易错题型
1．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm
的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、
Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm？若存在，请求出所有满
2
足条件的t的值；若不存在，请说明理由．
2．二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（﹣
2
1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y
轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN
的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的
坐标；若不存在，说明理由．
3．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方
案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每
件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件
产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x万元的特别关税，
2
在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）
之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
4．已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．
（1）点A的坐标：，点E的坐标：；
A在第一象限内，AB与y轴
（2）若二次函数y=﹣
637
x+bx+c过点A、E，求此二次函数的
2
解析式；
（3）P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设l是△PBD的周长，当l取最小值时，
求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
5．边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上(如图1)，现将正方形ABCD
绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中， AB边交DF于点M，BC边交DG于
点N.
（1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时(如图2)，求正方形ABCD旋转的度数；
（3）如图3，设△MBN的周长为p，在旋转正方形ABCD的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
6．如图，AH是⊙O的直径，上一点，点E、F分别在矩形AE平分∠FAH，交⊙O于点ABCD的边BC和CD上．
，过点的直线⊥AF，垂足为，B为直径OH
EEFGF（1）求证：直线FG是⊙O的切线；
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．
7．选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。
题甲：如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD 是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=
，求S△ABE的面积5，BD=2
题乙：已知：一元二次方程x﹣ax﹣3= 0
2
（1）求证：无论a取何值关于x的一元二次方程总有不等的实根。
（2）如果m，n是方程的两根且m+n=22试求a的值
22
8．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移
动，点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，
另一点也随之停止运动，设运动的时间t（秒）
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？
9．小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯，在正常
情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚
搬进新房不久，不熟悉情况．
（1）若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
（2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表加以说
明．
10．已知：如图，在平面直角坐标系
xOy中，正比例函数y=4
3
x的图象经过点例函数y=
x
的图象也经过点A，第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上，过点轴于点C，且AC=AB．求：
（1）这个反比例函数的解析式；
（2）直线AB的表达式．
A，点A的纵坐标为4，反比
B作BC∥x轴，交y
11．如图，直线y
2x与反比例函数y
kx
（k0，x0）的图象交于点图象上一点，直线OB与
x轴的夹角为
，tan
12
。
（1）求k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（
m，0）
，使△PAB的面积为2，求m的值。A（1，a），B是反比例函数
12．在平面直角坐标系xoy中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点（－1，－1），
（0，0），（
2，，,,都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个2）
．
（1）若点P（2，m）是反比例函数
y
n
（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的x
解析式；
（2）函数y＝3kx＋s－1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y＝ax＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”
2
A（x1，y1），B
（x2，y2），且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令tb
2
2b
15748
，试求t的取值范围．
13．如图，在水平地面上竖立着一面墙AB，墙外有一盏路灯D．光线DC恰好通过墙的最高点B，且与地面
形成37°角．墙在灯光下的影子为线段AC，并测得AC=5．5米．
（1）求墙AB的高度（结果精确到0．1米）；（参考数据：tan37°≈0．75，sin37°≈0．60，cos37°≈0．80）
（2）如果要缩短影子AC的长度，同时不能改变墙的高度和位置，请你写出两种不同的方法．
14．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，
AB＝4
＝4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时的移3 cm，AD．．向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD
动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．
（1）如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，
A1，C1恰好在同一直线上，求圆心1的长）O移动的距离(即OO；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)．当d<2时，
求t的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）
15．在平面直角坐标系xOy中，对于⊙A上一点B及⊙A外一点P，给出如下定义：若直线PB与 x轴有公
共点（记作M），则称直线PB为⊙A的“ｘ关联直线”，记作
lPBM.
（1）已知⊙O是以原点为圆心，1为半径的圆，点P（0,2），
①直线l1：y2，直线l2：y
x
2，直线l3：
y3x
2，直线l4：y
2x
2都经过点P，在直线l1，
l2，l3，l4中，是⊙O的“ｘ关联直线”的是
；
②若直线
lPBM是⊙O的“ｘ关联直线”，则点
M的横坐标
xM的最大值是
；
（2）点A（2,0）,⊙A的半径为1，
①若P（-1,2）,⊙A的“ｘ关联直线”lPBM：y
kxk
2，点M的横坐标为xM，当xM最大时，求
k的值；
②若P是y轴上一个动点，且点P的纵坐标
yp2，⊙A的两条“ｘ关联直线”lPBM,lPDN是⊙A的两条
切线，切点分别为C,D，作直线CD与x轴点于点E，当点P的位置发生变化时， AE的长度是否发生改变？
并说明理由．
16．【特例发现】如图1，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC
外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．求证：EP=FQ．
【延伸拓展】如图2，在△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外
作Rt△ABE和Rt△ACF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，请思考HE与HF之间的数量关系，并直
接写出你的结论．
【深入探究】如图3，在△ABC中，G是BC边上任意一点，以A为顶点，向△ABC外作任意△ABE和△ACF，
射线GA交EF于点H．若∠EAB=∠AGB，∠FAC=∠AGC，AB=kAE，AC=kAF，上一问的结论还成立吗？并证明你
的结论．
【应用推广】在上一问的条件下，设大小恒定的角∠IHJ分别与△AEF的两边AE、AF分别交于点M、N，若
△ABC为腰长等于4的等腰三角形，其中∠BAC=120°，且∠IHJ=∠AGB=θ=60°，k=2；
求证：当∠IHJ在旋转过程中，△EMH、△HMN和△FNH均相似，并直接写出线段MN的最小值（请在答题卡
的备用图中补全作图）．
17．.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B
运动，设AP=x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，
求出x的值；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在
第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿
着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随
之停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段BC的长；
（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；
（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之
间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
19．矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O
与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
20．如图，点A（3,2）和点M（m，n）都在反比例函数
y
k
x
(x0)的图像上．
（1）求k的值,并求当m=4时，直线AM的解析式；
（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴于点ABPQ是平行四边形．
Q，试说明四边形
（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否是菱形？若能，请求出m的值，若不能，请说明理由．
