2005年深圳大学硕士研究生入学考试试题-数学分析

2005年深圳大学硕士研究生入学考试试题

专业：应用数学 考试科目：数学分析

1． 计算（每小题8分，共80分） 1）nlimx0(3n1)(n1) n22）lim(1tgx)ctgx

lim(3）n111)w n2(n1)2(2n)24）求yxsinx的导数，其中x0 5）令xa(tsint)且ya(1cost)，求6）01dy dx1dx exex7）02exsinxdx

2z8）设zesin(xy)。求

xyxy

9）0dx0xy2dy

10）设L是半圆周xacost,yasint,0t。计算第一型曲线积分(x2y2)ds

L232．（10分）设

x2x3f(x)

axbx3试确定a,b的值，使得f(x)在x3处可导。

3．（10分）将函数f(x)0sint2dt展开成马克劳林级数，并求f(10)(0)及f(11)(0)。 4．（10分）证明：若f(x)在a,b上连续，ax1x2xnb，则在x1,xn上必存在，使得

f()f(1x)xf2(x)nnf(x)

5．（10分）设an为正项数列，证明级数6．（每题10分，任选3个题）

an收敛

(1a)(1a)(1a)n112n1）若f(x)在[a,)连续，并且xlimf(x)存在且有限，证明： 

（1）f(x)在[a,)上有界

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（2）f(x)在[a,)一致连续。

2）设函数f(x)定义于(,)上，且在x0和x1两点连续。证明：若对于

任何x(,)都有f(x2)f(x)，则f(x)是常值函数。

3）设an为有界数列，记

ansup{an,an1...}，aninf{an,an1,...}

证明：limanAlimanAliman

nnnx04）设级数n1an收敛，求证：limn1ann1an xn5）若[a,b]上的连续函数列f1(x),f2(x)...fn(x)...收敛于f(x)，且fn(x)fn1(x)。证明

f(x)在[a,b]上必有最小值。

1y26）设F(x,y)f(yx)，其中F(1,y)y5。任选x00，作x1F(x0,2x0),

2x2x2F(x1,2x1),...,xn1F(xn,2xn),...。证明：数列{xn}有极限并求之。

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