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一、圆的概念
集合形式的概念：1. 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2.圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3.圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1.点在圆内 dr 点C在圆内； 2.点在圆上 dr 点B在圆上； 3.点在圆外 dr 点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1.直线与圆相离 dr 无交点； 2.直线与圆相切 dr 有一个交点； 3.直线与圆相交 dr 有两个交点；
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 dRr；
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外切（图2） 有一个交点 dRr； 相交（图3） 有两个交点 RrdRr； 内切（图4） 有一个交点 dRr； 内含（图5） 无交点 dRr；
dR图1rRdr图2dR图3r
d
五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
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AODCEFACOADOBCBED的弧相
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只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOBDOE；②ABDE；
③OCOF；④ 弧BA弧BD
七、圆周角定理
1.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴AOB2ACB
BOAC2.圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆弧是等弧；
即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角 ∴CD
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧对的弦是直径。
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是角形。
即：在△ABC中，∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
BDC周角所对的
BOAC是半圆，所
BOAC直角三
OA注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
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即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形
∴CBAD180 BD180 DAEC
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MNOA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
OCDBAE（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PAPB PO平分BPA
PBMANO十一、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线积相等。
即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P， ∴PAPBPCPD
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的段的比例中项。
即：在⊙O中，∵直径ABCD，
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BOEDCACABOPAD段的乘
两条线
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∴CE2AEBE
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线 ∴ PAPCPB
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O中，∵PB、PE是割线 ∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆如图：O1O2垂直平分AB。
即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点 ∴O1O2垂直平分AB 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；
（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 。 十四、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：
OBAC2ADPCOBE线长是这
AO1BO2的的公共弦。
ACO2BO1OD:BD:OB1:3:2；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：
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（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.
BO
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1.扇形：（1）弧长公式：lAAnR； 180OSlnR21lR （2）扇形面积公式： S3602Bn：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积
2.圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
S表S侧2S底=2rh2r2
BADD1母线长底面圆周长CB1C1（2）圆柱的体积：Vr2h
（2）圆锥侧面展开图
O（1）S表S侧S底=Rrr
21（2）圆锥的体积：Vr2h
3
一、考点分析与例题分析 1、 线段的比
1）比例的合比性质，比例的等比性质 2）线段求比需注意：单位要统一
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2、 黄金分割
1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果
ACBC2
，即AC=AB×ABACBC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。其中
AC≈。 AB2）矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。 3、 相似多边形
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。（可与定义互推）
1、如果四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似，且∠A=68°，则∠A′= 。 2、下列说法中正确的是（ ）
A、所有的矩形都相似 B、所有的正方形都相似 C、所有的菱形都相似 D、所有的等腰梯形都相似
3、已知，ABCDE∽五边形FGHIJ，且AB=2cm，CD=3cm，DE=，GH=6cm，HI =5cm，FJ=4cm，
∠A=120°，∠H=90°。求:(1)相似比等于多少 (2)求FG,IJ,BC,AE, ∠F, ∠C 4、 相似三角形
1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如
△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。 两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。 3）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
参照三角形全等的判定方法： ③两角对应相等的两个三角形相似。 ④三边对应成比例的两个三角形相似。
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C D
H I
B A E
G J
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⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1、下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2、如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式。
3、如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，∠BAC=45°， ∠ACB=40°，求：1）∠AED和∠ADE的度数；2）DE的长。
5、 相似多边形的周长比和面积比
关系：若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k 。 6、 位似
1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图
形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形
不一定是位似图形。
②两个位似图形的位似中心只有一个。
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。 ④位似比就是相似比。
2）性质：①位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。
②位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。
③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。
练习设计
1、△ABC与△DEF相似，且相似比是
2
2，则△DEF 与△ABC与的面积比是（ ） 3----完整版学习资料分享----
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A、
2324 B、 C、 D、 32592、如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF。
3、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP。
4、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．
5、如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、BG⊥CE于G。试证明DG⊥FG。 中考热点
1．比例的基本性质 [例1]．已知
22
a5ab=＿＿＿＿＿。 ，则bb2 A E D B 图9 C 2．相似图形的性质
[例2]．在△ABC中，若D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，AD=1，DB=2，则△ADE与△ABC的面积比为____________. 3．相似三角形的判定
[例3]．如图9，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是
[例4]．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
[例5]．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单
D ----完整版学习资料分享----
B
A
G C
E H F
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位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上.若大楼的宽是40米，求这个矩形的面积. 〖考题训练〗
a2a
1．如果 ＝ ，那么 ＝＿＿＿＿＿。
b3a＋b
2．已知：如图2，在△ABC中，∠ADE＝∠C，则下列等式成立的是（ ） ADAEAEADDEAEDEAD
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
ABACBCBDBCABBCAB〖课后作业〗
a3a＋b
①．若＝ ，则的值是(
b5b
8A、 5
)
C
A
B D B
335B、 C、 D、 528
E C D A ③．如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是 。
④．如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件： ，使得△ADE∽△ABC.
⑤．在△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE∥BC，如果AD＝2，DB＝4，AE＝3，那么EC＝ ⑥．在下列命题中，真命题是 （ ）
A、两个钝角三角形一定相似 B、两个等腰三角形一定相似
C、两个直角三角形一定相似 D、两个等边三角形一定相似
⑦．矩形ABCD中,M是BC边上且与B、C不重合的点,点P是射线AM上的点,若以A、P、D为顶点的三角
形与△ABM相似,则这样的点有 个.
A D F
B E
C
⑧．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，F是CD的中点，一束光线从A点出发，通过BC边反射，恰好落在F点（如图），那么，反射点E与C点的距离为＿＿＿＿＿＿。
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