湖南省衡阳市中考数学试卷

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2016?衡阳）﹣4的相反数是（ ） A．﹣B．C．﹣4 D．4 2．（3分）（2016?衡阳）如果分式

有意义，则x的取值范围是（ ）

A．全体实数 B．x≠1 C．x=1 D．x＞1

3．（3分）（2016?衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

4．（3分）（2016?衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（ ）

A．

球体 B．

圆柱体 C．

四棱锥 D．圆锥

5．（3分）（2016?衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ） A．3x+5y=8xy B．x?x=xC．x÷x=xD．（﹣x）=x

6．（3分）（2016?衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（ ）

A．×107B．×106C．×107D．36×105

7．（3分）（2016?衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

8．（3分）（2016?衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13

3

5

8

6

3

2

3

3

6

9．（3分）（2016?衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）

A．10（1+x）2= B．10（1+2x）= C．10（1﹣x）2= D．10（1﹣2x）= 10．（3分）（2016?衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4

11．（3分）（2016?衡阳）下列命题是假命题的是（ ） A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半 C．平行四边形的对角线相等 D．圆的切线垂直于经过切点的半径

12．（3分）（2016?衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x

轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（ ）

A．

B．C．D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2016?衡阳）因式分解：a2+ab= ． 14．（3分）（2016?衡阳）计算：

﹣

= ．

15．（3分）（2016?衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是 ．

16．（3分）（2016?衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 ．

17．（3分）（2016?衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ．

18．（3分）（2016?衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 ．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）（2016?衡阳）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．

20．（6分）（2016?衡阳）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为 ；

（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

21．（6分）（2016?衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

22．（8分）（2016?衡阳）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；

（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

23．（8分）（2016?衡阳）为保障我国海外维和官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

运费（元/台）

港口

甲库

乙库

A港 14 20

B港 10 8

（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．

24．（10分）（2016?衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的

正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？ （3）若敌舰A沿最短距离的路线以20

海里/小时的速度靠近△OBC海域，

我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

25．（10分）（2016?衡阳）在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣

，0）、B（

，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作

⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

26．（12分）（2016?衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

2016年湖南省衡阳市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）

1．（3分）（2016?衡阳）﹣4的相反数是（ ） A．﹣B．C．﹣4 D．4

【考点】相反数．

【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．

【解答】解：﹣4的相反数是：4． 故选：D．

【点评】此题主要考查了相反数的定义，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）（2016?衡阳）如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）

A．全体实数 B．x≠1 C．x=1 D．x＞1 【考点】分式有意义的条件．

【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值． 【解答】解：∵分式

有意义，

∴x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选：B．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确得出分母不能为零是解题关键．

3．（3分）（2016?衡阳）如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1=∠B=50°， ∵∠C=40°，

∴∠E=180°﹣∠B﹣∠1=90°， 故选C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．

4．（3分）（2016?衡阳）下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同（ ）

A．

球体 B．

圆柱体 C．

四棱锥 D．

圆锥

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】根据各个几何体的三视图的图形易求解． 【解答】解：A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；

B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；

C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；

D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误． 故选：A．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．

5．（3分）（2016?衡阳）下列各式中，计算正确的是（ ） A．3x+5y=8xy B．x3?x5=x8C．x6÷x3=x2D．（﹣x3）3=x6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：A、3x+5y，无法计算，故此选项错误； B、x3?x5=x8，故此选项正确； C、x÷x=x，故此选项错误； D、（﹣x3）3=﹣x9，故此选项错误； 故选：B．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．

6

3

3

6．（3分）（2016?衡阳）为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房3600000套，把3600000用科学记数法表示应是（ ）

A．×107B．×106C．×107D．36×105 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：3600000=×106， 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

n

7．（3分）（2016?衡阳）要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【考点】统计量的选择．

【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．

【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好． 故选：D

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．

8．（3分）（2016?衡阳）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）

A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】多边形内角与外角．

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数． 【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°， 360°÷30°=12．

则这个正多边形是正十二边形． 故选：C．

【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．

9．（3分）（2016?衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（ ）

A．10（1+x）2= B．10（1+2x）= C．10（1﹣x）2= D．10（1﹣2x）= 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【解答】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x， 根据题意，可列方程：10（1+x）2=， 故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

10．（3分）（2016?衡阳）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根，则k的值为（ ）

A．k=﹣4 B．k=4 C．k≥﹣4 D．k≥4 【考点】根的判别式．

【分析】根据判别式的意义得到△=42﹣4k=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实根， ∴△=42﹣4k=0， 解得：k=4， 故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

11．（3分）（2016?衡阳）下列命题是假命题的是（ ） A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半

C．平行四边形的对角线相等 D．圆的切线垂直于经过切点的半径 【考点】命题与定理．

【分析】根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断A、B、D正确．

【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确． B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．

C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．

D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确． 故选C．

【点评】本题考查命题与定理、直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理等知识，解题的关键是灵活应用直线知识解决问题，属于中考常考题型．

12．（3分）（2016?衡阳）如图，已知A，B是反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM⊥x

轴，垂足为M．设三角形OMP的面积为S，P点运动时间为t，则S关于x的函数图象大致为（ ）

A．B．C．D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】结合点P的运动，将点P的运动路线分成O→A、A→B、B→C三段位置来进行分析三角形OMP面积的计算方式，通过图形的特点分析出面积变化的趋势，从而得到答案．

【解答】解：设∠AOM=α，点P运动的速度为a， 当点P从点O运动到点A的过程中，S=a2?cosα?sinα?t2，

由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大；

当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变，

=

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段； 故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数图象性质、锐角三角函数性质，解题的关键是明确点P在O→A、A→B、B→C三段位置时三角形OMP的面积计算方式．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2016?衡阳）因式分解：a2+ab= a（a+b） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 【分析】直接把公因式a提出来即可． 【解答】解：a2+ab=a（a+b）． 故答案为：a（a+b）．

【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a是解题的关键．

14．（3分）（2016?衡阳）计算：﹣= 1 ．

【考点】分式的加减法．

【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可． 【解答】解：原式=

=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．

15．（3分）（2016?衡阳）点P（x﹣2，x+3）在第一象限，则x的取值范围是 x＞2 ． 【考点】点的坐标．

【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出x的取值范围即可． 【解答】解：∵点P（x﹣2，x+3）在第一象限，

∴，

解得：x＞2． 故答案为：x＞2．

【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出关于x的不等式组是解题关键．

16．（3分）（2016?衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为 5：4 ． 【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解．

【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16， ∴△ABC与△DEF的相似比为5：4； ∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4． 故答案为：5：4．

【点评】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；

（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

17．（3分）（2016?衡阳）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 16 ． 【考点】圆锥的计算．

【分析】设该圆锥的母线长为l，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到8π=

，然后解方程即可．

【解答】解：设该圆锥的母线长为l， 根据题意得8π=

，解得l=16，

即该圆锥的母线长为16． 故答案为16．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

18．（3分）（2016?衡阳）如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4

条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为 10 ．

【考点】点、线、面、体．

【分析】n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，依此可得等量关系：n条直线最多可将平面分成56个部分，列出方程求解即可． 【解答】解：依题意有 n（n+1）+1=56，

解得n1=﹣11（不合题意舍去），n2=10． 答：n的值为10． 故答案为：10．

【点评】考查了点、线、面、体，规律性问题及一元二次方程的应用；得到分成的最多平面数的规律是解决本题的难点．

三、解答题（共8小题，满分66分）

19．（6分）（2016?衡阳）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（a+b），其中a=﹣1，b=．

2

【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将a、b的值代入求值即可． 【解答】解：原式=a2﹣b2+a2+2ab+b2 =2a+2ab，

当a=﹣1，b=时，

原式=2×（﹣1）2+2×（﹣1）×

2

=2﹣1 =1．

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（6分）（2016?衡阳）为庆祝建党95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此提供代号为A，B，C，D四首备选曲目让学生选择，

经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图．请根据图①，图②所提供的信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为 20% ；

（2）请将图②补充完整；

（3）若该校共有1530名学生，根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比；

（2）根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择C的人数，从而可以将图②补充完整；

（3）根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数． 【解答】解：（1）由题意可得，

本次抽样调查中，选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：

×100%=20%．

故答案为：20%； （2）由题意可得， 选择C的人数有：30÷

﹣36﹣30﹣44=70（人），

故补全的图②如下图所示，

（3）由题意可得，

全校选择此必唱歌曲共有：1530×=595（人），

即全校共有595名学生选择此必唱歌曲．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

21．（6分）（2016?衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．

【解答】证明：∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， ∴AD=BC，

在△AED和△BFC中，

，

∴△AED≌△BFC（ASA）， ∴DE=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．

22．（8分）（2016?衡阳）在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；

（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解（1）画树状图得：

则共有16种等可能的结果；

（2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有B、C， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况， ∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：

=．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及轴对称图形与中心对称图形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分）（2016?衡阳）为保障我国海外维和官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用（元/吨）如表所示：

运费（元/台）

港口

甲库

乙库

A港 14 20

B港 10 8

（1）设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案． 【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往A、B两港口的物资数，再由等量关系：总运费=甲仓库运往A港口的费用+甲仓库运往B港口的费用+乙仓库运往A港口的费用+乙仓库运往B港口的费用列式并化简；

最后根据不等式组得出x的取值；

（2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知：y随x增大而减少，则当x=80时，y最小，并求出最小值，写出运输方案．

【解答】解（1）设从甲仓库运x吨往A港口，则从甲仓库运往B港口的有（80﹣x）吨，

从乙仓库运往A港口的有（100﹣x）吨，运往B港口的有50﹣（80﹣x）=（x﹣30）吨，

所以y=14x+20（100﹣x）+10（80﹣x）+8（x﹣30）=﹣8x+2560， x的取值范围是30≤x≤80．

（2）由（1）得y=﹣8x+2560y随x增大而减少，所以当x=80时总运费最小，

当x=80时，y=﹣8×80+2560=1920，

此时方案为：把甲仓库的全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库的余下的全部运往B港口．

【点评】本题考查了一次函数的应用，属于方案问题；解答本题的关键是根据题意表示出两仓库运往A、B两港口的物资数，正确得出y与x的函数关系式；另外，要熟练掌握求最值的另一个方法：运用函数的增减性来判断函数的最值问题．

24．（10分）（2016?衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？ （3）若敌舰A沿最短距离的路线以20

海里/小时的速度靠近△OBC海域，

我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（1）求出OC，由题意r≥OC，由此即可解决问题．

（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解决问题．

（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解决问题． 【解答】解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°， ∴OC=

=

=100，

∵OC=×100=50

∴雷达的有效探测半径r至少为50海里． （2）作AM⊥BC于M，

∵∠ACB=30°，∠CBA=60°， ∴∠CAB=90°， ∴AB=BC=30，

在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°， ∴BM=AB=15，AM=

BM=15

，

∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．

（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，

∵∠HBN=∠HNB=15°， ∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°， ∴HN=HB=2x，MH=∵BM=15， ∴15=

x+2x，

，

x，

x=30﹣15

∴AN=30BN=由题意

﹣30， =15（

﹣≤

），设B军舰速度为a海里/小时，

，

∴a≥20．

∴B军舰速度至少为20海里/小时．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方位角、直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

25．（10分）（2016?衡阳）在平面直角坐标中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣

，0）、B（

，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．

（2）过点E（0，﹣1）的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式．

（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2为半径作

⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）由A、B、C三点坐标可知∠CBO=60°，又因为点D是△ABC的内心，所以BD平分∠CBO，然后利用锐角三角函数即可求出OD的长度； （2）根据题意可知，DF为半径，且∠DFE=90°，过点F作FG⊥y轴于点G，求得FG和OG的长度，即可求出点F的坐标，然后将E和F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线EF的解析式；

（3）⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，该点是△ABC的外接圆圆心，即为点D，所以DP=2

，又因为点P在直线EF上，所以这样的

．

点P共有2个，且由勾股定理可知PF=3【解答】解：（1）连接BD， ∵B（∴OB=

，0），C（0，3）， ，OC=3，

∴tan∠CBO==，

∴∠CBO=60°

∵点D是△ABC的内心， ∴BD平分∠CBO， ∴∠DBO=30°， ∴tan∠DBO=

，

∴OD=1，

∴△ABC内切圆⊙D的半径为1；

（2）连接DF，

过点F作FG⊥y轴于点G， ∵E（0，﹣1） ∴OE=1，DE=2，

∵直线EF与⊙D相切， ∴∠DFE=90°，DF=1， ∴sin∠DEF=

，

∴∠DEF=30°， ∴∠GDF=60°， ∴在Rt△DGF中， ∠DFG=30°， ∴DG=，

由勾股定理可求得：GF=∴F（

，），

，

设直线EF的解析式为：y=kx+b，

∴，

∴直线EF的解析式为：y=

x﹣1；

（3）∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等， ∴该点必为△ABC外接圆的圆心， 由（1）可知：△ABC是等边三角形， ∴△ABC外接圆的圆心为点D

∴DP=2，

设直线EF与x轴交于点H， ∴令y=0代入y=∴x=∴H（∴FH=

， ，0）， ，

x﹣1，

当P在x轴上方时， 过点P1作P1M⊥x轴于M， 由勾股定理可求得：P1F=3∴P1H=P1F+FH=

，

，

∵∠DEF=∠HP1M=30°， ∴HM=P1H=

，P1M=5，

∴OM=2∴P1（2

， ，5），

当P在x轴下方时，

过点P2作P2N⊥x轴于点N， 由勾股定理可求得：P2F=3∴P2H=P2F﹣FH=

，

，

∴∠DEF=30° ∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE=，

∴P2N=4， 令y=﹣4代入y=∴x=﹣∴P2（﹣

，

，﹣4），

x﹣1，

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，此时圆心P的坐标为（2

，5）或（﹣

，﹣4）．

【点评】本题是圆的综合问题，涉及圆的外接圆和内切圆的相关性质，圆的切线性质，锐角三角函数，一次函数等知识，综合程度较高，需要学生将各知识点灵活运用．

26．（12分）（2016?衡阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上． （1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方

形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）易得抛物线的顶点为（0，），然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；

（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2，由题可得0≤t≤2．然后只需用t的式子表示DN、DM2、MN2，分三种情况（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）讨论就可解决问题．

【解答】解：（1）∵点B是点A关于y轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为y轴，

∴抛物线的顶点为（0，）， 故抛物线的解析式可设为y=ax+． ∵A（﹣1，2）在抛物线y=ax2+上， ∴a+=2， 解得a=﹣，

∴抛物线的函数关系表达式为y=﹣x2+；

2

（2）①当点F在第一象限时，如图1， 令y=0得，﹣x2+=0，

解得：x1=3，x2=﹣3， ∴点C的坐标为（3，0）． 设直线AC的解析式为y=mx+n， 则有

，

解得，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+．

设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）． ∵点F（p，p）在直线y=﹣x+上， ∴﹣p+=p，

解得p=1，

∴点F的坐标为（1，1）． ②当点F在第二象限时，

同理可得：点F的坐标为（﹣3，3）， 此时点F不在线段AC上，故舍去． 综上所述：点F的坐标为（1，1）；

（3）过点M作MH⊥DN于H，如图2， 则OD=t，OE=t+1．

∵点E和点C重合时停止运动，∴0≤t≤2．

当x=t时，y=﹣t+，则N（t，﹣t+），DN=﹣t+．

当x=t+1时，y=﹣（t+1）+=﹣t+1，则M（t+1，﹣t+1），ME=﹣t+1． 在Rt△DEM中，DM2=12+（﹣t+1）2=t2﹣t+2．

在Rt△NHM中，MH=1，NH=（﹣t+）﹣（﹣t+1）=， ∴MN=1+（）=．

2

2

2

①当DN=DM时，

（﹣t+）2=t2﹣t+2， 解得t=；

②当ND=NM时， ﹣t+=

=

，

解得t=3﹣；

③当MN=MD时， =t2﹣t+2，

解得t1=1，t2=3． ∵0≤t≤2，∴t=1．

综上所述：当△DMN是等腰三角形时，t的值为，3﹣

或1．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）、（3）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．

参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；王学峰；三界无我；弯弯的小河；唐唐来了；HLing；CJX；星期八；gsls；HJJ；zgm666；zjx111；zcx；tcm123；神龙杉；1160374（排名不分先后） 菁优网

2016年7月8日