云南省昆明一中2014届高三上学期开学考试--数学文

昆明第一中学 2014届高三开学考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码。 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上的答案无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，其中m是实数，则

1= z A．i B．i C．2i D．2i

2．如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是 直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的体积为 A．1 C．

3．已知cos(x1 31 21D．

4B．

正视图 侧视图 3)，则cos2x的值为

俯视图 25716716A． B． C． D．

25252525

4．公比不为1的等比数列an前n项和为Sn，a11，且3a1,a2,a3成等差数列，则S4

A．20 B．0 C．7 D．40

5．变量U与V相对应的一组样本数据为(11.4)，，(2,2.2)，(3,3)，(4,3.8)，由上述样本数据得到U与V的线性回归分析，R表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则 R= A．

2234 B． C．1 D．3 55y 2 1 6．已知a是实数，则函数f(x)acosax的图象可能是

y 2 1 y  22 1 y 2 1 O -1  2 x O -1  x O -2  2 x O -2 2  x A． B． C． D．

7．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，┅，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试的成绩，下面的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W；为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数．那么 在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的

MW 50MWC．T0?，A

50A．T0?，A

MW 50MWD．T0?，A

50B．T0?，Ax2,x08．已知函数fx2，若

x,x0fa2f(a)0，则实数a的取值范围是

A．a2 B．a1

C．a1 D．a1

9．若曲线f(x)cosx与曲线g(x)x2bx1在交点(0,m)处有公切线，则b

A．1 B．0 C．1 D．2

10．已知数列{an}满足an1anan1(n2)，a11，a23，记Sna1a2an，则下列结论正确的是

A．S1020 B．S1021 C．S1023 D．S1024

11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若OFM的外接圆的圆心在抛物线C上，且该圆面积为9，则p A．2 B．4 C．6 D．8

12．设函数f(x)满足f(x)f(x)，当x0时f(x)()，若函数g(x)14x1sinx，则函数21h(x)f(x)g(x)在,2上的零点个数为

2A．6 B．5 C．4 D．3

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

xy1013．变量x，y满足条件xy0，求2xy的最大值为 _______________．

x0x2y21的渐近线与圆E:(x5)2y2r2(r0)相切，则r= 14．已知双曲线C:3215．已知向量a，b的夹角为120，且a1，b2，则向量ab在向量a方向上的投影是

________．

16．已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上.若这两个正四棱锥的体积之比为1:2，则该球的表面积为____________________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若acos（Ⅰ） 求证：a、b、c成等差数列；

2__________________．

CA3ccos2b． 222

（Ⅱ） 若B60，b4，求ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

气象部门提供了某地今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下： 日最高气温t （单位：℃） 天数 t22℃ 6 22℃< t28℃ 12 28℃< t  32℃ t32℃ Y X 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，X和Y数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9． （Ⅰ） 若把频率看作概率，求X ， Y的值； （Ⅱ） 把日最高气温高于32℃称为本地区的“高温天气”，根据已知条件完成下面22列联表，并据此你是否有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜 “ 旺销 ” 有关？说明理由．

旺销 不旺销 合计 2高温天气 1 非高温天气 6 合计 n(adbc)2附：k

(ab)(cd)(ac)(bd)P(K2k) 0．10 2.706 0．050 3．841 0.025 5.024 0．010 6．635 0.005 7.879 0．001 10．828 k

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB的中点，PAAD2，AB1． （Ⅰ）求证：PD平面AMC； （Ⅱ）求三棱锥AMBC的高．

P M D A

C B

20．（本小题满分12分）

1x2y2已知椭圆C1:221(ab0)经过点B(0,3)，且离心率为，右顶点为A，左右焦

2ab点分别为F1,F2； 椭圆C2以坐标原点为中心，且以F1,F2为短轴端点，上顶点为D． （Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）若C1与C2交于M、N、P、Q四点，当AD//F2B时，求四边形MNPQ的面积．

21．（本小题满分12分）

设f(x)lnxax（aR且a0）． （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若a1，证明：x[1,2]时，f(x)3

y D B M N F1 Q O P F2 A x 1成立． x

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BCOP，连接AB交PO于点D．

C（Ⅰ）求证：PAPD；

A（Ⅱ）求证：ACAPADOC．

23．本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

ODPBx3txacos已知曲线C的参数方程是（为参数,a0）与直线l的参数方程是

y1ty3sin（t为参数）有一个公共点在x轴上．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．

（Ⅰ）求曲线C普通方程；

B(2,（Ⅱ）若点A(1,) 、值．

24111) 、 C(3,)在曲线C上，求的22233OAOBOC

24．（本小题满分10分）选修45：不等式选讲

已知函数f(x)x3xa(a0)．

（Ⅰ）当a4时，已知f(x)7，求x的取值范围； （Ⅱ）若f(x)6的解集为x|x4或x2，求a的值．



参

一．选择题：

1．A 2．C 3．B 4． A． 5．C． 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A 11．B 12．B 二、填空题： 13．

1 14． 22 15．0 16．36

三、解答题： 17．解：证明：（Ⅰ）证法一：

CA1cosC1cosA3ccos2acb 22222即a(1cosC)c(1cosA)3b acos2由正弦定理得：

sinAsinAcosCsinCcosAsinC3sinB 即 sinAsinCsin(AC)3sinB ∴sinAsinC2sinB

由正弦定理得： 整理得：ac2b

故a、b、c成等差数列． „„ 6分 证法二：

CA1cosC1cosA3ccos2acb 22222∴ac(acosCccosA)3b

∵acos2a2b2c2b2c2a2c)3b ∴ac(a2ab2bc整理得：ac2b

故a、b、c成等差数列．

222解：（Ⅱ）由B60，b4及余弦定理得：4ac2accos60

2∴(ac)3ac16

2又由（1）知ac2b，代入上式得 4b3ac16，解得ac16

11acsinBacsin60o43． „„ 12分 22o18．解：（Ⅰ）由已知的：P(t32C)0.9

∴ ABC的面积S ∴ P(t32C)1P(t32C)0.1 ∴ Y300.13

ooX30(6123)9． „„ 6分

（Ⅱ）

旺销 不旺销 合计 高温天气 1 2 3 非高温天气 21 6 27 合 计 22 8 30 30(16221)2n(adbc)22.727， k327228(ab)(cd)(ac)(bd)因为2.7273.841，所以没有95%的把握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关．

2P „„ 12分

19．（Ⅰ）证明：连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM， ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴点O为BD的中点．

∵M为PB的中点， ∴OM为PBD的中位线， ∴OM//PD． „„ 2分 ∵OM平面AMC,PD平面AMC，

∴PD平面AMC． „„ 4分

C

（Ⅱ）解：∵BC平面PAB，AD//BC，则AD平面PAB，故PAAD，

又PAAB, 且ADABA，

∴PA平面ABCD． „„ 8分 取AB的中点F，连接MF，则MF//PA， ∴MF平面ABCD，

且MFM D O B

F A

1PA1.„„ 9分 2设三棱锥AMBC的高为h， 由VAMBCVMABC，

11ShSABCMF， 有MBC331BCABMFSABCMF225得h.„„ 12分

1SMBC5BCBM2120．解：（Ⅰ）e,b3，∴a2，

2x2y21．„„„4分 则椭圆方程为43y22（Ⅱ）由题意得：C2的短轴长为2，设C2的方程为2x1(m1)，

mD(0,m),A(2,0),F2(1,0)， AD//F2B，m23，

y2C2:x1；

12设N(x1,y1)，

2

y12242xx14315121则2，解得，， xy112125y2x1y111534163则由对称性得四边形MNPQ的面积为．„„„„„12分

5121．解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)，f(x)a，

x当a0时，f(x)0，∴函数f(x)在(0,)上是增函数；

ax1当a0时，f(x)，

x11由f(x)0得0x；由f(x)0得，x，

aa11∴函数f(x)在(0,)上是增函数；在(,)上是减函数．„„„„„4分

aa（Ⅱ）当a1时，f(x)lnxx，

1要证x[1,2]时f(x)3成立，由于x0，

x2∴只需证xlnxx3x10在x[1,2]时恒成立， 令g(x)xlnxx23x1，则g(x)lnx2x2，

1g(1)0设h(x)lnx2x2，h(x)20，x[1,2]

x∴h(x)在[1,2]上单调递增，∴g(1)g(x)g(2)，即0g(x)ln22 ∴g(x)在[1,2]上单调递增，∴g(x)g(2)2ln230

2∴当x[1,2]时，xlnxx3x10恒成立，即原命题得证．„„„„„12分

22．解：（Ⅰ）证明：

解法一：PA与圆O相切于点A，PABACB，

BC是圆O的直径，BAC90 ACB90B，

OBOP，BDO90B

又BDOPDA，PADPDA90B PAPD． „„„„4分 解法二：连接OA，

OAOB，OABOBA，

PA与圆O相切于点A，OAP90， PAD90OAB，

OBOP，BDO90OBA 又BDOPDA，PADPDA PAPD．

ADPDAACO（Ⅱ）据（1），P，

又OACOCA PAD∽OCA， PAAD，PAACADOC． „„„„10分 OCAC23．解：

(Ⅰ) 直线l的的普通方程为：xy2，与x轴的交点为(2,0)，

CAODPB

x2y2x2y21，所以，a2，故所求曲线C普通方程是：1．„4又曲线C的普通方程为：2a343分

（Ⅱ）因点A(1,),B(2,24),C(3,)在曲线C上，即点 3322A(1cos,1sin) 、 B(2cos(),2sin())3344 、 C(3cos(),3sin())在曲线上．

33111111 222222123OAOBOC122412242222 coscos()cos()+sin+sin（+）+sin（+）433333481cos(2)1cos(2)11cos233) (4222481cos(2)1cos(2)11cos233) (322213137=+=．„„„„10分 4232824．解：

（Ⅰ）因为x3x4x3x47，等号成立当且仅当(x3)(x4)0， 即3x4，故x的取值范围为3,4．„„„„4分

a32x(x3)(3xa) （Ⅱ）因为f(x)a32x3a(xa)当a36时，不等式f(x)6解集为R，不合题意； 当a36时，不等式f(x)6的解为x3xa 或

a32x62x3a6x3xa即a9 或a3，又因为解集x|x4或x2，解得a1．„„„„10分

xx22