(6)5． 33- 20 -

OHCOCHCO(CDDH)，OH

题型六 坐标系法

坐标解析法顾名思义，通过建立坐标系的方法使复杂的几何问题可以通过简单的代数运算求解。坐标解析的优点是坐标体系的知识点是固定的，在不同的几何题中，几何图解的思路是千变万化的，但是如果使用坐标解析的方法去处理问题，则大道同归，方法思路不会发生变化，对于学生而言，不失为一种简便的方法。

1、直角建系法：在几何中出现规则的直角时，可以以直角为坐标原点建立平面直角坐标系，然后求解问题 2、无直角建系法：这一类对学生而言往往要求较高，而且设的参数可能会比较多。 3、坐标系知识

（1）坐标：两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，坐标系内一组有序数对(x,y)为点坐标 （2）坐标系知识：

①x轴方程为：y0 ；过点(0,m)，垂直于y轴（平行于x轴）的方程为：ym

y轴方程为：x0 ；过点(m,0)，垂直于x轴（平行于y轴）的方程为：xm

②直线解析式：

书写规范：设一次函数解析式为：ykxb，k0。把A(xa,ya)、B(xb,yb)带入解析式，得ybkxbb  ky，一次函数解析式为：ykxb。akxabb

快速得解：做题分析时要能达到目之所及，解析式现。

k代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。ktany1yox

1xob代表直线的纵截距，含义是直线与y轴相交的点的纵坐标。

③ 两点A(xa,ya)，B(xb,yb)之间的距离公式：

AB(xaxb)2(yayb)2

AB2(xaxb)2(yayb)2

④ 两点A(xB(x2xpxaxba,ya)，b,yb)之间的中点P(xp,yp)坐标公式：2ypyay

b

- 21 -

例题14： 如图，在ABC中，ACB90，ACBC2，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，

且AECF．给出以下四个结论：其中正确的有

1①DEDF；②DEF是等腰直角三角形；③S四边形CEDFSABC；➃EF2的最小值为2．

2

【解析】①

ACB90，ACBC2，AB222222AB45，

1AB2，DCB45， 2点D是AB的中点，CDAB，且ADBDCDADCDADCF，在ADE和CDF中ADCFADECDF(SAS)，

AECFDEDF，ADECDF，CDAB，ADC90，所以①正确；

②EDFEDCCDFEDCADEADC90，

DEF是等腰直角三角形；所以②正确；（微信公众号：数学三剑客）

③ADECDF，ADE和CDF的面积相等，

D为AB中点

1ADC的面积ABC的面积，

21S四边形CEDFSEDCSCDFSEDCSADESADCSABC；所以③正确；

2④法一：几何图解法当DEAC，DFBC时，EF2值最小，根据勾股定理得：EF2DE2DF2 此时四边形CEDF是矩形，即EFCD2，所以EF2(2)22；所以④正确 法二：坐标解析法。如图，以CA方向为y轴，以CB方向为x轴，建立平面直角坐标系Cxy 设CFAEm0m2，则CE2m。所以F(m,0)、E(0,2m) 由勾股定理可得：EF2m0m22m24m4

22显然，抛物线对称轴m0b41，0m02 2a22当m1时，EF2有最小值，EF2min2，所以④正确；

- 22 -

例题15： 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，ABOB，点E、点F分别是OA、

OD 的中点，连接EF，CEF45，EMBC于M，EM交BD于N，FN10，线段BC长为 ．

【法一】几何图解法

设EFx，点E、点F分别是OA、OD的中点，EF是OAD的中位线，

AD2x，AD//EF，CADCEF45，四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，ADBC2x，ACBCAD45，EMBC，EMC90， EMC是等腰直角三角形，CEM45，连接BE，

ABOB，AEOEBEAO

1BEM45，BMEMMCx，BMFE，易得ENFMNB，ENMNx，

21BNFN10，RtBNM中，由勾股定理得：BN2BM2MN2，(10)2x2(x)2，

2x22或22（舍)，BC2x42．故答案为：42．

【法二】坐标解析法。

如图，过A做BC垂线，垂足为G，以OA方向为x轴，以OB方向为y轴,建立平面直角坐标系Gxy。 设MC3h,因为CEF45，所以MEMC3h，因为EMC~AGC且E是OA中点， 所以AC4AE，所以AGCG4h，GMh；EFMC(MCEF为矩形) 所以A0,4h、C4h,0、F4h,3h由中点坐标公式可得O(2h,2h), 设直线BD：ykxb(k0),将O(2h,2h)、F4h,3h代入，可得：y1xh, 23令y0x2h,所以Nh,h、BC6h

222223h由勾股定理可得：FN3h，可得：h，所以BC642

332222巩固21：

如图，正方形ABCD的边长为6，E为BC上的一点，BE2，F为AB上的一点，AF3，P- 23 -

为AC 上一点，则PFPE的最小值为 ．

【法一】辅助线法

作E关于直线AC的对称点E，连接EF，则EF即为所求，

过F作FGCD于G，在Rt△EFG中，GECDBEBF6231，GF6， 所以EFFG2EG2621237．故答案为：37．

【法二】坐标解析法。

如图，以BC方向为x轴，以BA方向为y轴,建立平面直角坐标系Bxy。 由题意：E2,0、F0,3，记E的对称点为E由题意:E6,4，EF

60243237

- 24 -

巩固22： 如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4．M、N在对角线AC上，且AMCN，E、F分

别是AD、BC的中点．

（1）求证：ABMCDN；

（2）点G是对角线AC上的点，EGF90，求AG的长．

【法一】（1）证明四边形ABCD是矩形，AB//CD，MABNCD．

ABCD在ABM和CDN中，MABNCD，ABMCDN(SAS)；

AMCN（2）如图，连接EF，交AC于点O． 四边形ABCD是矩形，ADBC，ABC90，

ACAB2BC25，E、F分别是AD、BC的中点，AEBF，

四边形ABFE是矩形，EFAB3，

AECF在AEO和CFO中，EOAFOC，AEOCFO(AAS)，EOFO，AOCO，EAOFCOO为EF、AC中点．EGF90，OG132EF2，

AGOAOG1或AGOAOG4，AG的长为1或4．

- 25 -

【法二】坐标解析法。

如图，以BC方向为x轴，以BA方向为y轴,建立平面直角坐标系Bxy。

由题意：B0,0、A0,3、C4,0、D(4,3)；由中点坐标公式可得E2,3、F2,0

33设直线AC:ykxb，将A0,3、C4,0代入，可得：yx3，设Gm,m3

442523由勾股定理可得：EGm2m33m4m4

164222252173EF9、FGm2m3mm13

41622222在EGF中，EGF90，根据勾股定理可得：EF2EG2FG2 代入整理可得：25m2100m0，解得：m11或m2, 55163412所以G,或G,

555516163当m1时，AG34

5554412当m2时，AG31

555

巩固23：

2222四边形ABCD中，ABADCD，以AB为直径的O经过点C，连接AC、OD交于点E．

- 26 -

（1）证明：OD//BC；

（2）若tanABC2，证明：DA与O相切；

（3）在（2）条件下，连接BD交O于点F，连接EF，若BC1，求EF的长．

【解析】（1）连接OC，

OAOCADCD，OADOCD(SSS)，ADOCDO，又ADCD， ODOD在OAD和OCD中，

DEAC，AB为O的直径，ACB90，ACB90，即BCAC，OD//BC；

（2）法一勾股逆定理

tanABCAC2， BC设BCa、则AC2a，ADABAC2BC25a，

111OE//BC，且AOBO，OEBCa，AECEACa，

222在AED中，DEAD2AE22a， 在AOD中，AO2AD2(5a225125)(5a)2a2，OD2(OEDE)2(a2a)2a2， 2424AO2AD2OD2，OAD90，则DA与O相切；

（2）法二:两锐角互余

tanABC1AC2，设BCa、则AC2a，AEACa， BC2ABAD在RtACB和RtDEA中，，RtACBRtDEA(HL)

BCAEABCDAE，ABCBAC90o，DAEBAC90o，

即DAOA，OA是O的半径，OA是O的切线．

（3）法一：相似三角形 连接AF，

AB是O的直径，AFDBAD90

- 27 -

ADFBDA，AFD∽BAD，

DFAD，即DFBDAD2①， ADBDADDE，即ODDEAD2②， ODAD又AEDOAD90，ADEODA，AED∽OAD，由①②可得DFBDODDE，即ABAD5、ODDFDE，又EDFBDO，EDF∽BDO，BC1， ODBDEF2525EFDE、，，即，解得： BD10、OBEFED2、

222OBBD5102（3）法二；全等三角形 如图所示，连接AF、CF，

BAD90o，ABAD，BAD是等腰直角三角形，ABF45o，

AB是O的直径，AFB90o，AFB是等腰直角三角形，AFBF， FBC和FAE是同弧所对的圆周角，FBCFAE，

BCAE在BCF和AEF中FBCFAE，BCFAEF(SAS)，

BFAFCFEF，BFCAFE，BFA90o，即AFEEFB90o

BFCEFB90o，即CFE90o，

在RtCFE中，由勾股定理得:CF2EF2CE2，CEAEBC1，

CFEF，2EF21，EF

2． 2 - 28 -

（3）法三：坐标解析法

以BC方向为x轴，CA方向为y轴，建立平面直角坐标系Cxy 结合（2）中勾股逆定理的过程，可得E0,1、B1,0、D2,1

由题意可知F为BD的中点，由中点坐标公式可得：F112,2

22由勾股定理可得：EF20112212,EF2

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