蠡县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷

一、选择题

1． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ ） A．ex+1 B．ex﹣1 C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1

2． 在△ABC中，b=，c=3，B=30°，则a=（ ） A．A．6

B．2B．9

C．C．36

或2

D．2

3． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ）

D．72

4． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 5． 数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+2，a5+3构成公比为q的等比数列，则q=（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

6． 设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

7． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）

A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）ex

D．y=

2

8． 已知抛物线C：y8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

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Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20 9． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（ ）

A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A 10．设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．

B．

C．

或 D．3

+

取得最小值时，实数a的值是（ ）

二、填空题

11．B，C的对边分别为a，b，c，在△ABC中，角A，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=

）=，则cos2α= ．

，则= ．

12．设α为锐角，若sin（α﹣

13．若直线：2xay10与直线l2：x2y0垂直，则a . 14．已知数列1，a1，a2，9是等差数列，数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，则

15．在△ABC中，若角A为锐角，且

=（2，3），

的值为 ．

=（3，m），则实数m的取值范围是 ．

16．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.

三、解答题

17．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=（Ⅰ）证明：AM⊥PM； （Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．

，M为BC的中点．

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2x18．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知函数fxxaxae，其中aR，e是

自然对数的底数.

（1）当a1时，求曲线yfx在x0处的切线方程； （2）求函数fx的单调减区间；

（3）若fx4在4,0恒成立，求a的取值范围.

19．（本小题满分13分） 已知函数f(x)ax3x1， （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)．

20．（本小题满分13分）

3212第 3 页，共 15 页

x2y2M，椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F直线l:xmy1经过点F1、F2，1与椭圆C交于点

ab2点M在x轴的上方．当m0时，|MF1|．

2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

SMF1F2（Ⅱ）若点N是椭圆C上位于x轴上方的一点， MF1//NF2，且3，求直线l的方程．

SNF1F2

21．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方

x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.

y＝1＋sin t

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．

22．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f（）=f（x）﹣f（y） （1）求f（1）的值，

（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．

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蠡县第二高级中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试卷（参）

一、选择题

1． 【答案】D

xx

【解析】解：函数y=e的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e的图象关于y轴对称，

x

所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（故选D．

2． 【答案】C 【解析】解：∵b=∴解得：a=

或2

x+1）

=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．

，c=3，B=30°，

2

，整理可得：a﹣3

2222

∴由余弦定理b=a+c﹣2accosB，可得：3=9+a﹣3a+6=0，

．

故选：C．

3． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

242

∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q+q）=21，解得q=2． 6

则a2a6=9×q=72．

故选：D．

4． 【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为1085． 【答案】A

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1+1，a3+2，a5+3构成等比数列，

2

得：（a3+2）=（a1+1）（a5+3）， 2

整理得：a3+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3

2

即（a1+2d）+4（a1+2d）+4=a1（a1+4d）+4a1+4d+3． 2

化简得：（2d+1）=0，即d=﹣．

180210824．

3602701809∴q===1．

故选：A．

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【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

6． 【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}， P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集， ∴根据题意，M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是故选：C．

7． 【答案】 C

x2x2

【解析】解：A中，∵y=2﹣x﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2的值趋向于0，y=x+1的值趋向+∞， x2

∴函数y=2﹣x﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；

=．

B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=∴B中的函数不满足条件；

的图象是以x轴为中心的波浪线，

C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0； 且y=e＞0恒成立，

x

2x

∴y=（x﹣2x）e的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；

∴C中的函数满足条件； D中，y=∴y=

的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，

＜0，∴D中函数不满足条件．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．

8． 【答案】B 【

解

析

】

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考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 9． 【答案】D

【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A． 故选D．

10．【答案】C

【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，f′（a）=当减． ∴当a=时，

+

取得最小值．

+

+

==

=

+

=f（a），

，

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当

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②当a＜0时，f′（a）=当递减． ∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．

﹣

+=﹣（=﹣

）=﹣（+，

）=f（a），

时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调

+取得最小值．

+

取得最小值．

或时，

【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、填空题

11．【答案】=

．

【解析】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，

2

∴sinAsinB+sinBsinC=2sinB．

2

再由正弦定理可得 ab+bc=2b，即 a+c=2b，故a，b，c成等差数列．

C=，由a，b，c成等差数列可得c=2b﹣a，

22222

由余弦定理可得 （2b﹣a）=a+b﹣2abcosC=a+b+ab． 2

化简可得 5ab=3b，∴ =．

故答案为：．

【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．

12．【答案】 ﹣

【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣∴cos（α﹣∴sin

）=

，

=

[sin（α﹣

）+cos（α﹣

）]=

，

）=，

．

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2

∴cos2α=1﹣2sinα=﹣

．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．

13．【答案】1 【解析】

试题分析：两直线垂直满足21-a20，解得a1，故填：1. 考点：直线垂直

【方法点睛】本题考查了根据直线方程研究垂直关系，属于基础题型，当直线是一般式直线方程时，需满足a1a2b1b20，当两直线平行时，l1:a1xb1yc10，l2:a2xb2yc20，当两直线垂直时，

abc需满足a1b2a2b10且b1c2b2c1，或是111，当直线是斜截式直线方程时，两直线垂直

a2b2c2k1k21，两直线平行时，k1k2，b1b2.1

14．【答案】

．

【解析】解：已知数列1，a1，a2，9是等差数列，∴a1+a2 =1+9=10． 数列1，b1，b2，b3，9是等比数列，∴ ∴b2=3，则故答案为

．

=

，

=1×9，再由题意可得b2=1×q2＞0 （q为等比数列的公比），

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质应用，属于中档题．

15．【答案】

【解析】解：由于角A为锐角， ∴

且

不共线，

．

．

．

．

∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m∴实数m的取值范围是故答案为：

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．

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16．【答案】2016

三、解答题

17．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA ∵△PCD为正三角形

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD ∵四边形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形 由勾股定理得EM=

，AM=

，AE=3

222

∴EM+AM=AE，∴∠AME=90° ∴AM⊥PM

（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则VP﹣ADM=VD﹣PAM

∴而

在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴

，即点D到平面PAM的距离为

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18．【答案】（1）2xy10（2）当a2时，fx无单调减区间；当a2时，fx的单调减区间

2是2,a；当a2时，fx的单调减区间是a,2.（3）44e,4

【解析】试题分析：（1）先对函数解析式进行求导，再借助导数的几何意义求出切线的斜率，运用点斜式求出切线方程；（2）先对函数的解析式进行求导，然后借助导函数的值的符号与函数单调性之间的关系进行分类分析探求；（3）先不等式fx4进行等价转化，然后运用导数知识及分类整合的数学思想探求函数的极值与最值，进而分析推证不等式的成立求出参数的取值范围。

（2） 因为f'xxa2x2aexax2e，

2xxx当a2时，f'xx2e0，所以fx无单调减区间.

2

当a2即a2时，列表如下：

所以fx的单调减区间是2,a.

x当a2即a2时，f'xx2xae，列表如下：

所以fx的单调减区间是a,2.

综上，当a2时，fx无单调减区间；

当a2时，fx的单调减区间是2,a； 当a2时，fx的单调减区间是a,2.

2xxxa2x2aexax2e（3）f'x. 第 12 页，共 15 页

当a2时，由（2）可得，fx为R上单调增函数，

所以fx在区间4,0上的最大值f024，符合题意. 只需f0a4，f24ae当2a4时，可得fa当a2时，由（2）可得，要使fx4在区间4,0上恒成立，

24，解得44e2a2.

a4，f0a4. eaa1a设gaa，则g'aa，列表如下：

ee所以gamaxg1当a4时，可得f0a4，无解.

244e,4综上，a的取值范围是.

1a4，可得a4恒成立，所以2a4. ee

19．【答案】（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）f(x)3ax6x3x(ax2)， （1分）

222或x0，解f(x)0得0x， aa22∴f(x)的递增区间为(,0)和(,)，f(x)的递减区间为(0,)． （4分）

aa②当a0时，f(x)的递增区间为(,0)，递减区间为(0,)． （5分）

22③当a0时，解f(x)0得x0，解f(x)0得x0或x

aa22∴f(x)的递增区间为(,0)，f(x)的递减区间为(,)和(0,)． （7分）

aa22（Ⅱ）当a2时，由（Ⅰ）知(,)上递减，在(,0)上递增，在(0,)上递减．

aa22a4∵f0，∴f(x)在(,0)没有零点． （9分） 2aa11∵f010，f(a2)0，f(x)在(0,)上递减，

281∴在(0,)上，存在唯一的x0，使得fx00．且x0(0,) （12分）

2①当a0时，解f(x)0得x第 13 页，共 15 页

综上所述，当a2时，f(x)有唯一的零点x0，且x0(0,)． （13分） 20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由直线l:xmy1经过点F1得c1，

12b22当m0时，直线l与x轴垂直，|MF1|， a2c1a2x22y21． （4分） 由b，∴椭圆C的方程为2解得2b12aSMF1F2|MF1|y1（Ⅱ）设M(x1,y1),N(x2,y2)，y10,y20，由MF1//NF2知3.

SNF1F2|NF2|y2xmy1m2(m21)222联立方程x，消去x得(m2)y2my10，解得y 22m2y12m2(m21)m2(m21)∴y1，同样可求得y2， （11分）

m22m22m2(m21)m2(m21)y1

由，解得m1， 3得y13y2，∴322y2m2m2直线l的方程为xy10． （13分） 21．【答案】

x＝cos t【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得

y＝1＋sin t

x2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得

ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程． （2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）． ∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π

＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），

3π1

由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，

32

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π5π∴α＝或α＝.

26

ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，

2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），

6

即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3

∴C2到l的距离d＝＝，

2

（3）2＋321

∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d

2

133＝×2×＝. 222

3

即△ABC2的面积为. 222．【答案】

【解析】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中， 令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）， ∴f（1）=0；

（2）∵f（6）=1，∴2=1+1=f（6）+f（6）， ∴不等式f（x+3）﹣f（）＜2

等价为不等式f（x+3）﹣f（）＜f（6）+f（6）， ∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6）， 即f（

）＜f（6），

∵f（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴

，解得﹣3＜x＜9，

即不等式的解集为（﹣3，9）．

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