静电场模拟的研究
一、实验目的
1. 学习用实验方法测量出水槽中的等位线分布； 2. 练习徒手画出电流线； 3. 学习静电场的模拟原理。
二、实验原理
静电场是由静止电荷引起的。通常情况下，用实验方法直接研究静电场是很困难的。因此可以利用静电比拟，将静电场问题转换成恒定电场问题。下面以同轴电缆模型为例，分别给出其静电场和恒定电场分析的结果。
1.同轴电缆的静电场分析
如右图所示，实心圆柱导体和圆柱壳导体同轴放置，内圆柱导体的半径设为𝑟1，圆柱壳内径设为𝑟2，二者之间为真空，是绝缘介质，介电常数介电常数为ε，已知内导体和圆柱壳导体之间的电压为𝑈，请分析内外导体之间的电场分布。
在内导体和圆柱壳导体之间的介质区域内任取一点P，P点距离轴心的距离为𝑟，P点沿圆柱侧面方向距离纸面的长度为𝑙，由高斯定理可知：
=𝑞=𝜏𝑙 ⃗ 𝑑𝑆∬𝐷
其中，𝜏为内圆导体垂直于纸面方向的单位长度所带的自由电荷。因为S的两底面的法向与D垂直，所以其点积为0，所以上述积分只剩下与S侧面的点积，所以有：
=𝑞=𝐷∙2𝜋𝑟𝑙=𝜏𝑙 ⃗ 𝑑𝑆∬𝐷
所以有：𝐷=
𝑟
𝜏2𝜋𝑟
，则𝐸=
𝑟
𝜏
𝜏2𝜋𝜀𝑟
.
𝜏
𝑟
而𝑈=∫𝑟2𝐸𝑑𝑟=∫𝑟22𝜋𝜀𝑟𝑑𝑟=2𝜋𝜀𝑙𝑛(𝑟2)，于是可导出：
1
1
1
𝜏𝑈𝑈
=，𝐸=𝑟2 2𝜋𝜀𝑙𝑛(𝑟2)𝑟𝑙𝑛(𝑟)𝑟11
若将外壳导体接地，即𝑈2=0，则在导体之间的介质区域内任意一点P的电位为：
1
𝑟
𝑈=𝑈𝑟−𝑈2=∫𝐸𝑑𝑟=
𝑟2
𝑈𝑟
𝑙𝑛() 𝑟2𝑟2𝑙𝑛(𝑟)1
2.同轴电缆的恒定电场分析
如右图所示，若电缆内外导体间不是真空，而是充满某种不良导体（其电导率为ρ，介质常数为ε），同样，已知内外导体之间的电压为U，请分析导体之间的电场分布。这时，由于两导体之间的媒质不是绝缘介质，则导体之间会有漏电流，即形成径向电流，这样就建立了一个恒定电场，为分析方便，将此漏电流设为𝑙。
良导体与绝缘体或良导体与不良导体相接触时，导体表面都可近似认为是等位面，所以电介质一侧电流线与其表面垂直，由对称性可知，电流线为均匀辐射状直线。
在导体之间的介质区域内任选一点P，P点距离轴心的距离为𝑟，P点沿圆柱侧面方向距离纸面的长度设为𝑙，由高斯定理可知：
=∬𝐽∙2𝜋𝑙=𝐼𝑙 d𝑆𝐼体=∬𝐽
其中𝐽为体电流的面密度，𝐼为单位长度电缆中的漏电流，是电流密度𝐽在曲面上的通量。所以有：𝐽=𝐼⁄2𝜋𝑟，则：E=同样有U=JI=I2rdr=
r2r1Edr=r2I2r12rlnr2IU，可推导出： =r2r12lnr1则得到了：E=U r2lnrr1若将外壳导体接地，即U2=0，则在导体之间的介质区域内任一点P的电位为：
U=Ur2=Ur-U2=Edr=r2rUUrdr=ln
r2r2r2r2lnrlnr1r1r从上面各式可以看出：利用静电场分析同轴电缆模型和用恒定电流场分析同轴电缆模型最后得到的E和U的函数表达式是相同的。因此，想要测量静电场的分布，只要测量与之等效的恒定电场的电场的分布就可以了。
三、实验设备
（1）水槽平台
（2）单相可调隔离电源0-250V （3）电压表
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四、实验任务及步骤
1.研究同轴电缆间的电场
按照一定的比例缩放，在纸上画出同轴电缆模型的形状，画好相应的网格线，标好刻度。 （1）向水槽中倒水至水槽深度第一个刻度线处；
（2）放置一个实心圆柱导体和圆环体在L形水槽内，如下方左图所示；
（3）按上方右图接好电路；
（4）电压源的幅值调至5V，实验过程中保持电流表读数不变； （5）将电压表负极接到圆环上；
（6）将电压表正极性表笔在圆环内测水槽底板上滑动，找出电位等于1V的5个点，在同轴电缆模型图上将5个点用线连接起来，即完成第一条等位线的绘制； （7）按照步骤6中的方法，依次找出电位为2V、3V的两条等位线；
（8）利用电流线与等位线相互垂直的原理，由已经绘制的电位线画出电流线。 （9）以同轴电缆的圆心为圆点，测出沿径向当半径等于3、5、7和9时的电位值，用于和理论值比较。
2.研究偏心电缆的静电场
（1）推导出偏心电缆间U和E的表达式（详见数据处理部分）
（2）实验操作步骤同前测量同轴电缆电场分布。放置电极和电路连线示意如下图所示，将小圆柱电极由中心移到偏离中心的6cm处，即建立的是偏心电缆的静电场模拟模型。极间电压仍用5V，要求画出等位线（1V、2V和3V）和电力线，画电力线时注意其与等位线处处垂直，且使电力线的密度能反映电场强度的大小。
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（3）以偏心电缆内圆的圆心为圆点，测出沿径向当半径r分别等于3、5、7、9、11、13和15时的电位值，用于和理论值的比较。
五、实验数据分析
1.同轴电缆分析
具体数据处理中，我们用到下述公式：
𝑈理论=
𝑈𝑟2512
𝑙𝑛=𝑙𝑛()≈5−2.012∙𝑙𝑛𝑟 ()𝑟212𝑟𝑟𝑙𝑛(𝑟)𝑙𝑛()
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上公式推导中使用到：𝑈=5𝑉, 𝑟2=12𝑐𝑚, 𝑟1=1𝑐𝑚. 上述计算变量𝑟采用𝑐𝑚为单位。 相对偏差α公式采用下式计算：
α=
|𝑈测−𝑈理论|
𝑈理论
×100%
相应的𝑈理论可由前面的公式计算得出。 最终得到分析表格如下所示：
𝑟/𝑐𝑚 𝑈测/𝑉 同轴电缆 𝑈理论/𝑉 相对偏差α 2.7 32.59% 1.762 31.33% 1.085 28.11% 0.579 17.10% 3 1.88 5 1.21 7 0.78 9 0.48 上述误差是比较大的。对于这个误差，我们进行了一些讨论，得到以下分析： 测量误差。实际测量并不是特别精准，实验中我们尝试过测量同一处电位，表笔以不同形态与底板接触对测得的电位值有一些影响。同时我们注意到在测量当中对𝑟位置的确定基本靠目测，虽然有格线辅助，但实际距离测量还是存在一些误差的。
仪器误差。这次实验仪器并不是特别精准。首先是调平器，刚开始平板并没有水平时通
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过调平器也看不到太大的区别，似乎在一定偏离区域内调平器不会有太明显的显示。内轴的放置也不完全精准，基本靠目测。而提供的水样不完全均匀，这可能导致内部电流场分布上出现细微改变。
2.偏心电缆分析
先对偏心电缆情况进行理论推导。
原理图见下页（实际实验时是往左偏心，由对称性知这并不影响推导结果）。 采用电轴法，圆外取一个镜像点。
由电轴法理论列写方程如下：
ℎ12=𝑏2+𝑟2
{ℎ22=𝑏2+𝑅2 𝑑=ℎ2−ℎ1
由此解得几个距离量的表达公式如下：
𝑅2+𝑑2−𝑟02
ℎ1=
2𝑑2
𝑅−𝑑2−𝑟02
ℎ2=
2𝑑
(𝑅2+𝑑2−𝑟02)2 𝑏=√−𝑅2
24𝑑{
再列写电压公式，如下：
𝜏ℎ1+𝑏−𝑟0𝑅+𝑏−ℎ2
𝑙𝑛(∙)=𝑈 2𝜋𝜀−ℎ1+𝑏+𝑟0−𝑅+𝑏+ℎ2
由此式可解出𝜏的表达式。在空间中随意取一点P，设P点距离+𝜏、−𝜏的距离分别为𝑟1和𝑟2，则可以推导出P点电势的表达式如下：
𝑟𝑅+𝑏−ℎ2
𝑈∙𝑙𝑛(2∙
𝑟1−𝑅+𝑏+ℎ2)
𝑈𝑃=
ℎ1+𝑏−𝑟𝑅+𝑏−ℎ2𝑙𝑛(∙
−ℎ1+𝑏+𝑟−𝑅+𝑏+ℎ2)
具体数据处理中，我们用到公式𝑈理论=𝑈𝑃来计算理论电压值。 将实验条件代入，各个距离长度可如下计算得到：
(𝑑2+𝑅2−𝑟02)2(62+122−12)2
2√√𝑏=−𝑅=−122≈8.860𝑐𝑚 224𝑑4×6
𝑅2−𝑟02−𝑑2122−12−62
ℎ1==≈8.917𝑐𝑚
2𝑑2×6𝑑2+𝑅2−𝑟0262+122−12
ℎ2==≈14.917𝑐𝑚
2𝑑2×6
进一步地，由几何关系可以得到下述关系：
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𝑟1=𝑟+ℎ1−𝑏≈𝑟+0.057 𝑟2=𝑟+ℎ1+𝑏≈𝑟+17.777
于是上理论电压公式可以化简为：
𝑟𝑅+𝑏−ℎ2𝑈∙𝑙𝑛(2∙0.504(𝑟+17.777)𝑟1−𝑅+𝑏+ℎ2)
𝑈理论=𝑈𝑃==2.275∙𝑙𝑛[]
ℎ1+𝑏−𝑟𝑅+𝑏−ℎ2𝑟+0.057𝑙𝑛(∙)−ℎ1+𝑏+𝑟−𝑅+𝑏+ℎ2相应地，相对误差α的计算公式如下：
α=
|𝑈测−𝑈理论|
𝑈理论
×100%
至此，理论计算公式列完。具体数据处理结果如下：
𝒓/𝒄𝒎 𝑼测/𝑽 偏心电缆 𝑼理论/𝑽 相对偏差𝛂 2.787 1.851 1.285 0.4 0.604 0.378 0.197 8.63% 3 1.93 5 1.29 7 0.91 9 0. 11 0.45 13 0.30 15 0.18 30.75% 30.31% 29.18% 28.41% 25.50% 20.63% 上述误差在𝑟较小时误差较大，而𝑟较大以后误差明显减小。对于误差问题，我们进行了一些讨论，讨论的结果如下：
除了与同轴电缆相近的误差讨论外（这部分最大的误差应该在于偏心位置摆放不准），我们注意到随着距离𝑟增大，误差有减小的趋势。这是因为对理论的𝑟，我们实际测量得到的是𝑟+∆𝑟，在𝑈理论的计算公式中我们可以看到这一测量偏差∆𝑟随着距离𝑟的增大，实际影响越来越小。定性角度也很好理解这块内容，𝑟越小，等势线越密，由测量不准引起的偏差影响更显著。随着𝑟不断增大，这种影响不断减弱，测量偏差也逐渐下降。
六、实验拓展
1.静电比拟含义理解
答：静电比拟指的是恒定电流场与静电场的比拟。在均匀媒介中，静电场与恒定电场
的电位函数均满足拉普拉斯方程，若边值条件相同，那么从方程求解的角度看，两个场将得到相同的电位解答。同时注意到恒定电场中的𝐸、𝐽、𝜎、𝜑、𝐼分别与静电场中的𝐸、𝐷、𝜀、𝜑、𝑞量形成一一对应关系，所以从电位函数推导各个电场变量，从形式上两种场得到的结果是相似的。
静电比拟将两种不同场在形式上存在的相似性应用了起来，借助静电场知识来帮助对恒
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定电场的理解的求解。我们可以参照前面的参数对应关系，容易地将静电场方程改写成恒定电场方程。但带来便利的同时我们也要意识到二者只是求解形式上不同，本质上存在差异。
2.拓展思考
当电源电压增加一倍或减小一半时，实验测得的等位线和电力线形状是否发生变化？
答：等位线与电力线不会变化。这是因为等位线形状只与介质均匀情况（σ是否恒定）
及外部几何形状有关，而与电源电压无关。电源电压不影响等位线与电力线的形状，仅改变相应等位线的幅值情况。
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