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初一数学寒假专题——图形的认识
【本讲教育信息】 一、教学内容
专题复习——图形的认识 1、生活中的几何体
2、三视图的概念，画出几何体的三视图；根据三视图确定物体的形状. 3、线段、直线、射线等简单的平面图形. 4、线段中点的概念，线段的大小比较.
5、角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，会进行简单的换算. 6、会比较角的大小，能估计一下角的大小. 7、认识角的平分线，能画出一个角的平分线.
8、平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行线关系的传递性进行推理. 9、垂线的定义、性质和点到直线的距离，掌握垂线的性质和点到直线的距离.
二、教学目标
1、认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征，知道几何体的分类.
2、圆柱、圆锥的侧面可以展开成平面图形.
3、了解几何体的截面由平面与几何体各表面交线构成；理解正方体的截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
4、了解三视图的概念，能画出几何体的三视图；能根据三视图确定物体的形状.
5、理解线段、直线、射线等简单的平面图形，感受图形世界的丰富多彩，了解两点确定一条直线等事实.
6、了解“两点之间的所有连线中，线段最短”的性质. 借助直尺、圆规等工具比较两条线段的长短，能用圆规作一条线段等于已知线段.
7、理解线段中点的概念，会通过线段的数量关系判断某点是否是线段的中点. 8、理解角的有关概念，认识角的表示，认识度、分、秒，会进行简单的换算. 9、会比较角的大小，能估计一下角的大小. 10、认识角的平分线，能画出一个角的平分线.
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11、平行线的概念及平行线的基本性质，会用平行线关系的传递性进行推理. 12、垂线的定义、性质和点到直线的距离，掌握垂线的性质和点到直线的距离.
三、知识要点分析
1、生活中的立体图形（这是重点）. （1）常见的几何体.
在生活中常见的立体图形有三大类，分别是柱体，锥体和球体，其中柱体包括棱柱和圆柱，锥体包括棱锥和圆锥，棱柱与圆柱的区别是棱柱是由平面组成，其中上下面是相同的多边形，圆柱是由两个圆和一个曲面组成；棱锥由一个多边形和边数相同的三角形组成，圆锥由一个圆和一个曲面组成.
（2）立体图形的展开
棱柱根据它的名称可以展开成由几个长方形和两个与其名称相同的平面几何图形组成的一个新平面图形，圆柱可以展开成一个长方形和两个圆，如下图是一个三棱柱的展开图.
（3）立体图形的折叠
（这是难点）因为正方体是由六个小正方形组成，所以要想围成正方体，必须要有六个小正方形，其中四个做侧面，两个做底面，如下图中的几个图形都可以围成正方体.
（4）正确认识用一个平面截一个几何体得到的图形的形状
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（这是重点）当用一个平面去截一个几何体时，平面与几何体的相交位置不同，所得到的平面图形是不一样的，下图是用一个平面去截一个正方体，所有可能得到的图形如下：
（5）由立体图形画出三视图
当一个几何体放在我们面前，观察几何体的位置不同，所看到的形状也是不同的，从正面看这个几何体称为主视图，从左面看这个几何体称为左视图，从上面看这个几何体称为俯视图，如图所示。
2、平面图形及其位置关系（重点、难点） （1）直线、射线和线段的概念及性质
概念：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似地看做线段，线段有两个端点；将线段向一个方向延长就形成了射线，射线有一个端点；将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点.
直线的性质：①经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；②两条直线相交，有且只有一个交点.
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短. （2）线段长短的比较
一种方法是利用直尺和圆规把两条线段放在同一条直线上，使得两条线段的其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点的同侧，根据另一个端点与重合端点之间距离的大小来确定两条线段的长短.
另一种方法是用刻度尺分别量出两条线段的长度，再根据长度的大小来确定两条线段的长短.
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对于线段的中点，应注意两点：第一，线段的中点必须在线段上；第二，这个点必须是将原线段二等分，可见，线段的中点有且只有一个. 这两个意义缺一不可.
（3）角的概念
概念：角的定义方法有两种，其一是：角是由公共端点引出的两条射线所组成的图形，公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两边，其二是：角也可以看成是由一射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置形成的图形. 起始的位置叫角的始边，终止的位置叫角的终边，其中射线旋转时所经过的部分叫做角的内部，另一部分叫角的外部.
从角的定义可以看出角的大小只与开口大小有关，而与角的两边画出的长短无关，同样，与角所处的位置无关.
（4）角的比较方法及角平分线
①度量法：用量角器直接测量出结果并进行比较. ②重合法
两个角比较大小时，将两个角的顶点及一条边重合，另一条边在重合边的同侧，根据第二条边的位置确定角的大小.
∠AOB>∠COD ∠AOB<∠COD ∠AOB＝∠COD 定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（5）平行线的概念及基本性质
平行线概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
我们通常用“∥”表示平行，如图中直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD，如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n平行，记作m∥n.
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两条直线的位置关系：在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种.
平行线的基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. （6）垂直的定义与性质 （这是重难点）
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
我们通常用“⊥”表示垂直，如图中直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n垂直，记作m⊥n，O为垂足.
垂线的两个性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. ②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短（简称垂线段最短）.
直线外一点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离.
【典型例题】
考点一：生活中的立体图形
例1. 请说出分别与下列展开图对应的立体图形的名称.
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【思路分析】注意分析平面图的特点，同时结合一些常见的立体图的平面展开图，如三棱锥，三棱柱，四棱柱等等，再作出判断.
答案：（A）是一个三棱锥沿侧面的棱剪开得到，（B）是一个长方体的平面展开图，（C）是三棱柱适当剪开得到，（D）是一个六棱锥的展开图，原来的立体图如下：
规律与方法：通过面数来确定所得立体图形的形状.
例2. 已知下面是某些立体图形的三视图，猜一猜它们所对应的立体图各是什么？
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（1）
（2）
（3）
【思路分析】对（1）从正视图和左视图可以猜测出，该立体图应有两个底面，且互相平行，从而是柱体，再从俯视图看出，它应该是三棱柱；
（2）从正视图和左视图都是三角形可猜测，原来的立体图形是一个锥体，再由俯视图可以确认为四棱锥；
（3）的俯视图显示最底层应有四个方块，关键在于确定上面一层的方块的位置，从正视图看出只有左边一排有方块，而左视图表明：靠近纸面的一行有方块，从而确定这层只有一个方块，位于左上方，靠近纸面。
解：
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例3. 下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（ ）
【思路分析】A的主视图和俯视图都是长方形，B的主视图和俯视图都是正方形，D的主视图和俯视图都是圆，答案为C.
解：C
友情提示：熟悉各种图形的视图是解决问题的关键.
考点二：平面图形及其位置关系
例4. 已知线段AB=12cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
【思路分析】从“在直线AB上有一点C”中可以得到，点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，所以分两种情况进行讨论.
解：（1）点C在线段AB上，AC=AB－BC=12－4=8，又因M是AC的中点，所以AM=4.
（2）点C在线段AB的延长线上，AC=AB+BC=12+4=16，又因M是AC的中点，所以AM=8.
答：线段AM的长是4cm或8cm.
规律与方法：从题目中找出点与线段的位置关系来分情况讨论.
例5. 观察下图，回答下列问题： （1）在图①中有几个角？ （2）在图②中有几个角？ （3）在图③中有几个角？
（4）以此类推，如图④所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？
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【思路分析】图①有一个角，图②有三个角，即3=1+2；图③有六个角，即6=1+2+3；图④有1+2+3+…+（n+1）个角.
解：1，3，6，
例6. 如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=17°18′，求∠AOC的度数
【思路分析】从图形上可以看出∠AOC=360º－∠AOB－∠BOE－∠DOE－∠COD，因为OA⊥OB，OC⊥OD，所以∠AOB=∠COD=90º，因为OE为∠BOD的平分线，所以∠DOE=∠BOE=17°18′.
解：∠AOC=360º－∠AOB－∠BOE－∠DOE－∠COD，因为OA⊥OB，OC⊥OD，所以∠AOB=∠COD=90º，因为OE为∠BOD的平分线，所以∠DOE=∠BOE=17°18′，所以∠AOC=360º－90°－90°－17°18′－17°18′=145°24′.
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述生活中的立体图形和平面图形，本节课涉及的思想是转化的数学思想和对学生空间思维能力的培养.
预习导学案
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（代数式）
（一）预习要点
（1）用字母表示以前学过的运算律和计算公式；体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.
（2）代数式的概念，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感.
（3）求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法. （4）合并同类项法则，并能进行同类项的合并. （5）去括号法则；会根据法则进行去括号的运算；
（6）经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过运算验证规律的过程；会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律.
（二）牛刀小试
1. 一个正方体边长为a，则它的表面积是_______.
2. 鸡，兔同笼，有鸡a只，兔b只，则共有头_______个，脚_______只.
3. 当a＝2，b＝1，c＝－3时，代数式的值为___________
4. 观察下列图形的排列规律（其中☆，□，●分别表示五角星、正方形、圆）. ●□☆●●□☆●□☆●●□☆●形是
（填名称）
5. 小红到厨房帮助妈妈切葱条，她把4根长短相等的葱条放整齐后，从正中一刀切断，使4根葱条变成了8节，再把这8节葱条放整齐后从正中一刀切断……如此进行下去，当小红第五刀切下去后，原来的4根葱条就变成了 节细葱.
6. 已知2axbn－1与3a2b2m（m为正整数）是同类项，那么（2m－n）x=________. 7. 当k=______时，3x2y与
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若第一个图形是圆，则第2008个图
xky是同类项，它们合并的结果为_________.
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【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分） 一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 一个直立在水平面上的圆柱体的主视图、俯视图、左视图分别是 （ ）
A. 长方形 、圆、长方形 B. 长方形、长方形、圆 C. 圆、长方形、长方形 D. 长方形、圆、圆 2. 在下面的图形中是正方体的展开图的是 （ ）
3. 按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（ ） A. AB=8㎝，BC=19㎝，AC=27㎝； B. AB=10㎝，BC=9㎝，AC=18㎝ C. AB=11㎝，BC=21㎝，AC=10㎝； D. AB=30㎝，BC=12㎝，AC=18㎝
4. 同一平面内，当两直线相交所组成的角为（ ）时，称它们互相垂直。 A. 直线 B. 直角 C. 线段 D. 射线
5. 一个人从A点出发向北偏东60°的方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC的度数是（ ）
A. 75° B. 105° C. 45° D. 135°
6. 同一平面内互不重合的三条直线的公共点的个数是（ ）
A. 可能是0个，1个，2个 B. 可能是0个，2个，3个
C. 可能是0个，1个，2个或3个 D. 可能是1个或3个
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7. 直线a外有一定点A，A到a的距离是5㎝，P是直线a上的任意一点，则（ ）
A. AP>5㎝； B. AP≥5㎝； C. AP=5㎝； D. AP<5㎝
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 过一点能作已知直线的一条平行线； B. 过一点能作已知直线的一条垂线 C. 射线AB的端点是A和B；
D. 端点可以用一个大写字母表示，也可用小写字母表示
9. 同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ） A. 1条 B. 4条 C. 6条 D. 1条或4条或6条 10. 下列推理中，错误的是（ ）
A. 在m、n、p三个量中，如果m=n，n=p，那么m=p.
B. 在∠A、∠B、∠C、∠D四个角中，如果∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠D，那么∠B=∠C；
C. a、b、c是同一平面内的三条直线，如果a∥b，b∥c，那么a∥c； D. a、b、c是同一平面内的三条直线，如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥c
二、填空题（每题4分，共20分）
11. 已知三棱柱有5个面6个顶点9条棱，四棱柱有6个面8个顶点12条棱，五棱柱有7个面10个顶点15条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条侧棱.
12. 如图，在线段AB上，C、D分别是AM、MB的中点，如果AB=a，用含a的式子表示CD的长为_____________.
13. 计算：62°38′－27°3′28″=__________________.
14. 如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC=_____________.
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15. 如图所示，PQ是一条线段，有一只蚂蚁从点A出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到A点，则蚂蚁共转了___________度的角.
三、解答题（共40分）
16. （本题8分）如图，这是一个由小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数。请你画出它的主视图与左视图.
17. （本题8分）已知下图为一几何体的三视图：（1）写出这个几何体的名称；（2）任意画出它的一种表面展开图；（3）若主视图的长为10中三角形的边长为4
，求这个几何体的侧面积.
，俯视图
18. （本题5分）已知线段AB=8cm，回答下列问题：
（1）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于6cm，为什么？
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（2）是否存在点C，使它到A、B两点的距离之和等于8cm，点C的位置应该在哪里？这样的点C有多少个？
19. （本题9分） 灯塔A在灯塔B的南偏东60°，A、B相距4海里，轮船C在灯塔B的正东方向，在灯塔A的北偏东30°，选用适当的比例画图确定轮船C的位置.
20. （本题10分） 据图，回答下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD的大小，并指出图中的锐角、直角和钝角. （2）能否看出图中某些角之间的等量关系.
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初一数学寒假专题——图形的认识
试题答案
一、 1. A
2. B【思路分析】正方体有四个侧面，展开后在同一条线上，两个底面分别在这条线的两侧.
3. B【思路分析】因为AB+BC>AC，所以不在同一条直线上. 4. A【思路分析】通过垂直的定义可以得出答案. 5. C【思路分析】画出图形就可以.
6. C【思路分析】三条直线平行时，是0个交点；两条直线平行时，是2个交点，其它情况是1个或3个交点.
7. B【思路分析】如果P是A到直线的垂足，则PA=5，其它情况PA>5. 8. B【思路分析】A选项必须是直线外一点，C射线只有一个端点，D端点只能用大写字母来表示.
9. D【思路分析】过四点画直线，所有可能的情况是1或4或6. 10. D【思路分析】a与c的关系是平行关系. 二、
11. n+2，2n，3n 12.
【思路分析】CD是线段AB的一半.
13. 35°34′32″
14. 180°【思路分析】这两个角的和其实是两副直角三角板的直角之和. 15. 1080【思路分析】从P到Q转了三周半. 三、 16. 解：
主视图 左视图
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【思路分析】确定每一层小正方体的个数. 17. 解：（1）这个几何体的名称是三棱柱； （2）任意一种图形：
（3）
【思路分析】先确定这个几何体的名称，然后计算它的侧面积.
18. 解：（1）不存在，AB+BC<8cm （2）存在，点C在AB上，无数个 【思路分析】根据两点之间线段最短及线段的和差关系确定C的位置. 19. 解：
【思路分析】先根据要求找出A点的位置，然后根据方位找出C点的位置. 20. 解：（1）∠AOB<∠AOC<∠AOD； 锐角为∠AOB、∠COD、∠BOC； 直角为∠AOC、∠BOD； 钝角为∠AOD.
（2）∠AOB=∠COD；∠AOC=∠BOD；∠AOB+∠BOC=90°；∠COD+∠BOC=90°.
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