云南省昆明一中2011届高三数学上学期第三次月考 文【会员独享】

昆明一中2011届高三年级第三次月考数 学 试 题（文）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，请将答案写在答题卡上，写在试卷上的无效，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．sin(690)的值为

（ ）

A．3 2B．1 2C．

1 2D．3 22．设全集U是实数集R，M{x|x2|1},N{x|x24}，则CU(MN)等于（ ）

A．{x|2x3} C．{x|x2或x3}

B．{x|x2或x3} D．{x|x2或x1}

D．-8

（ ）

3．抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为

A．

1 8B．1 8C．8

yxy44．设变量x,y满足约束条件：x2y2,则z的最小值为

x3x2

A．6

22（ ）

B．4 C．2 D．8

5．圆x(y1)4中过点Q（1，2），且与圆相交截得的弦长最短时的直线方程是（ ）

6．若函数yf(x1)的图象与函数ylnx1的图象关于直线yx对称，则f(x)

A．e2x1A．xy10 C．xy30

B．xy10 D．xy30

B．e

2x C．e2x1

D．e2x2（ ）

7．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长都相等，则直线AC1与侧面ABB1A1所成角

的正弦值等于 （ ）

A．

10 4B．6 4C．2 2D．3 2（ ）

8．为了得到函数ysin(2x6)的图象，可以将函数ycos2x的图象

用心 爱心 专心 - 1 -

个单位长度 6C．向左平移个单位长度

6A．向右平移个单位长度 3D．向左平移个单位长度

3B．向右平移

9．设{an}是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则{an}是前n项和Sn

A．nn

2 （ ）

n25n B．33n23n C．

24n27nD． 4410．中秋节期间，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3

种卡片可获奖，现购买该食品5袋，能获奖的概率为 （ ）

4850 D． 81811ABBC，则双曲线的离心率是（ ）11．过双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若

2

A．

B．

C．

A．2 B．3 C．5 D．6

31 8133 8112．已知偶函数f(x)在区间0,单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．点P在曲线C:yx10x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线平行于

直线2xy10，则点P的坐标为 。

313

A．(,)

（ ）

1233B．,12 33C．(,)

1223D．,12 2314．若(3x1x)n的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为 。

15．在ABC中,BAC120,AB2,AC，1D是边BC上一点，且BD=2DC，则

ADBC 。

16．在体积为43的球的表面上有A、B、C三点，AB1,BC2，A、C两点的球面距

离为3，则球心到平面ABC的距离为 。 3三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

用心 爱心 专心

- 2 -

在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且4sin2BC7cos2A. 22 （1）求内角A的度数；

（2）求cosBcosC的范围。 18．（本小题满分12分）

小明参加一次比赛，比赛共设三关。第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，

可进入下一关。第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励。小明对三关中每个问题回答正确的概

率依次为

432,,,且每个问题回答正确与否相互。 543 （1）求小明过第一关但未过第二关的概率； （2）求小明至少获得奖金400元的概率。 19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，BCD60，E是CD的

中点，PA底面ABCD，PA=4

（1）证明：若F是棱PB的中点，求证：EF//平面PAD； （2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小。

用心 爱心 专心

- 3 -

20．（本小题满分12分）

* 设Sn是正项数列{an}的前n项和，对nN，都有Sn1(an1)2. 4 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn

21．（本小题满分12分）

an,Tn为数列{bn}的前n项和，求证：Tn3. 2nx2y262 已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为

ab32 （1）求椭圆C的方程

（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点到直线l的距离为

的最大值。

用心 爱心 专心

- 4 -

3，求AOB面积2

22．（本小题满分12分） 设函数f(x)13xax2bx,且f'(1)0. 3 （1）试用含a的代数式表示b， （2）求f（x）的单调区间；

（3）令a=-1，设函数（fx）在x1,x2(记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，x1x2)处取得极值，

证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点。

参

一、选择题

1—12 CABAC BBADA CA

用心 爱心 专心

- 5 -

二、填空题

1313．（—2，15） 14．— 540 15．3 16．2 三、解答题 17．解：（1）4sin2BC2cos2A72 41cos(BC)2(2cos2A1)72

即22cosA2cos2172

cos2AcosA140

得cosA12

A3

（2）A3,C23B cosBcosCcosBcos(23B)

=

32sinB12cosBsin(B6) 0B23,56B66,

12sin(B6)1cosBcosC的范围是(1,1]

2

18．解：（1）P(4)2[1(3)2]165425716725 （2）小明获得奖金400元、900元的概率为：

P1(4)2(3)2[(1)3C12127 54333(3)]75P(4)(3

2)2[C2212342543(3)23(3)]15,所以，小明至少获得400元奖金的概率为P91P22519．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，E是CD的中点 ∴BE⊥AB，

用心 爱心 专心

- 6 -

又PA⊥底面ABCD， ∴BE⊥PA ∴BE⊥平面PAB ∴BE平面PBE ∴平面PBE⊥平面PAB

（2）设PA的中点为M，连接EF、FM、MD 则MF//

11AB、DE//AB， 22∴DE//FM、DE=FM

∴四边形EFMD是平面四边形， ∴EF//DM

又EF平面PAD，DM平面PAD ∴EF//平面PAD （3）延长BE交AD的延长线于G，则PG是平面PAD和平面PBE的交线过点A作AH⊥OB、AN⊥PG， ∵AH⊥平面PAB， ∴∠ANH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角 在Rt△PAB中，PA=4、AB=2

AH∴

PAAB424 PB205∵E是DC的中点，且AB//CD，

∴AG=2AD=4

∴在Rt△PAG中，AN=22， ∴Rt△ANH中，sinANHAN AN4105

522∴平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为arcsin或如图，建立空间直角坐标系O—xyz，

10 5A(0,3,0),P(0,3,4),D(1,0,0)

13,,0) 22B（1，0，0），E(则PA(0,0,4)，PD(1,3,4) 设平面PAD的法向量为n1(x,y,z)

用心 爱心 专心 - 7 -

则n1PAz0,

n1PAx3y4z0

可得n1(3y,y,0),取y1,则n1(3,1,0) 又PB(1,3,4),BE(332,2,0) 设平面PBE的法向量为n2(x,y,z)

n2PBx3y4z0，

n32x32BE2y=0

可得n2(x,3x,x)，取x=1，

n2(x,3x,1)

cosn23151,n2n1n2|n1||n2|255 平面PAD和平面PBE所成二面角的大小为

accos155 20．解：（1）n1时，a11S14(a11)2， a11

n2时，由S11n（a4n1）2,Sn14(an11)

得a1212n4(an1)4(an11)

a2a2n2ann12an10,

即(anan1)(anan12)0

{an}是等差数列，a1=1，公差d=2，an=1+(n1)22n1又a1适合an，

数列{an}的通项公式为an2n(nN*)

用心 爱心 专心

- 8 -

（2）bn2n2n1na2n,Tnb1b2bn T12nn23(12)5(12)2(2n1)(12) ………………① 12T(12)23(12)35(12)4(2n1)(1n2)n1…………② ②—①得：

1T12[(1)2(111n2)3(2)n](2n1)(2)n122232112n1(2n1)2n1 T1(1)25(1)31n2322(2n1)(2)nTn1n312n222n3 21．解：（1）eca6a223,cc2,解得a3,c2

b2321,椭圆C的方程为x23y21

(3 （2）当ABx轴时，

2)23y21,得y234,AB3， 当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykxm，

则|m|1k232,得m2334k24 ykx由mx2得(3k21)x26kmx3m230 3y216km3(m2x1)1x23k21,x1x23k21222|AB|1k2(x21x2)4x1x21k236km12((3k21)2m1)3k2112(k21)(3k21m2)3(k21)(9k21)12k2(3k21)2(3k21)39k26k21 用心 爱心 专心 - 9 -

3121232(k0)，

12369k226k2当且仅当9k13,即k时,|AB|max2，

3k2当k0时,AB3,综上所述|AB|max2

当|AB|最大时，AOB面积最大值,S133 222222．解法一：（I）依题意，得f(x)x22axb

由f(1)12ab0得b2a1 （II）由（I）得f(x)13xax2(2a1)x 3故f(x)x22ax2a1(x1)(x2a1) 令f*(x)0,则x1或x12a ①当a1时,12a1

当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表：

x f(x) f(x) (,12a) + 单调递增 (2a,1) — 单调递减 (1,) + 单调递增 由此得，函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)， 单调减区间为(12a,1)

时,12a1,此时,f(x)0恒成立， ②由a1且仅在x1处f(x)0,故函数f(x)的单调区间为R

时,12a1， ③当a1同理可得函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,),

用心 爱心 专心 - 10 -

单调减区间为(1,12a) 综上：

当a1时,函数f(x)的单调增区间为(,12a)和(1,)， 单调减区间为(12a,1)；

当a1时,函数f(x)的单调增区间为R；

当a1时，函数f(x)的单调增区间为(,1)和(12a,)， 单调减区间为(1,12a)； （III）当a1时,得f(x)13xx23x 3由f(x)x32x30,得x11,x23

由（II）得f(x)的单调增区间为(,1)和(3,)，单调减区间为（—1，3） 所以函数f(x)在x11,x23处取得极值。 故M(1,),N(3,9) 所以直线MN的方程为y538x1 312yxx23x3得x33x2x30 由y8x13令F(x)x3xx3

易得F(0)30,F(2)30,而F(x)的图像在（0，2）内是一条连续不断的曲线， 故F(x)在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f(x)有异于M，N的公共点。

32用心 爱心 专心 - 11 -