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向量与张量“维度”的理解

来源：刀刀网

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解决方案1：

向量与张量“维度”的理解

向量的维度是指该向量所具有的坐标数或分量数。一个向量中含有的数据数量即它的维度。例如：

一个二维向量拥有两个坐标，通常表示为 (x, y)，其中 x 和 y 是实数。一个三维向量则有三个坐标，通常表示为 (x, y, z)。

向量的维度可以是任意正整数，用于表示在 n 维空间中的位置或方向。

张量的维度则更为复杂，它可以理解为数组，可以有任意多个维度。具体来说：

向量实际上可以看作是一维数组，由 n 个标量元素组成，可以表示为 n 维列向量或 1×n 的行向量。向量的维度通常表示为 (n, 1) 或 (n×1)。二维张量则通常表示为矩阵，由 m×n 个标量元素组成，可以表示为 m 行 n 列的矩阵。张量的维度可以表示为 (n1, n2, …, nk)，其中 ni 表示张量在第 i 维的大小。

为了更直观地理解向量和张量的维度，可以通过以下例子进行说明：

假设有一组三维坐标点，可以用一个三维向量表示一个点，表示为 (x, y, z)。如果有多个点，则可以将它们放在一个二维数组中表示为矩阵，其中每行代表一个点，列代表坐标轴。这样构成的二维张量的维度为 (m, 3)，其中 m 表示点的数量。

如果要表示多组点，则可以将它们放在一个三维数组中表示为张量，其中每个二维数组代表一个组的点。这样构成的三维张量的维度为 (k, m, 3)，其中 k 表示组的数量。

在对“维度”的理解上，存在两种常见的表述形式：

基于空间的维度描述：

这种描述方式通常与物理、空间、几何意义相关。例如，“我们生活在三维空间”、“平面是二维的”等。

在这种描述下，二维向量可以理解为二维空间中的一个线段，三维向量则理解为三维空间中的线段，而三维张量则可能被误解为一个三维立方体（但实际上这只是几何意义上的直观理解，并非张量的本质）。

基于数据量的描述：

这种描述方式则与空间无关，只关注数据量。例如，“二维向量中有两个数字”，“矩阵的维度是 (3,10)”等。

在这种描述下，向量和张量的维度都是基于其包含的数据数量来定义的。任何 n 维向量都可以看作 (1,n) 维张量，矩阵则是 (a,b) 维张量。

为了避免混淆，建议在理解和书写时尽可能使用基于数据量的表示方法。这种方法在数学书以及机器学习书中常常出现，且更加严谨和准确。如果对几何意义的理解要求不高，只关注数据量是一种很好的避免混淆的方式。

最后，需要强调的是，数组维度的描述也是造成混淆的一大原因。在编程中常常使用“三维数组”等说法，虽然实用且可以在几何意义上直观理解，但实际上欠缺表达能力，不能明确表达数据量和数组的大小。因此，在书写和交流时，应当尽可能使用准确的维度描述方式。

上述图片展示了一个三维张量的结构，其中每个小方块代表一个数据元素，整个张量由 k 个二维数组（即矩阵）组成，每个矩阵包含 m 行 3 列的数据。