三角函数、解三角形
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角．
③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
(3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.
象限角
轴线角
2．弧度制
(1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算：
π180360°＝__2π__rad,1°＝__180__rad,1rad＝(__π__)≈57°18′.
(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__，11面积S＝__2|α|r2__＝__2lr__.
3．任意角的三角函数定义
(1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与yxy原点的距离为r，则sinα＝__r__，cosα＝__r__，tanα＝__x__.
(2)三角函数在各象限的符号是：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sinα __＋__ __＋__ __－__ __－__ cosα __＋__ __－__ __－__ __＋__ tanα __＋__ __－__ __＋__ __－__ 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线．
4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__，
tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
重要结论
1．终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角α终边相同的角时，单位必须一致．
α
2．确定k(k∈N*)的终边位置的方法 (1)讨论法：
①用终边相同角的形式表示出角α的范围． α
②写出的范围．
k
α
③根据k的可能取值讨论确定k的终边所在位置．
α
(2)等分象限角的方法：已知角α是第m(m＝1,2,3,4)象限角，求k是第几象限角．
①等分：将每个象限分成k等份．
②标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴．
α
③选答：出现数字m的区域，即为k所在的象限． α
如2判断象限问题可采用等分象限法．
二、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1．同角三角函数的基本关系式
sinx(1)平方关系：__sin2x＋cos2x＝1__. (2)商数关系：__＝tanx__.
cosx2．三角函数的诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 重要结论 1
1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sinx＝tanx·cosx，tan2x＋1＝2，(sinx＋cosx)2
cosx＝1＋2sinxcosx等． 2．特殊角的三角函数值表
角α 角α的弧度数 sinα cosα tanα 0° 0 0 1 0 30° π 61 23 23 345° π 42 22 21 60° π 33 21 23 90° π 21 0 120° 2π 33 21－ 2－3 150° 5π 61 2－－3 23 3180° π 0 －1 0 270° 3π 2－1 0 一 2kπ＋α(k∈Z) sinα cosα tanα 二 π＋α __－sinα__ __－cosα__ __tanα__ 三 －α __－sinα__ __cosα__ __－tanα__ 四 π－α __sinα__ __－cosα__ __－tanα__ 五 π－α 2__cosα__ __sinα__ 六 π＋α 2__cosα__ __－sinα__ 3.诱导公式的记忆口诀 π
“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·＋α中的整数k是奇数
2还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若kππ
为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所
22在的象限．
4.sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系
sinx＋cosx、sinx－cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx，(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx，(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．
三、两角和与差的三角函数 二倍角公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α＝__2sinαcosα__；
(2)cos2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α__－1＝1－__2sin2α__； (3)tan2α＝__
2tanαkπππ
__(α≠＋且α≠kπ＋
242，k∈Z)． 1－tan2α3．半角公式(不要求记忆) α
(1)sin2＝±α(2)cos2＝±α(3)tan2＝±重要结论
1．降幂公式：cos2α＝
1＋cos2α1－cos2α2
，sinα＝. 22
1－cosα
2； 1＋cosα2；
1－cosα1－cosαsinα
＝＝sinα.
1＋cosα1＋cosα
2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)． 1－tanα1＋tanαππ
＝tan(4－α)；＝tan(4＋α)
1＋tanα1－tanα
1－tan2αsin2α2tanα2cosα＝2sinα，sin2α＝2，cos2α＝2，1±sin2α＝(sinα±cosx). 1＋tanα1＋tanα
4．辅助角(“二合一”)公式： asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)， 其中cosφ＝__ab__，sinφ＝____. a2＋b2a2＋b25.三角形中的三角函数问题
A
在三角形中，常用的角的变形结论有：A＋B＝π－C；2A＋2B＋2C＝2π；2＋BCπ2＋2＝2.
三角函数的结论有：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC，A＋BA＋BCCsin2＝cos2，cos2＝sin2.
A>B⇔sinA>sinB⇔cosA四、三角函数的图象与性质1．周期函数的定义及周期的概念
(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__.(2)正弦函数、余弦函数都是周期函数，__2kπ(k∈Z，k≠0)__都是它们的周期，最小正周期是__2π__.
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 x∈R x∈R πx∈R，且x≠＋kπ，k2∈Z 值域 __{y|－1≤y≤1}__ ππ在__ [－＋2kπ，＋2kπ] __，k22单调性 ∈Z上递增； π3π在__ [＋2kπ，＋2kπ] __，k22∈Z上递减 πx＝__＋2kπ(k∈Z)__ 时，ymax2最值 π＝1；x＝__－＋2kπ(k∈Z)__ 2时，ymin＝－1 奇偶性 对称性 对称中心 __奇__ __{y|－1≤y≤1}__ 在__ [(2k－1)π，2kπ] __，k∈Z上递增； 在__ [2kπ，(2k＋1)π] __，k∈Z上递减 x＝__2kπ(k∈Z)__ 时，ymax＝1；x＝__π＋2kπ(k∈Z)__ 时，ymin＝－1 __偶__ πkπ＋，02__, k∈Z __ __x＝kπ，k∈Z__ __2π__ 无对称轴 __π__ __奇__ kπ(，0)，k∈Z__ 2无最值 ππ在(－＋kπ，＋kπ)，k22∈Z上递增 __R__ __(kπ，0)，k∈Z__ π对称轴 __x＝kπ＋，k∈Z__ 2__2π__ 最小正周期 重要结论
π1．函数y＝sinx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是__(0,0)__、__(，1)__、__(π，0)__、
23π__(，－1)__、__(2π，0)__.
2π函数y＝cosx，x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(，0)__、__(π，－1)__、
23π__(，0)__、__(2π，1)__.
22π
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最
|ω|π
小正周期为T＝.
|ω|
3．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称1
中心与对称轴之间的距离是周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
44．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．
五、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象
(1)列表： X＝ω·x＋φ x sinx y 0 φ__－__ ω0 __0__ __π 2πφ－__ 2ωω1 __A__ π πφ__－__ ωω0 __0__ __3π 23πφ－__ 2ωω－1 __－A__ __2π 2πφ－__ ωω0 __0__ φπφπφ3πφ2πφ(2)描点：__(－，0)__，__(－，A)__，(－，0)，(－，－A)__，(－，0)__.
ω2ωωωω2ωωωω(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．
(4)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象
2．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞)的物理意义 2π(1)振幅为A. (2)周期T＝____.
ω1ω(3)频率f＝____＝____. (4)相位是__ωx＋φ__. (5)初相是φ.
T2π重要结论
T
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间的“长度 ”为.
2
2．“五点法”作图中的五个点：①y＝Asin(ωx＋φ)，两个最值点，三个零点；②y＝Acos(ωxπ
＋φ)，两个零点，三个最值点．3．正弦曲线y＝sinx向左平移个单位即得余弦曲线y＝cosx.
2
六、正弦定理、余弦定理
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 abc__＝＝__＝2R(其中R是sinAsinBsinC△ABC外接圆的半径) ①a＝__2RsinA__，b＝__2RsinB__，c＝__2RsinC__； ab②sinA＝____，sinB＝____，sinC2R2R常见变形 c＝____； 2R③abc＝__sinAsinBsinC__ b2＋c2－a2cosA＝____； 2bca2＋c2－b2cosB＝____； 2aca2＋b2－c2cosC＝____ 2ab余弦定理 a2＝__b2＋c2－2bccosA__ b2＝__a2＋c2－2accosB__ c2＝__a2＋b2－2abcosC__ 内容 ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA (1)已知两角和任一边，求另一角和其解决解斜三角形的问题 他两条边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角； (2)已知两边一角，求第三边和其他两个角 2．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a< bsinA 无解 a＝bsinA 一解 bsinA< ab 一解 a≤b 无解 3．三角形常用面积公式 1
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
2111
(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA.
2221
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
2 重要结论
在△ABC中，常有以下结论 1．∠A＋∠B＋∠C＝π.
2．在三角形中大边对大角，大角对大边．
3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
A＋BA＋BC
4．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos，cos
222C
＝sin.
2
5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. 6．∠A>∠B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA， sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB， sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC.ππ
8．若A为最大的角，则A∈[，π)；若A为最小的角，则A∈(0，]；若A、B、C成
33π
等差数列，则B＝.
39.三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角π
关系，如sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝等．
2
b2＋c2－a2a
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sinA＝，cosA＝等，通过代数恒
2R2bc等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种形状的可能．
