第五章 插值法与最小二乘法

第五章 插值法与最小二乘法

第一节 问题的提法和多项式插值

一、问题提法

函数是描述客观规律的重要工具。在实际应用中许多函数是通过科学实验或观测得到的，通常是一个列表函数或复杂函数的解析表达式的列表形式。设y f(x)在已知点ax0x1xnb上的函数值为y0，

y1，yn，记为xi,yi,i0,1,,n，如何用一个简单的函数p(x)近似，

使得在a,b上，p(x)通常有两类提法：

f(x)，这就是本章要解决的问题。

1） 通过给定点xi,yi,i0,1,,n，作一曲线，其方程为y为一简单函数，p(xi)yi,i0,1,,np(x)，p(x)。

p(x)为插值函数，xi为插值点，a,b为插值区间，yif(xi)为样本值。2）作一指定类型的曲线yp(x)，使曲线在“一定意义”下逼近给定

的列表函数xi,yi,i0,1,,n，此为曲线的拟合问题。本章采用做小二乘法解决。

二、多项式插值

通过两个插值点x0,y0和x1,y1的为一条直线，方程为：

yxx1x0x1y0xx0x1x0y1

推广到在a,b上的n1个插值点ax0x1xnb，对应的函数值

n为y0，y1，yn，求次数不超过n的多项式p(x)a中a0，a1，an为待定系数。使p(xi)

0a1xanx，其

yi,i0,1,,n

na0a1x0anx0y0na0a1x1anx1y1即aaxaxny1nnnn0，xi互异，故由Vandermande定理知方程组

方程组的解a0，a1，an唯一存在。

定理1：满足条件p(xi)

yi,i0,1,,n的插值多项式p(x)为唯一存在的。

第二节 Lagrange插值

一、线性插值与二次插值 当n1时，过两点x0,f(x0)、x1,f(x1)的插值多项式可写成

L1(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)

称为线性插值多项式。

xx0x1x0其中

l0(x)xx1x0x1，l1(x)，称l0(x)及l1(x)为关于x0,x1的线性插

值基函数。

即为yL1(x)xx1x0x1f(x0)xx0x1x0f(x1)过给定两点。

当n2时，已知三点x0,f(x0)、x1,f(x1)、x2,f(x2)的二次插值多项

式可写成L2(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)l2(x)f(x2)，其中

l0(x)xx0x1xx2x1x0x2，l1(x)jijixx1x0xx2x0x1x2，l2(x)xx2x0xx1x0x2x1

满足条件 函数。

1li(xi)0，称li(x)(i0,1,2)是关于x0,x1,x2的二次插值基

yL2(x)过给定三点。

二、Lagrange插值多项式

将n1,2推广，给定n+1个点x0,f(x0)、x1,f(x1)、xn,f(xn)的插值多项式可写成Ln(x)l0(x)f(x0)l1(x)f(x1)ln(x)f(xn)，其中

li(x)xxix0xxi1xxi1xxnx0xixi1xixi1xixn10jiji，i0,1,2,n为插值基函数，

满足条件li(xj)显然，Ln(xi)，i,j0,1,2,n

nf(xi)，i0,1,2,n，故称Ln(x)li0i(x)f(xi)为

Lagrange

插值多项式。

若记n1(x)xx0xx1xxn， 则n1(xi)xi故Ln(x)i0nx0xixi1xixi1xixn，有li(x)n1(x)x1(xi)xin，

n1(x)1(xi)xxinfxi

三、插值余项与误差估计 在[a,b]上，Ln(x)f(x)的截断误差为Rn(x)fxLn(x)称为差值余项。

定理2：假设f(x)的n+1阶导数f(n1)(x)在[a,b]上存在，则对任何

x[a,b]，有余项Rn(x)fxLn(x)f(n1)()(n1)!n1(x)，其中[a,b]，且

依赖于x，n1。

证明：因Ln(xi)f(xi)，i0,1,2,n，故Rn(xi)0，i0,1,2,n

Rn(x)K(x)xx0xx1xxnK(x)n1(x)

其中K(x)是待定函数，现将x[a,b]视作[a,b]任一固定点，作函数

(t)f(t)Ln(t)K(x)(tx0)(tx1)(txn)，

显然(xi)0，i0,1,,n，且(x)0

表明(t)在[a,b]有n+2个零点x0,x1,,xn以及x，

由Roll定理，(t)在[a,b]上至少有n+1个零点，反复用Roll定理，可知(n1)(t)在[a,b]上至少有一个零点， 满足：(n1)()即K(x)

注：由此可得误差估计式：

若maxaxbf(n1)f(n1)()K(x)(n1)!0

f(n1)()(n1)!，代入，可得结果。

(x)Mn1，则Rn(x)Mn1(n1)!n1(x)

当n=1时，R1(x) 当n=2时，

例：当f(x)nM22!M33!(xx0)xx1

R2(x)(xx0)xx1xx2

x(kn)时，fk(n1)(x)0，于是Rn(x)0

即xikli(x)i0xk，k0,1,,n

特别，当k0时，li(x)1

i0n

例1：已知sin0.320.314567，sin0.340.333487，sin0.360.352274，用

线性插值以及二次插值计算sin0.3367的近似值，并估计误差。 解：线性插值函数为L1(x)

xx1x0x1f(x0)xx0x1x0f(x1) x0.320.3334870.320.340.340.320.33670.340.33670.32故sin0.33670.3145670.333487

0.320.340.340.32x0.340.314567

0.05190360.2784616 M2maxf(x)sinx10.3335

x0xx10.330365

其截断误差为R1(0.3367)M2sin0.3367L1(0.3367)(0.3367x0)0.3367x1

二次插值为：

L2(x)2!150.33350.01670.00330.92102

xx1xx2x0x1x0x2f(x0)xx1x0xx2x0x1x2f(x1)xx2x0xx1x0x2x1f(x2)

x0.34x0.360.320.340.320.36f(0.32)x0.32x0.360.340.320.340.36f(0.34)x0.32x0.340.360.320.360.34f(0.36) 故sin0.3367M3maxx0xx2L2(0.3367)0.330374f(x)cosx00.950

,

其截断误差为R2(0.3367)

sin0.3367L2(0.3367)160.9503!(0.3367x0)0.3367x10.3367x2

60.9500.01670.00330.02330.20410

例2：设ff(b)f(a)2(xa)C[a,b]，试证明：maxf(x)f(a)axbba18

ba2maxf(x)axb

解：f(x)的线性插值为L(x)1f(a)f(b)f(a)ba(xa) 故max

axbf(b)f(a)f(x)f(a)(xa)maxf(x)L1(x)axbbamaxaxbf()2!(xa)(xb)12maxxaxbmaxf(x)axbaxb

18ba2maxf(x)axb

例3：证明：xix2li(x)0，其中li(x)是关于点x0,x1,,x5的插值基

i05函数。 解：xixi052li(x)xi0552i2xixxli(x)

2

52iixi02l(x)2xxili(x)xi0222l(x)

ii05x2xx0

第三节 Newton一、插值多项式的逐次生成 1）考察n1的情形：

插值多项式

此时线性插值多项式p1(x)满足：p1(x0)用点斜式表示为p1(x)若p0(x0)其中a1f(x0)f(x1)f(x0)x1x0f(x0)，p1(x1)f(x1)

(xx0)，

f(x0)则可记p1(x)p0(x0)a1(xx0)，

f(x1)f(x0)x1x0就是函数f(x)的差商。

2）考察n2的情形：

此时二次插值p2(x)满足：p2(x0)则p2(x)p1(x)a2(xx0)(xx1)

f(x0)，p2(x1)f(x1)，p2(x2)f(x2)，

此时取a2p2(x2)p1(x2)(x2x0)(x2x1)f(x2)[f(x0)f(x1)f(x0)x1x0(x2x0)](x2x0)(x2x1)f(x2)f(x0)f(x1)f(x0)x1x0

x2x0x2x1

系数a2就是f差商的差商。

3）一般情形：已知f(x)的函数值f(xi)(i0,1,2,,n)， f(xi)，i0,1,2,,n

此时n次插值多项式pn(x)满足：pn(xi)则pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)(xxn1) 为了计算ai，现引入差商的定义。

二、差商及其性质

定义1：函数f关于点x0，x1的一阶差商定义为f[x0,x1]一级差商的差商f[x0,x1,x2]f[x1,x2]f[x0,x1]x1x0f(x1)f(x0)x1x0，

称为f关于点x0，x1，x2的

为f关

二级差商。一般定义f[x0,x1,,xn]于x0,x1,,xn的n阶差商。

差商也称均差，有下列性质： 1）差商的对称性。 即

f[x1,x2,,xn]f[x0,x1,,xn1]xnx0f[x0,x1,,xn]f[xi1,xi2,,xin]，i1,i2inn为1,2,,n的一个排列

（归纳法证明）

f[x0,x1,,xn](xi0f(xi)ix0)(xixi1)(xixi1)(xixn)2）若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，则

f[x0,x1,,xn]f(n)()n!，在x0和xn之间。

计算差商可以用差商表计算：

xi x0

fxi 一级差商 二级差商 三级差商 四级差商 fx0 fx1 fx2 fx3 fx4

f[x0,x1]

x1 x2

x3

f[x1,x2]

f[x2,x3] f[x3,x4]

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3] f[x2,x3,x4]

f[x0,x1,x2,x3] f[x1,x2,x3,x4]

x4

f[x0,x1,x2,x3,x4]

三、Newton插值多项式

pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)(xxn1)的插值多项式系数ai，可直

接用应用差商定义，设x[a,b]，则

f(x)fx0fx,x0xx0， fx,x0fx0,x1fx,x0,x1(xx1) fx,x0,,xn1fx0,x1,,xnfx,x0,x1,,xn(xxn)。。。。。。

依次将各阶差商定义表达式代入前式，则得：

fxfx0fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)

fx0,x1,,xn(xx0)xxn1fx,x0,x1,,xn(xx0)xxn

pn(x)Rn(x)

pn(x)fx0fx0,x1(xx0)fx0,x1,,xn(xx0)xxn1

称为Newton插值多项式，Rn(x)fx,x0,x1,,xn(xx0)xxn称为Newton差值多项式的余项。

显然，pn(x)fx0fx0,x1(xx0)fx0,x1,,xn(xx0)xxn1 满足插值条件：pn(xi)f(xi)，i0,1,2,,n，

且pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)(xxn1)中的系数为：

akfx0,x1,,xk，k0,1,,n

例4：已知函数f(x)sinhx的离散数据：

xi

0.00 0.20 0.30 0.50 0.60 0.0000 0.20134 0.30452 0.52110 0.63665

fxi

利用三次插值求f(0.23)的近似值并估计误差。 解：做差商表：

xi fxi 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

0.00 0.0000

0.20 0.20134 1.0067 0.30 0.30452 1.0318 0.08367

0.50 0.52110 1.0630 0.17067 0.17400

0.60 0.63665 1.1553 0.24100 0.17583 0.00305 故p3(x)1.0067x008367x(x0.20)0.17400x(x0.20)(x0.30) p3(0.23)0.23203由此得f(0.23)

因f(x)sinhx，f(4)(x)sinhx