量子力学第2章

令P69

**其中动能平均值一定为正:

VVmin因此EVmin22T()d3x2mnn(本征态)则EEn而

n2.1设一维自由粒子的初态x,0e设粒子势能的极小值是Vmin 证明

22E[V(r)]d3x2mEV从能量本征值来说,后者比前者增加了C。

(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E2**={[]}d2m22*=()d*d2m2md22m (解)设原来的薛定谔方程式是2[EV(x)]0 2dx第二章：函数与波动方程

中间一式的第一项是零,因为假定满足平方可积条件,因而T0因此

这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解(x),

d22m将方程式左边加减相等的量C得: {[EC][V(x)C]}0dx22222***用高斯定理:T =d()dsd2m2mB2m当势能V(r)改变一常量C时,即V(r)V(r)c,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变

ip0x/EVminmin得证

， 求x,t。

ETVV,能让能量平均值

利用积分

代入（4）

12解： x,te将（2）（3）二式比较：知道k(x,t)(x,0)(x)(x,t)(x,t)(x,t)2111ed22112k2(x,t)2p2ip0x0t/2meeimx22timx22tppp1 ：eep写出共轭函数（前一式i变号）：

eikxdk

将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果：

2.2对于一维自由运动粒子，设(x,0)(x)求(x,t)。

但按题意，此式等于(x)。但我们知道一维函数一种表示是：

这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令t0应有

（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p，能量是E，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数：

p2这是符合初条件的波函数，但p,E之间尚有约束条件E（因为是自由粒子，总能量等于动能），

2m2mit(p)e2i(pxEi)ip2(pxi)2meipxpp，并且求得(p)itmx(pi)2m2(p)edp

dp

dp

dpi(pxEi)2dp

1（4）（3）

2（5）

，于是（1）成为

（2）

（1）

cos[x,t21(x,t)(x,t)提示：利用积分公式

2p或

x,teimx122e12imx22t12tmx2令 p，则

2mt解：作Fourier变换： x,012mmt2t(2)22.2 设一维自由粒子的初态x,0x，求x,t。

本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为：

tmx2tmx2(p)]dpisin[(p)]dp2mt2mtimx(x,t)1m2t用课本公式得*，两者相乘，可得相同的结果。(1i)e(x,t)2tx,t122e2idexp2cosdsind2 2mi212mimx22t2tedeei/4t2t22mitip2tpx2m2ipxx,0edxm 。2texpi4。

122ipxEt/ （Ep2m）pedpdp 1221ipxpedp，22ipx(x)edx2eimx1，22itmx2texppdp2mtmx2mexpi2t2t4式中 k任意时刻的波函数为

参照本题的解题提示，即得

2.3 设一维自由粒子初态为x,0，证明在足够长时间后x,t当时间足够长后（所谓t） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取

xktm，强度k，因子mt描述整个波包的扩散，波包强度最大值出现在mxtk0处，即xk0tm处，这表明波包中心处波群的主要成分为k0。

2.4——1.7

12x,tx,tx,t212证：根据平面波的时间变化规律

t2m ， uk2keikxkt/2mdk22eikxeikxt ， Ek22m，

1imx22t2mi/4mxeekkdktt2ikxx,0edx是x,0的Fourier变换。提示：利用 limmx， （2）t21imx2/2ttmxedkkexpik （1）2mt2mi/4imx2/2tmxee （3）ttmmx （4）tt物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为kmxt，即

设整个波包中最强的动量成分为k0，即kk0时k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，的

2mimxmxexpi4exptt2t221t。

i/4ixeex。223**且能量平均值 Edrw 。

（b）由（4）式，得

Vd3r*V

（a）证明粒子的能量平均值为 E2.5设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。

证：（a）粒子的能量平均值为（设已归一化）

33其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此

2结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 w**V, （4）

2mw2***()()VVtt2mttt2*w*（b）证明能量守恒公式 （能流密度） s0，s2mttt*22*22sVV2mt2mt**sEttsE （ ：几率密度）

t2Td3r* （3）2m2223**Tdrdr （2）2m2m223EV2mdrTV （1）

*2***22*V*V2mtttttt2drw，w**V （能量密度）

2m*公式⑵得证。

所以

V1与V2为实函数。

 （1）-（2）,得

此即几率不守恒的微分表达式。

ws0 。t22 i

t2m证：（a）式（1）取复共轭， 得

2.6考虑单粒子的Schrödinger方程

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

2*又设S[*]则有

2mtt粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：

**WSSttttt2V2d3***drdSdt2imS（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为

s （定态波函数，几率密度不随时间改变）

22ir,tr,tV1riV2rr,t （1）t2m*22*22**i2iV2**2iV2*t2m2m*22* iV1iV2* （2）

t2m*2V**2* （3）t2im2V2j0 ，即 t3*dr*22*i*t2m

件是：

（b）式（3）对空间体积积分，得

2.7——1.8

这证明总几率P式的面积分等于0。

利用高斯定理将右方第一项变形：

2.8在非定域势中粒子的薛定谔方程式是：

*3dx不守恒，因为

P0。t“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

P2*V2(x)d3x t上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处0，22ix，tx，tVx,xx，td3x t2mx/P2{(**)}d3x*V2d3xt2mi2**()dS*V2d3x

2mi（4）

23***3drdrd3rV2*t2im2**3*dSdrV22imS（1）

（3）

求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数在空间一点的几率波是否存在？

*0，因而（3）

[解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出Vx，x应当遵守的要求。几率守恒的条

jdS ） ，而第二项代表体积中



2mi2mi

或

x，t形式相同,xx对对对2.9设N个粒子的哈密顿量为：

因此Vx，x必须是x对x实函数。

与[13]题类似，可写出[1]的共轭方程式：

这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即：

将前式等号左方第一项变成面积分[高斯定理]，第二项变成六重积分：

*将[1]和[3]中的和想等同的式子代入到[2]式中去，就得到如下的条件：

tt前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（0，x0当x时）可消去，因x，t和



(r1r2rN,t)是它的任一态函数，定义：

xx*3**3x对tVx对xx对tx对tVx对xx对tdxdx0xx1*dsis (4 )

*x对tx对tV*x对x*x对t]d3xd3x0[x对tVx对x(r,t)i(r,t)

x对tVx对xVx'对xx'对td***N22*d3xVx，xV*x，x2N2ˆHV[riijirj]

2mi1i1*22**ix，tx，tV*x，xx，td3x

xt2m*1i*3dx0t**3ttdx0

⑴

xx',x'x对易：

⑵

*3xd3x0

（5）

(2 )

(3 )

ii[证明]按定义：

j(r,t)ji(r,t)

3i(r,t) t3i(r,t)tti

3

多粒子的体系的状态(r1r2rN,t)应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式：

又待证的公式的等号左方第二项是：

1(r1,t)d3r3d3r3d3rN*⑶

d3r1d3ri1d3ri1d3rN3⑸

d3r1d3ri1d3ri1*jk333**j1(r1,t)drdrdr()33N112imj0 求证：⑷t*将前二式等式右方的式子代替左方的，，代进式⑸

tt*dr1dri1dri1drN()ttid3r1d3ri1d3ri1d3rNd3r1d3ri1d3ri1d3rN*t22i(k)vjk t2mkjk*22i(k)*vjk*

t2mkjki22d3r1d3ri1d3ri1(*kk*)t2imkkk1*(vjkvjk*)i（6a）(6b)

22(*kk*)2imk(*kk*) 2im⑺

（解）

i令gik（面坐标系中的薛定谔方程式。

）

*参看Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11

xyzdxi123xq22xx为坐标变换系数：）qiqkyq22设沿曲线坐标等势面的单位矢量是a1，a2，a3则

2ix2y2z12ds2dx2dy2dz2dq1qqq1111j1(r1,t)2j2(r2,t)iji(ri,t)iji(ri,t)x2y2z12dq3qqq333将⑼式两个求和合一，注意到ik的项不存在，因而⑻⑼等值异号。

jiji(ri,t)(12i)[j1(r1,t)ji(ri,t)]d3r1d3ri1d3ri1d3rN,i(*ii*) ⑻2imiid3r1d3ri1d3ri1d3rN,k(*kk*) ttiik2im2.10*设在曲线坐标（qqq）中线元ds表为dsgikdqdq，写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球

xxx（这里为书写方便q的上标改成下标。dq1dq2dq3同样关于y,z有类似的二式。

q1q2q3xxyyzz2dq3dq1q3q1q3q1q3q1xxyyzz2dq1dq2q1q2q1q2q1q2xxyyzz2dq2dq3qqqqqq232323

zq21

i

2dq2k⑼

但

g2222化简得

代入后得

2divgrad代入直角坐标薛定谔方程式：

2g22g33g11g33iq1q2q3t{[][]t2mg11g22g33q1g11q2q2g22q2在球坐标情形xrsincos，yrsinsin，zrcos式正交坐标系

22i{rsin22tr2mrsinrg33VV{xq1q2q3}2222x22gradijkxyzxyzg111rrrq1q2q3t{xq1q2q3，yq1q2q3，zq1q2q3，t}1sin}Vr，，a1a2a3g11q1g22q2g33q31g22g33][a1g11g22g33q1xyzr1g22g33{[]

g11g22g33q1g11q1yzrsing33g11g11g22[][]} q2g22q2q3g33q3（2）（1）

2g11g22[]}Vq1q2q3q1q2q3t q3g33q2sin

2.11——1.3

所以在动量表象中，Schrödinger为：

p2解：经典能量方程 EVr

2m在动量表象中，只要作变换pp，ri2.11 写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。

221i{rsin2trsin2mrr1}Vr，，sin2为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式：

2.11写出动量表象中的薛定谔方程式。

解：本题可有二种：A：含时间薛定谔方程式，B:定态薛定谔方程式。A：写出含时间薛氏方程式：

1ipx/h为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘，对空间积分：e23/2

123/2x对t123/2p对t123/222iVx

t2mipx/3iedxtp2d VidppEp。2mipx/3p对tedp ipx/3x对tedx

ddp（2）

（3）（1）

1211左方变形

23/2再计算（4）式右方第二积分

3/2计算（5）的x部分分部积分法：

123/2ipxxpyypzz/dxdydz e等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：

2ipxxpyypzz/ipxxpyypzz/ddydzedxdydze2zyxxxzyxx，teipx/dxdydz22关于2，2的积分按同法计算，（5）式的结果是

yz23/2iipx212m23/2px21t23/2i（pxxpyypzz）/exxy22222222myzxipx/3dxVxx，tepx2py2pz2222mipx2xyzyxeeezyxp2p，t2mi（pxxpyypzz）/i（pxxpyypzz）/i（pxxpyypzz）/p21ipx/x，te2m2h3/2dydz2ipx/3edx ddydzipx/3x对tedxidxdydzipxdydz（ipxxpyypzz/dxdydzxep对t tipx/3Vxedx(5)

ipx2i（pxpypz）/）exyzdxdydzzyx(4)

p但最后一个积分中

123123Gp对p对td3p Gp对pp动量表象方程也是积分方程式，其中G（p，p）是这个方程式的核（Kernel）

指坐标空间，p指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下：

若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E，坐标

表象的薛氏方程：

p2pEpGp，pp，td2p0 2mpipx/3ipx/h3Vx{p对tedp}edxd3x}d3pp2ip对tp对tGp对pp对td3p t2mp2.12， 2.13，没找到

p12h3Vxepp22xEVxx02mi对p对t{Vxei对pp对x/pp对x/d3x（9）

（7）

（8）